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电磁暂态分析的第31讲
智能算法 时频双内插方法
时域和频域的方法都有各自的优缺点
对于频域计算的问题
采样间距小会导致频域计算量大
采样间距大不易考虑非线性介质和电阻的影响
另外在时域中计算则可以考虑这些因素
时域计算的缺点是
可能会在计算的后期表现出不稳定
其不稳定性会以高频振荡的形式出现
如果能将频域计算
和时域计算的优势结合起来
取长补短
则既可以准确地计算出系统响应的全部结果
又可以保证方法的稳定性
并且减少了计算时间
如何将系统的早时时域响应
和晚时低频频域响应结合起来
构造时域和频域的完整波形
是电磁场领域的一个重要问题
在国际上已逐渐开始受到关注
我们这里介绍一种新的方法
Hermite多项式
采用Hermite多项式
进行单维时域频域双内插的方法之下
首先采用Hermite变换
将时域采样点x(t)和频域采样点X(f)
全部都可以用一种
Hermite多项式来表示
Hermite多项式是这样一个特点
它的第0项是等于1的
它的第1项是等于2t
它的第n项是跟n-1项
跟n-2相关的
这个式子是Hermite多项式的一个表达式
Hermite多项式hₙ(t, l )
它从0一直到n到很大
可以组成了实数空间中的一组基
对于任意的曲线
都可以表示为这一组基的线性组合
也就是说
我们可以用一组Hermite多项式的求和式
来构造任何一个函数
这是n等于0到4的一个Hermite函数的表达式
因为可以看出
这种函数它只是一个振荡波的形式
因此用这种波形来进行拟合的时候
它的效果会更好
Hermite多项式构成了实数空间中的一组基
对于任意曲线x(t)
都可以表示为一组基的线性组合
用这个式子来表示
另外x(t)的付立叶变换X(f)
有如下表达式
这里L和l是坐标的尺度
系统响应x(t)
将它用Hermite变换进行分解
可以得到一组
Hermite项线性叠加的形式
则其付立叶变换后的频域响应X(f)
可以用另一组Hermite项线性叠加而得到
且每一个Hermite项的系数
与组成x(t) 的Hermite项的系数相同
由于Hermite多项式的值
只与时间t或频率f有关
对已知的t和f
在确定了坐标尺度l 后
hₙ是确定的
另外如果对应用于时间序列
和频率序列的响应都已经知道
则这一组时域响应和频率响应
可以构建一组方程组
在这个方程组中只有aₙ是未知量
通过求解方程可以得到
我们可以采用一部分
前面是一部分的时域解
后面是一部分的频域解
通过采样可以得到这一组系数
求解得到aₙ后
就可以得到x(t)和X(f)的级数表达式
并可以求得任意时刻和频率的系统的响应
这就是时域频域双内插的基本原理
在用Hermite多项式
表示时域或频域响应的曲线时
项数N越大
曲线拟合得越准确
计算量也相应会增大
时间尺度l能够在横坐标的方向伸展
和压缩Hermite曲线
对于变化激烈的波形
采用大于1的时间尺度l
能够减少拟合时需要的Hermite多项式的项数
从而减少计算量
对于不同的系统应采用不同的n和l值
从而在保证拟合的准确度的基础上
尽可能地缩短计算时间
另外我们也可以利用
离散付立叶变换实现时频两域双内插
但是它的实现过程会相对复杂
我们可以根据一部分早时响应和低频响应
通过反复的离散付立叶变换和逆变换
来实现在时域和频域中的数据拟合
它基本思想是早时响应结果为
起始的时域响应序列
低频响应结果为起始的频域响应序列
应当表征同一个系统响应
它们之间可通过离散付立叶变换来互相转换
由于这个方法比较复杂
这里就不做介绍
这就是这一讲内容
谢谢大家
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