势函数与流函数的关系在线视频

这一节我们学习势函数与流函数的关系

前面我们从存在的前提和速度的关系

以及主要性质三个方面学习了势函数和流函数

比如势函数存在的前提是无旋流动

流函数存在的前提是不可压缩平面流动

势函数与速度关系vx=∂Ф/∂x

vy=∂Ф/∂y

vz=∂Ф/∂z

流函数与速度的关系∂Ψ/∂x=-vy

∂Ψ/∂y=vx

主要性质这里不再赘述

势函数和流函数都是用于描述流场的函数

它们之间存在有趣的关系

这种关系通过它们各自与速度的关系来建立

需要注意的是我们在讨论势函数和流函数的关系时

针对的是不可压缩平面有势流动

或者叫不可压缩平面无旋流动

因为只有不可压缩平面有势流动

才同时存在势函数和流函数

根据它们各自与速度之间的关系

两式交叉相乘可得

(∂Ф/∂x)(∂Ψ/∂x)+(∂Ф/∂y)(∂Ψ/∂y)=∇Ф∙∇Ψ=0

这是等势线和流线

相互正交的条件

相互正交的等势线和流线称为流网

如图所示

注意流网的正交性与坐标系的选取无关

势函数 流函数通过速度建立的偏导之间的关系

vx=∂Ф/∂x=∂Ψ/∂y vy=∂Ф/∂y=-∂Ψ/∂x

显示它们满足柯西—黎曼条件

根据柯西—黎曼条件

由流函数和势函数组成的复变函数是解析的

具有很好的数学性质

是势流叠加原理的基础

我们后面会学到

我们来看两个例子

第一个例子是已知某定常平面流动的流速

然后让你去求这个流动的流函数 势函数

并且绘制流网

对于这个例子实际上

是已知流场去求流函数 势函数

这个已知流场是一个平面的二维流动

它的x方向速度vx=ax

y方向速度vy=-ay

那么已知流场怎么来求流函数 势函数呢

实际上要利用速度和流函数 势函数之间的关系

但是注意我们不能直接来求

我们第一步应该去判断这个流动是否存在流函数和势函数

也就是说第一步我们来判断

首先我们判断是否存在流函数Ψ

也就是说流函数存在的前提是否满足

那么流函数存在的前提是什么呢

实际上就是这个流动是否满足

不可压缩平面的连续性方程

也就是(∂vx)/∂x+(∂vy)/∂y是否等于零

那我们来验证一下

这里呢vx=ax

它对x求导实际上就是a

vy=-ay

它对y求导等于-a

那么显然是等于0的

所以它满足流函数存在的前提

所以存在流函数

那么存在流函数以后

我们就可以利用它与速度之间的关系来进行求解

首先vx=∂Ψ/∂y=ax

y方向的速度vy

它等于-∂Ψ/∂x=-ay

那么利用这个关系

我们首先对第一个vx表达式进行积分

这个我们积分

得

Ψ就等于axy加上一个积分常数

注意这里是对y积分

所以这个积分常数呢就是f(x)

然后把这个得到的流函数表达式我们代到

第二个速度表达式里面去

那么∂Ψ/∂x第一项

那么就是ay前面还有个负号

那就是-ay

f(x)对x求导就是f'(x)

注意有个负号那就是-f'(x)

它应该等于-ay

那么根据这个式子我们就可以知道

f'(x)就等于零

那么再进行一次积分

我们就知道f(x)=C1

这个C1它就是一个常数积分常数

所以流函数Ψ=axy+C1

那么由于积分常数C1对流场是没有影响的

也就是这个积分常数C1是可忽略的

这样我们就求出了流函数

那么下面我们再来求势函数

同样地我们首先要判断

是否存在

势函数

也就是说

判断已知流场是否满足势函数存在的前提

那么势函数存在的前提是什么呢

是流场的角速度是为0

这里只是一个xy平面的二维流场

所以它只有一个方向的角速度

就是ωz

ωz等于什么呢

等于1/2((∂vy)/∂x-(∂vx)/∂y)

那么我们代入已知的流场

vy是-ay它对x求导

实际上等于0

vx呢它等于ax对y求导也是等于0的

所以ωz显然是等于0的

所以流动是无旋的

流动无旋怎么样

就存在这个势函数Ф

那么下面我们可以利用速度和势函数

之间的关系来进行势函数的求解

首先vx=∂Ф/∂x=ax

vy=∂Ф/∂y=-ay

那么根据vx的表达式呢

我们可以进行一次积分

就可以得到Φ=1/2(ax^2)+f(y)

因为是对x进行积分

然后呢把它代入到第二个速度的表达式里面去

我们就得到1/2(ax^2)对y求导是等于零的对吧

f(y)对y求导实际上就是f'(y)=-ay

这样我们把这个式子再进行一次积分

就可以得到f(y)=-1/2ay^2+C2

C2也是一个常数

这是个积分常数

所以我们的势函数Φ就等于什么呢

就等于1/2(ax^2)-1/2(ay^2)+C2

注意这个C2对流场是没有影响的

所以这个C2是可以忽略的

这样我们就求出了势函数

那么求出流函数和势函数以后

我们就可以令它们等于常数

这样就可以获得等流函数线或者叫流线

以及等势线的方程

那么就可以画出流网

这里我们这个流网就不在这里画了

大家可以下面自己去根据这个方程可以把它画出来

所以这个例子呢

实际上是已知速度场

让你去求流函数和势函数

所涉及的知识点

包括流函数和势函数存在的前提

以及速度与流函数之间的关系

还有等流函数线或叫流线

等势线以及流网的概念

那么流线或者等流函数线 等势线

实际上就是

令流函数和势函数等于常数

那么它所表达的就是流线或者

等流函数线 等势线的方程

那么流网呢

实际上就是正交的等流函数线

或者流线与等势线

以上就是这个例子

好我们看第二个例子

第二个例子呢

是已知某不可压缩平面流场的速度势

也就是已知速度势Φ=x^2-y^2

然后呢它让你求第一个

速度场vx vy

并检验是否满足连续性条件和无旋条件

第二个是让你求流函数

并求通过(1,0)点和(1,1)两点间

两点流线间的流量

所以这个例子是已知势函数

让你去求速度 流函数

然后呢求了流函数以后

然后你再去求两点之间的流量

那么首先来求这个速度场

那么速度场就比较容易

因为已知势函数

所以对于速度场的求解

我们直接利用速度和势函数之间的关系

就可以来求直接求

那么x方向的速度vx=∂Φ/∂x

代入已知的势函数

实际上很简单那么

x^2-y^2对x求导实际上就等于2x

而vy=∂Φ/∂y而x^2-y^2对y求导

实际上就等于-2y

所以我们利用势函数和速度之间的关系

就可以直接求得x方向速度和y方向速度

然后它让你检验是否满足连续性条件

那么什么是连续性条件呢

对于不可压缩平面流场来说

连续性条件实际上就是满不满足连续性方程

连续性方程是什么呢

对于不可压缩平面流动来说

它的连续性方程就是(∂vx)/∂x+(∂vy)/∂y

是不是等于0

那么我们代入已知的流场

vx=2x它对x求导是等于2

vy是-2y它对y求导是等于-2

所以显然是等于零的

也就是说这个流场

是满足不可压缩平面流动的连续性方程的

然后呢

它还让你去验证是否满足无旋条件

实际上这是显而易见的

我们讲过

流动有势和无旋是互为充要条件的

所以这里已经告诉你势函数了

那么根据这个势函数求出来的流场

它一定是无旋的

我们可以再次验证一下

那么要验证这个无旋条件

实际上就是判断这个已知流场是不是满足

是不是它的角速度为0

这里是个平面流场

它只有一个方向的角速度

也就是ωz

ωz=1/2((∂vy)/∂x-(∂vx)/∂y)

那么代入这个求得的速度场

那么vy是-2y

它对x求导等于零

vx是2x它对y求导也是等于0的

所以ωz显然它也是等于0的

所以这样的流场

它是满足连续性条件和无旋条件的

那我们再来看第二个问

它让你求流函数

并且求通过已知点之间连线的流量

那么流函数

那么首先应该判断

这样首先判断是否存在流函数

然后再来求那么这里呢

实际上我们在第一个问里面已经判断过了

因为它满足了这个连续性方程

所以它是存在流函数的

所以这里呢我们就可以直接来求这个流函数

那么同样的我们利用它和速度之间的关系

也就是x方向的速度vx=∂Ψ/∂y=2x

y方向的速度vy=-∂Ψ/∂x=-2y

那么首先积分第一个式子

积分得Ψ就等于这里对y积分就是2xy

加上一个积分常数f(x)

这里是对y积分的

然后呢再把得到的流函数代到

第二个速度表达式里面去

我们就可以得到对x求导呢

注意前面有个负号这里呢是-2y

然后呢减去f'(x)对x求导

那么这个它等于-2y

根据这个呢

我们就可以得到f'(x)它是等于零的

那么再积分一下就可以得到f(x)=C

这个C呢就是一个常数

所以我们的流函数Ψ=2xy+C

那么C是一个常数

它对流场是没有影响的

所以呢它是可以忽略的

那么求出流函数以后

我们可以利用它和流量之间的关系

就可以求出任意两点连线之间的流量

那么对于(1,0)点

它的流函数值是Ψ1=Ψ(1,0)

这里我们已经求出了流函数Ψ=2xy

代入x,y的坐标

我们知道Ψ1就等于0

那么在(1,1)点的流函数的值

Ψ2=Ψ(1,1)

同样我们代入求得的流函数的表达式

它就等于2

然后呢我们利用流量q12

这两个点的流量

它等于Ψ1-Ψ2

这里我们用绝对值表示

也就是我们求它的大小流量的大小

那么Ψ1Ψ2我们已经求出来了

实际上它就等于

代进来等于2

单位是立方米每秒

这样我们就利用了流量和流函数之间的关系

这也是流函数重要的一个性质之一

就求出了通过已知点的这样一个流量

所以这个例子呢

实际上考了这么几个知识点

你需要掌握的

它是已知势函数的

所以呢

第一个知识点就是势函数与流速之间的关系

也就是说已知势函数

你可以求得流速

然后呢又考了流速和流函数之间关系

也就是已知流速你能够去求流函数

当然这里面有一个前提的判断

就是流函数存在的前提

最后呢就是利用流函数和流量之间的关系

就是流函数的性质之一

也就是通过任意两点的流函数的差

就等于通过这两点连线的流量

这就是这个例子

以上是本节内容

下一节我们学习复势和复速度