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我们接着讲第二十讲
频变参数线路的频域方程法
这是线路的频域方程
dU比dx等于ZI
dI比dx等于YU
我们可以得到它的线路频域方程的解
在这里γ是线路的传播系数
γ是等于根号Z乘Y的
把它展开之后是等于
β+jα
β是衰减系数
α是相位系数
对于频域里的线路方程
它的特征阻抗是等于根号Z除以Y
对于无损线路
我们知道它是等于根号L除以C
将这个频域方程的解反变换到时域
可以得到它的线路方针的时域解
分析频域电磁暂态的简单的方法
是采用快速傅立叶变换
和快速傅立叶反变换
将频域问题离散化
针对选择的频点进行计算
但是采用这种方法的话
计算量非常大
对于实际线路还要考虑线路损耗
如果还要考虑线路参数
随频率的变化的特性
求出的线路方程的时域解
必然借助于更为复杂的运算
考虑线路参数的频率变化特性时
必须在频域写出线路方程并求解
而电力系统暂态过程宜在时域计算
且这种结果为时域
因此频域参数线路的计算的中心问题
是怎么使两者友好地结合起来
在上世纪七十年代以来
许多学者对此问题进行了研究
并且使计算方法逐步得到完善
如今
上世纪八十年代
Marti建立了更为有效的模型
先后引入到UBC
和BPA电磁暂态程序里面
这个图是2018年
我在开IEEE会议时候与Marti的一个合影
另外Humpage应用数字滤波方法
来处理这些问题
也获得了较为满意的结果
我们将频域方程的解应用于长度为l
端点为k、m的输电线路
可以得到k端和m端的电压
和电流的表达式
将k端和m端电压与电流
表示为前行波和反行波的形式
与原来的电路方程的解对比
我们可以得到
前行波和反行波的解
m点的反行波是k点的前行波
在m点的响应
k点的反行波是m点前行波
在k点的响应
e的-γl就是传输函数
通过推导
可以进一步得到这两个方程式
然后我们可以化简得到k点和m点的
电流表达式
这就是一个Bergeron特征线法的一个模式
可以写出它的Bergeron特征性法的等值电路来进行求解
线路无损时
参数又与频率无关
Zc和γ都是常数
e的-γl是一个延时函数
对应于时域Bergeron无损线模型
Zc和e的-γl都随频率变化
我们必须基于这一特性
才是所要求的线路模型
频变参数线路暂态的计算方法的关键是
如何处理Zc和e的-γl
从等值电路来看
就是如何处理Zc以及电流源Ih
或电压源Eh
下面介绍
线路的导纳权函数法
根据长线方程的解
我们可以得到Ik和Im的一个表达式
它是与k点电压和m点的电压相关联的
然后我们基于傅里叶反变换
应用时域卷积积分
可以得到k点和m点电流在时域里面表达式
这里符号*是代表两个函数的卷积积分
这是一个线路导纳权函数
y(t)的一个波形
可以看出它是一个衰减振荡波
所以线路导纳权函数方法
它的概念比较简单
但实用性比较差
因为导纳权函数具有持续时间
较长的多次脉冲的形状
卷积运算时
必须在某一时刻截断
因而会丢掉大量的信息
而造成误差
虽然导纳权函数的方法
没有得到广泛的推广
但是了解一下它的物理意义
还是很有启发的
设Um=0
相当于在m点短路
再设Uk=1
在时域就是uk(t)=δ(t)
相当于在k点施加一个单位的冲激函数
那这样的话
ykk(t)和ykm(t)
就是当线路末端m短路时
在首端k施加单位冲激电压时
出现在线路首端和末端的电流冲激响应
如果线路无损
这个尖峰保持冲击函数的形状周期地循环
如果线路有损
它是会随频率变 化导致冲激函数展开
具有一定的宽度
而且幅值逐渐减小
随着脉冲的循环出现
尖峰逐渐平缓而消失
我们再来看看为什么波形会越来越宽了
它的原因是
高频的分量会通过线路杂散电容
由于地中而消失
让我们来看看前反行波的权函数法
当线路特性阻抗
仍看作不随频率变化
然后我们再做加权处理前行波和反行波
我们可以取一个实常数R1
来代替特性阻抗Zc
令R1当ω接近无穷时
Zc的值
这样的话
它也就是无损线路的特性阻抗
然后我们把R1带入前面的方程
可以得到k点和m点的
前行波和反射波的表达式
将k点和m点的电流表达式
带入k点和m点的前行波表达式
可以推导得到电压与前行波的关系表达式
另外我们知道反行波电压
是总电压减去前行波电压
代入后我们可以得到
反行波与前行波的关系
也就是B=AF
A的话是一个系数矩阵
通过前面的推导
我们可以得到A矩阵中它的元素的表达式
实际上他是由两个元素构成
A1和A2
我们将B=AF展开
可以得到Bk=A1Fm+A2Fk
Bm=A1Fk+A2Fm
我们再来看看
采用这种方法后
它的前行波和反行波之间的关系有什么变化
我们前面知道k点的反行波
是m点前行波传播得到的
但是从这个式子可以看出
k点的反行波不光是与m点的前行波相关
还与k点自身的前行波相关
那个含义是什么
它的特性阻抗Zc是随频率变化的
由于我们引入R1代替Zc
此时端点k的反行波
不仅取决于m点的前行波
而且还出现了与k点前行波有关联的成分
A1、A2就是两个加权函数
如果我们令R1=Zc
这样的话公式右端第二项就会消失
这就回复到了无损线路时的情况
好我们把k点的反行波的表达式
反变换到时域
就可以得到这样一个式子
a1(t)和a2(t)就是时域前行波
和反行波的权函数
进行卷积积分
就可以得到bk(t)和bm(t)的
时域表达式
可以化简为简单的等值计算公式
也就是类似于Bergeron线路模型
所要求的等值的公式
这节课内容就到这里
谢谢各位
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