奇点分布法求解有限翼展绕流在线视频

这一节我们学习如何利用奇点分布法求解有限翼展绕流问题

内容包括 翼端效应 有限翼展机翼的空气动力学模型

有限翼展机翼的升力及诱导阻力以及最小诱导阻力与椭圆翼形

我们知道真实机翼在翼展方向都是有限长度的

当无穷远来流绕过有限翼展机翼时

由于上 下翼型(面)间存在压力差

因而就产生了由下翼面翻过翼梢流向上翼面的流动 如图所示

且离翼端越近 这种趋势越强

在翼展中间的翼根处这种趋势为零

这种现象称为翼端效应

由于翼端效应的存在 引起下表面由中央到两梢

上表面则由两梢到中央的展向二次流

这样流经上 下翼表面的流体在后缘汇合时

两股流动的方向不一致

产生了跃变 从而在后缘汇流处产生了速度间断面

该速度间断面相当于从尾缘伸向下游的由一系列涡线组成的一个涡面

由于粘性的作用 涡面不稳定

最后在机翼的后面形成两个等值 反向

由外向内旋转的单涡 如右图所示

大升力的机翼开始的早些 小升力的机翼开始的晚些

根据有限翼展机翼的上述绕流特点

可以建立其空气动力学模型

无限翼展机翼对来流的扰动可等价于一同等强度的无限长直涡线

这根想象的涡线称为附着涡或升力线

由于机翼翼展有限时

出现了速度间断面和伸向下游的两根自由涡

因此普朗特认为

有限翼展机翼对均匀来流的扰动可用一旋涡系来代替

它由两部分组成

(1)翼展方向上的一段变环量的附着涡

(2)与附着涡垂直的两个伸向下游无穷远处的自由涡面

翼根处翼端效应最小 环量最大 升力也最大

翼端处因翼端效应使上 下表面压力差消失

因而无升力 故环量为零

根据以上分析 有限翼展机翼的空气动力学模型为一根涡强分布不等的附着涡和与之垂直的且伸向下游无穷远的一系列自由涡线所构成的旋涡系 如图所示

根据奇点分布法 基于所建立的有限翼展机翼空气动力学模型

可通过计算上述涡系的诱导速度和来流速度合成求出绕机翼的流速 如图所示

设附着涡在有限翼展上的涡强分布规律为гz

在OZ轴上某点z=ζ处附着涡强度为гζ

其相邻点z=ζ+dζ处附着涡强度为гζ+dг/dζ×dζ

两者之差dг= dг/dζ×dζ

正是从点z=ζ处伸向下游的自由涡强度

自由涡系在翼表面Z点处的诱导速度vi垂直于自由涡面

且方向朝下 故称vi为下洗速度

设来流速度v∞沿x轴反向

下洗速度vi与来流速度v∞的合成速度vm才是真正的来流速度

可见由自由涡线造成的下洗速度vi使来流攻角α减小至αe

如图所示 αe称为有效攻角 表达式见(1)式 式中αi为下洗角

等于arctan的v∞分之vi

既然真实来流是vm 则升力应是垂直于它的dR

其大小由儒可夫斯基升力公式确定 见(2)式

将dR分解为垂直来流v∞方向 即y轴分量dL 和平行来流方向

即x轴分量dDi

根据图中的几何关系可得dL和dDi的表达式 如(3)式和(4)式所示

积分(3)式和(4)式可得作用在整个翼形(机翼)上的升力与诱导阻力 如(5)式所示

要求解升力L和诱导阻力Di

须先求出环量密度分布гz和下洗速度vi才能计算出升力和诱导阻力

首先求解下洗速度 根据有限翼展机翼的空气动力学模型 如图所示

在ζ到ζ+dζ的微元段内的自由涡总环量为dг 它在升力线上Z点处引起的下洗速度

根据半无限长直线涡束诱导的速度结果

如(6)式所示 积分(6)式

可得所有自由涡线在Z处引起的总的下洗速度如(7)式所示

可见 下洗速度与环量г沿z的分布规律有关

得到下洗速度可求出下洗角αi 如(8)式所示

环量沿升力线的分布可通过环量方程式来求

在下洗速度不大的情况下 对机翼沿翼展方向的微元段dz

根据儒可夫斯基升力公式 其上所受升力如(9)式

同时由翼型的几何与气动性能 即升力的实用算式 升力又可写为(10)式

联立(9)式和(10)式可得(11)式

由翼型的动力学特性升力系数Cl=a0乘以αe a0为常数 αe为有效攻角

即机翼有效来流vm与动力翼弦的夹角 其表达式如(12)式所示

代入升力系数表达式的即可得式(13)

将(13)式代入(11)式可得环量沿升力线的分布式(14)

再将下洗速度表达式(7)代入(14)式可得(15)式

该式称为有限翼展机翼绕流计算的基本方程式

对该方程有很多近似解法 这里不再累述

在求出环量分布与下洗速度后

即可求出有限翼展机翼的升力 诱导阻力和升力系数

如(16) (17)和(18)式所示

诱导的阻力系数如(19)式所示

式中s为机翼面积 l为翼展长度 λ为展弦比

根据求得的有限翼展机翼升阻力结果分析可知

当系数A1≠0 Am=0时 m>1 阻力最小

这时的环量分布如(20)式所示

式中г0为翼根处之最大环量值

变量替换后环量分布如(21)式

可见 环量沿翼展呈椭圆形分布时 诱导的阻力最小

根据升力公式可得作用于翼展Z处单位展长上的升力沿翼展也呈椭圆分布

因此有椭圆负荷的机翼的诱导阻力最小

要想(欲)实现环量的椭圆形分布 机翼应采取什么样的几何形状呢？

如果机翼是由相似翼型组成的无扭曲机翼 机翼各剖面的升力系数相同

即满足(22)式 将其代入(21)式可得(23)式 可见机翼的平面形状为椭圆

也就是说 最小诱导阻力机翼的环量分布和弦长分布均为椭圆分布 如图所示

本节学习了奇点分布法求解有限翼展机翼绕流问题

同学们应掌握有限翼展机翼存在的翼端效应的流动特点

掌握运用奇点分布法进行流动的求解

以上是本节内容

下一节我们学习运用奇点分布法求解平面叶栅流动