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我们接着讲第8讲
计算波过程的特征线法
我们在前面的课程中推导得到了
前行波特征线和反形波特征线
我们来看看这两个特征线有什么用
这两个特征线方程
是单根无损线Bergeron等值电路的一个前提
我们来看一个输电线路
左边是k节点
右边是m节点
电流从k到m方向进行流动
假设我们的观测者在时刻t-τ
从节点k可以出发
它就会在t时刻到达m点
我们从前行波特征线方程
可以得到如下这样一个方程
通过推导我们得到电流Imk的表达式
它是等于um除以波阻抗Z
来加上一个等值电流源Im括号t减τ
这样的话我们就可以把它写成一个等值电路
m点它就可以写出一个
由波阻抗Z的电阻
与这样一个等值电源并联的等值电路
另外我们假设观测者可以随着反行波
从末端节点m运动到节点k
根据反行波的特征性方程的话
同样我们可以写出这样一组方程
然后通过推导化解
最后得到从k点到m的电流
这样的话
我们就通过前行波特征线方程
和反形波特征线方程
就把一个从k点到m点的这一段的传输线
用两个节点的电路来表示
它只包括了电阻和等值的电流源
该等值电流源的速度计算时有什么问题
可以看出从前面的表达式来说
它是历史时刻的电流ikm和imk的函数
那我们知道前面我们得出了等值电路
它适合用节点法来求解
节点法求解的话是电压
如果要算电流的话
我们要增加额外的计算
为了减少这些额外的计算
我们可以经过进一步的推导
通过推导之后
我们可以得到一个等值电流源的一个递推公式
例如k点的等值电流源
它是 m点的在t-τ时刻的这样一个电压
除以电阻Z
再减去一个m点的在t-2τ时刻的等值电流源
所以新的公式中它可以通过递推
从Δt等于0时刻开始
一步一步递推进行得到
它没有中间的电流量了
所以说它的运算就得到了简化和加速
同样的话
我们也可以到m点的等值电流源的一个递推公式
对于一个网络来说
除了传输线之外
它的另外的核心原因是储能元件
电容和电感
一般对于储能元件的话
我们可以采用数值积分来进行求解
数值积分的话
我们知道有向前的欧拉公式
有向后欧拉公式
也要有梯形积分公式
一般来说我们会采用梯形积分公式
这样的话它是一个隐式
它的稳定性很好
来看看对于一个电感
它接在一个k点跟m点之间
我们知道电感的电压是等于Ldi/dt
根据这样一个式子的话
我们进行一定的推导
然后采用梯形积分
我们可以得到一个什么表达式呢
我们就可以得到通过电感的电流ikm
是等于 k点的电压减去m点的电压
除以RL再加上一个IL等值电流源
这个RL是什么
RL就是一个电感对应的一个等值电阻
是等于2L除以Δt
同样我们可以看出这个等值电流源
也含有电流的这一项
我们也可以通过进一步的化解来得到
这样的话我们通过推导
就将一个电感变成了一个等值电流源
和一个等值得电阻并联的一个电路
刚才我们前面介绍了
我们可以通过进一步的推导
可以将这样一个等值电流源中的电流项把它消除
把它变成节点电压项和历史的等值电流项
同样的话
我们可以对电容来求导它的等值电路
假设这样一个电容C接在k点和m点之间
我们知道通过电容的电流
是等于CΔu/Δt
我们经过进一步的推导
采用梯形积分
可以推导得到通过电容的电流ikm是等于
两个节点k点和m点的电压差
除以Rc再加上一个等值的电流源
Rc是什么呢
Rc是个电容的等值电阻 是等于Δt除以2C
这样的话我们就将这样一个电容
变成了一个等值电阻和一个等值电流源并联
这样一个表达式
同样我们可以消除它的等值电流源
公式中的电流项变成一个递推的公式
对于电阻就比较简单了
如果电阻接在k点跟m点之间
这样的话
通过它的电流就是两个节点的电压差除上电阻
它就没有并联的等值电流源了
所以我们可以看看通过前面的推导
我们将传输线 电容 电感 电阻
最后面都等效成了什么
等效成了集中参数的电阻和等值的电流源
在等值电路计算中
线路两个节点是分开的
原来我们是有联系的
这两个节点是一个传输线联系的k点和m点
但是等值电路中在拓扑上
它们之间是没有联系的
但实际上它们是怎么联系的
它是通过等值电流源来联系的
k点的等值电流源是跟m点的电压是相关的
m点的等值电流源是和k点的节点电压相关
前面是无损线的推导
如果要考虑电阻的话
我们可以把电阻分成段
一般来说分成三段
在它的首段插入1/4
末端插入1/4
在中间插入1/2
就变成这样一个等值电路
实际上分布线段数越多的话
就越接近于它实际的电阻的分布
另外我们也可以将插入电阻之后
这样一个Begeron等值电路进行合并
就合并成一个简单的Begeron等值电路
所以对于一个Begeron特征线法
形成这样一个等值电路
我们可以采用节点法形成它的方程
节点方程Y乘U是等于I
这个方程很容易采用计算机辅助分析来
自动形成它的这样一个导纳矩阵
也可以采用网络拓扑方程
通过关联矩阵A和支路导纳矩阵YB
来形成这样一个导纳矩阵
另外我们也可以通过计算机
辅助分析来自动形成
在一个矩阵里面添加I跟节点之间的导纳
对于一个网络来说
还有一个元件就是电源
电源的话有各种形式
它有正弦波
有方波
有斜角波
也可以任意波
一般来说在整个计算里面
特别是在电磁暂态程序里面
电源是不能作为独立支路的
如果是一个独立的电压源
我们必须在中间串一个小电阻
才能够把它添加到这个系统里面去
这样的话我们就可以添加小电阻之后
把它变成一个小电阻
与对应的电流源的并联的一个表达式
另外在电磁暂态程序中
它有一个要求
它的电源必须是一端接地的
所以说电源不能接在k点跟m点之间
如果k点和m点之间接了一个电流源怎么办
我们必须把它的中间接地
就相当于从k点有个电流源流出
m点有一个电流源流入
另外电压源介于两个独立节点之间的话
它的内阻是0
它可以和相邻的节点合并作为一个支路
然后电压源转化为电流源
如果是电感的话
就用它的等值的电阻
RL等于2L除以Δt来代替它的电阻
所以我们这里布置了两个作业
一个是推导考虑线路电阻的等值计算电路
其次是用网格法和Begeron特征线法
分别求解下面电路各节点的电压
假设我们施加的是一个单位的电压源
它是在t等于0时刻进行合闸
好
这一讲就到这里
谢谢各位
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