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欢迎同学们

继续回到电磁暂态分析的课堂

我们接着讲第15讲

非线性元件的计算方法

在电网络当中

存在大量的非线性元件

如时变特性

包括了非线性电阻像避雷器

非线性电感像变压器

或电抗器等铁磁元件的铁心饱和

还有电弧电阻

断路器和保护间隙的

产生的电弧对应的电弧电阻

也是时变特性

再就是频变特性

考虑地回路影响和趋肤效应后的阻抗

它的电阻和电感都具有频变特性

首先我们来看一个非线性电感

对于电感来说

它的磁链和电流满足这样一个关系特性

这样的话

我们就可以得到

电感两端的电压的一个表达式

它与这一个磁链与电流的关系曲线是相关的

如果我们考虑磁滞和涡流损耗之后

就相当于我们在电感旁边要并联一个电阻

来考虑它的一个损耗

当地dψ/dt大于0时

电流和磁电上升时u是大于0的

它的电流iʟ和iʀ是同方向

相当于它的总电流

两个是相加

相当于ψ-i的曲线往右移

当dψ/dt小于0的时候

电感上的电流和电阻上的电流是反方向

两个是相减的

这样的话

就相当于原来的磁链和电流的曲线往左移

这样的话一个是左移

一个是右移

构成了一个磁滞的回环

磁滞的回环的宽度△i

是电阻电流的两倍

就是两倍的iʀ

等值回路中的电阻值

我们可以根据磁滞回路的宽度来进行决定

在回路中接入的等值的电阻是多少呢

是等于u除以iR等于2u除以Δi

我们可以在磁滞回环中

取一个不同的ψ值以及相对应的宽度△i

就可以确定出相应端电压u时的电阻值R

然后取平均值

就可以得到一个我们应该接入的电阻值

网络中含有非线性元件时

导纳矩阵是电压或时间的函数

所以每一个时步都要修正节点导纳矩阵

并进行三角分解

包括与电压电流有关的非线性电阻

求解必须在每一个时步计算中采用迭代法

大大地增加了运算的时间

为了提高考虑非线性电阻或者计算速度

第一种方法我们可以采用分段线性化

对于如图所示的非线性

我们把它看成两段

当它的电压小于uₐ的时候

相当于是一个无穷大的电阻 断开的状态

当它的电压大于ua的时候

我们相当于在回路接入一个Rₐ的电阻

Ra就是斜线的斜率为tgα

它的对应的等值电路就是一个在回路里面

串了一个等值的电阻

然后它是一个压控的

让它电压超过uₐ的时候再投入

对于更复杂的非线性电阻

同样进行分段线性化处理

当电压小于uₐ的时候

我们接入的是一个R₁

R₁是等于tgα₁

当u大于uₐ的时候

这段导线的斜率R₂等于tgα₂

因为在这个时候我们已经接入R₁

我们接入的电阻是什么东西呢

相当于

我们要保证现接入的电阻

与原来R₁并联之后是等于R₂的

当u大于ub的时候

这个线段对应的电阻是R₃等于tgα₃

因为我们已经接入了R₂了

这样的话我们要通过它的并联处理之后

来得到Rb

当u大于uc的时候

R₄是等于tgα₄

这时我们接入的电阻Rc

应该是考虑前面已经接入的电阻之后的值

同样对于电感也可以实现分段线性化

像这样一个电感我可以有两段线性处理

分段线性化的最大的优点

计算时它的数值上的稳定性

是绝对的稳定的

其次

计算过程中

回避了迭代求解非线性方程的问题

少数分段

就能够使暂态计算有足够的准确度

能够节省机时

其次也不需要列出非线性特性的解析式

许多的实际问题列出解析式也是非常困难的

所以它具有很大的优势

它的缺点是什么呢

当它时间步长过长时

会产生所谓的过冲现象

例如我们在某一个时步是a

a这一点

到下一个时步我们应该在b这一点转折

但由于时间步长过长

在下一个步的时候

已经到达了c这个值

相当于a段这个线就上移了

然后我们在c点再转入下一段

这样的话要从保护特性来说

我就把它保护特性挪上了

实际上它的保护性能变差了

对于金属氧化物避雷器的暂态模型

除了采用前面的分段线性化的话

我们也可以采用多段的指数模型来进行描述

对于快波前的模型

我们可以采用多段的指数模型

这是IEEE提供的一个避雷器的等效的模型

我们可以根据它的

这种模型的参数的计算方法来设定它的参数

这是它中间的两个非线性段

A₀跟A₁对应的非线性的特性

所以这个模型

我们可以采用来计算快波前的暂态特性

下面介绍计算含非线性元件电路的补偿法

在一个系统

我们可以把它分为线性有源网络

在k点跟m点之间接了一个非线性电阻

怎么来计算

含有非线性元件电路的电磁暂态过程呢

第一步

我们把非线性支路开路

计算出两端网络等值的电阻和开路的电压

第二步

我们然后接入非线性支路

用迭代法计算出非线性支路的电流

第三步根据叠加原理

用幅值等于非线性支路电流值的电流源

来代替非线性元件

求得网络的解

第一步我们要简化网络的线性部分

为有源二端网络

对于一个线性有源二端网络

我们通过计算很容易的可以进行求解

进行节点法的求解

得到k m点之间的电压uₖ减uₘ

这就是它的等值电流源

然后我们要求它的等值阻抗

等值阻抗怎么求呢

我们可以在k点跟m点之间

接入一个单位的电流源

同时令网络中所有的其它电源为0

这样的话就把网络定为了一个无源二端口网络

然后我们在k点和m点之间注入一个电流源

在注入电流源列向量的作用下

网络节点的电压方程可以列出来

然后我们可以进行求解

得到它的解

这种情况下

它的阻抗是多少呢

对应的端口阻抗

就是在注入电流源作用下

k点跟m点的电位差

等值的入端阻抗是一个纯电阻

等效网络它是一个线性网络

等值阻抗Zᴛ值不变

所以说在暂态计算的过程中

Zᴛ只要进行计算一次

而开路的电压U₀

每一个时步都要重新进行计算

第二步

我得到了这样一个有源网络的等值电路之后

我们把非线性电阻接进去

来计算非线性支路的电流

然后我们可以把这样一个简单的等值电路

转换成一个非线性方程

然后进行求解

很容易地得到它的对应的电流值

第三步

求出整个网络的解

在节点km之间

接入单位电流源时

网络的节点电压列向量为Uₖₘ

则接入等值电流源以后的解为

U等于U⁽⁰⁾减iₖₘ乘U⁽ᵏᵐ⁾

我们来总结一下

计算含非线性元件电路的补偿法的过程

第一步用节点电压方程

求解整个网络的开路电压U⁽⁰⁾

计算非线性支路开路时的电压

求解U⁽ᵏᵐ⁾

计算Zᴛ

这是一个线性网络的正常计算

第二步

用牛顿一拉夫逊法求解非线性方程

计算出非线性支路的电流Ikm

这是求解两个标量方程

第三步

根据迭加原理

计算整个网络的节点电压列向量

进行n次标量相加和相乘的运算

n为网络的独立节点数

第二第三步是由于

非线性元件的存在而增加的运算

下面介绍补偿法

求解多非线性支路的网络

如果一个网络里面不止一个非线性支路

多个非线性支路

怎么来进行求解呢

我们第一步仍然是

求解线性网络部分

来得到Uʙ⁽⁰⁾

就是端口的u⁽⁰⁾下的值

另外一个对应的等值的阻抗矩阵

第二步计算和非线性支路的电流

也是求解这样一个非线性方程组

第三步合成来得到它的全解和前面的类似

无外乎在这种情况下

多了更多的支路

在更多的支路用非线性变量来进行描述

补偿法在计算过程中带来了什么呢

由于迭代运算

只限制在包括有非线性元件的网络部分

因此能节省不少运算时间

理论上讲

利用补偿法时

网络中的非线性支路数目可以不限

可以有很多

但随着非性支路数目

及非线性方程数目的增加

运算的时间会剧烈地增加

实际上补偿法

只适用于求解含少量非线性元件的电路

而通常电力系统的过电压计算的情况

是符合这种情况的

在时间步长的选择方面

如果时间步长过长的话

会带来什么问题

时间过长的话

取样点的距离就会远

不能如实地反映它的伏安特性

产生所谓的人为的负阻尼或负磁滞效应

计算过程中会产生一部分能量

可能导致非线性电感振荡幅值放大

甚至出现数值不稳定

迭代运算不收敛

前面的非线性方程

可以采用牛顿一拉夫逊法

迭代求解

我们这里就不做介绍

大家在其它的数学课中已经得到了学习

这节课就到这里

谢谢各位同学