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下面我们接讲第24讲
时域有限差分 均匀传输线
前面介绍的基于贝杰隆特征线的计算方法
将一根传输线等效为两个端点
如果要计算沿线的电压分布的话
只有将输电线路分段
那么有什么方法能够很好的计算沿线的电位分布呢
时域有限差分就是一种理想的方法
时域有限差分FDTD它的英文是Finite difference time domain 是由Yee氏在1966年提出的
其所需的内容很少
也容易处理复杂的问题
并且算法非常简单
所以特别适合于电磁场的时域分析
FDTD算法在包括时间在内的四维空间中
对Maxwell旋度方程的微分方程进行二阶中心差分近似得到
该方法解决任何问题时均按初值问题处理
依时间步长迭代计算
每一个时步长交替计算空间每一个离散点的电场和磁场
大家注意这样一个词 交替计算
我们后面要进行重点介绍的
这个图给出了Yee氏网格的一个划分的剖分的方法
它很巧妙的将一个电场形成回路而中间对应的是磁场
这样的话刚好是符合Maxwell旋度方程的
在磁场周围包围了电场
同样的话
在电场周围包围了磁场
就是Maxwell的两个旋度方程对应的形式
时域有限差分过去是用在三维电磁场的计算
我们把它用到输电线路来说 就变成了一个一维度的问题
电压对应于电场
电流对应于磁场
在频域内
我们可以对于每一个频率下多导体传输线用电报方程来进行描述
这里VF IF是外界电磁场作用
在输电线上产生的一个源
我们将传输线按照Δz/2的空间间隔进行离散 有2N段
将电压V₁ 直到V៷₊₁
所以电压的离散点共有N+1 个
电流点I₁ 直到I៷ 对电流的离散点一共有N个
另外电压和电流离散点交错设置
其间隔为Δz/2
时间也以Δt的步长进行离散
而实际上是以Δt/2进行离散的
按照一阶中心差分公式
按前面公式进行离散
简化以后我们就可以得到电流和电压的迭代公式
可以看出
时域有限差分是非常非常简单的
也就是说我们都会由历史值来计算下一个时刻的电压和电流的值
这个图是对时域有限差分的电压电流的计算的一个描述
可以看出
电压都是在整数的距离离散位置
同时也是在整数的时间离散位置
而电流是在分数的距离离散位置和分数的时间离散位置上面
这样有什么特点呢
我们可以用上一个时间步长的电压电流
来得到下一个时间步长上的电流
然后再由下一个时间步长电流
再得到下一个时间步长的电压
也就是说 它的电压和电流计算是交替进行的
把所有点上的电压都计算完了之后
然后再得出所有点上的电流
再由所有点上的电流
得到所有点上的电压 就是交替计算
我们可以说它是一个跳蛙式的方法
一般来说
我们可以用十个网络来划分一个波长的距离 这已经是足够了
前面的方法考虑了外界电磁场的耦合影响
但没有考虑它的边界条件
因此对边界点是无效的
这样的话我们可以由这个式子可以看出
这下面这两个图给出了的源端和负载端的一个计算的一个过程
对于简单的纯阻性的端点
由下面的约束条件 我们在不引入空间的情况下
我们就可以得到第一个节点和N+1节点的电压以及中间的电压的一个迭代公式
如果整个系统为复杂的端接网络
则需要考虑状态方程的表示
对于线性网络
我们可以由dt=MX + NU
另外还有一个输出关系
Y是等于OX+PU+Q dU/dt
这里向量X是为集总参数网络的状态变量
一般为网络中的电感电流 电容电压或其子集
向量U为网络中独立电源
向量Y则是特定的向量(如电压或者电流量)
对于S端
设状态变量为Xₛ 输出变量为Iₛ 输入变量分别为
多导体传输线上V₁ 和独立激励源Sₛ
然后我们可以得到下面的状态方程和输出方程
也可以对这个状态方程进行离散
可以得到V₁ Vₛ Iₛ的一个递推表达式
对于L端设变量为X˪ 输出变量为 I˪
输入变量分别为多导体传输电线上V៷₊₁
独立激励源为S˪
也可以列出下面的一个状态方程和输出方程
然后也可以得到L端的FDTD迭代的格式
包括了A加1这个节点的电X˪ 以及I˪迭代公式
如果对一个纯阻性网络那就非常简单
很容易得到它的一个迭代的格式
因此可以看出
处理集总元件端口负载边界的基础
是确定电路的网络的状态变量及其状态方程
对于较为简单的端口网络
可以通过观测的方法获得状态方程和输出变量的方程
对复杂网络需要通过电路理论
借助特有树的概念
得出端口集总参数的状态方程和输出变量方程
从而可以确定端口网络的系数矩阵
这里给出了一个例子 多导体传输线的端口
包含了动态元件
假设其初始储能均为零
L₂ =100pF C₂=1μH
Rₛ₁ Rₛ₂ R˪₁ R˪₂分别为50Ω 它的线长是0.5m
初始这条件都是为零
这样的话我们可以列出它的源端的表达式
也可以列出它的负载端的表达式
再后面我们可以通过计算
当它的激励源的波形为幅值为1的方波
宽度为0.7ns
上升沿及下降沿分别为0.1秒的时候
对应的各个点的一个电压的表达式
如果是一个级联网络
就是说两个网络通过一个T网络来联系起来
那我们也可以来进行求解
那它的计算的一个条件就是第一个支路的最后一个点的电流
是等于在这个梯形网络输入电流的两个时步取平均值
同样的话
第二个回路的第一个点的电流是这个T型网络输出的电流的取的两个时步的平均值
然后我们化简可得到它的一个迭代的公式
对于负载网络T
设输出变量为IT₁ IT₂ 输入变量为 V₁ ,៷₊₁ V₂,₁
以及独立激励源ST
这样的话就可以它的状态方程和输出方程
按照时间序列进行离散采用一阶中心差分
我们就可以得到XT IT1 IT2一个迭代公式
连同状态方程和输出变量可得到级联点的迭代公式
另外我们可以对分支点来进行处理
双导体传输线的分支点处理
我们也可以采用Bergeron等效电路
我们可以在连接点这个小单元上采用Bergeron特征线法来进行等效
这里C₁ C₂ C₃ 为对应的单位长度的电容
由于只考虑了长度为Δz的一小段
因此可以视为无损线处理，忽略对地电导G
好这样的话
我们进一步推导可以得到它们之间的一个迭代的公式
另外我们可以采用该方法对多导体传输线
分支点来进行处理得到它的一个迭代的公式
对于两组多导体传输线直接连接的情况
我们知道支路的最后一个节点的电压与
第二个支路第一点电压是相等的
所以利用这样一个条件
我们可以用于非均匀导体传输线的电压的离散求解
若在分支点还接有集总参数的网络
可以采用类似于级联点的处理
将每组多导体传输线靠近集总参数的部分进行离散
将动态变量和集总参数网络到多导体传输线间的电流
作为输出变量
连同多导体传输线的端口电压一并作为变量进行求解
如果一个输电线路很长
采用时域有限差分计算的话
它的代价就会很高
有时我们也并不需要了解全线的电压和电流分布情况
在这种情况下
我们就可以采用时域有限差分和Bergeron法相结合来进行处理
可以节省大量的计算的时间
好 以上就是我们这节课的介绍
谢谢各位同学
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