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下面我们讲电磁暂态分析的第23讲

电缆的电磁暂态的计算

随着城市的发展和改造

新能源大容量远距离输电

电力电缆得到了广泛的应用

其次

为了节省土地资源和减少电力设施对环境的影响

气体绝缘变电站得到了广泛的应用

GIS母线可以看成是气体绝缘的电缆

另外还有广泛应用的信号电缆

因此解决电力系统的过电压防护

绝缘配合、电磁干扰等工程问题

是工程界迫切需要解决的另外一个问题

这是一个电缆的结构 中间有一个缆心

然后边上是绝缘

在外面是有一个金属的护层

然后绝缘层在外面有一个金属的铠装层

外面还有一个绝缘的包裹层

那电力电缆和GIS母线架空线的区别是什么

一是结构比较复杂

且导体尺寸与导体间距可以比拟

导体间相互影响的邻近效应较强而不能简单地被忽略

其次频变特性更强且与大地联系更为紧密

随着通信技术的发展

早在上世纪三十年代

同轴电缆的电磁场理论分析由S.A. Schelkunoff等人完成

电力电缆电磁暂态的计算方法的研究

就是在这一基础上进行的

L.M. Wedephl和D.J. Wilcox在1973年发表了比较系统的论文

后来日本同志社大学的A. Amertani等人

对电缆计算方法进行了研究

首先看看电缆的参数

我们可以将电缆看成是n根平行导体

共同与大地构成返回回路

电缆系统在频域方程可以写成这样

Z是单位长度的阻抗矩阵

Y是单位长度的导纳矩阵

我们一般的话将G忽略不计

这是一个变量的剖面图

R为电缆的导芯 D为屏蔽层

M为金属护层 E为大地

这一个剖面图可以看成是三个回路

我们可以列出沿电缆轴向的回路压降在频域中的方程

Z₁₁ 是回路1的单位长度的自阻抗

它包括了电缆导芯外表面的内阻抗

Z₂ 是电缆导体与屏蔽层之间的绝缘介质中

时变磁通所表现出的阻抗

Z₃ 是屏蔽层内表面的内阻抗

Z₂₂ 是回路2的自阻抗

它包括了屏蔽层外表面的内阻抗

屏蔽层与护层之间的介质中时变磁通所表现出的阻抗Z₅

护层内表面的内阻抗Z₆

Z₃₃ 是回路3的自阻抗

包括了护层外表面的内阻抗Z₇

护层与大地之间的绝缘介质中

时变磁通所表现出的阻抗Z₈ 以及大地回路的内阻抗Z₉

Z₁₂ 和 Z₂₁ 由于1、2回路共用屏蔽层所表现出的两个回路

之间的互阻抗 或者称之为转移阻抗

Z₃₂ 和 Z₂₃ 是由于2、3回路共用护层

所表现出的两个回路之间的互阻抗

也称为转移阻抗

前面的列出的是回路方程

然后我们可以进一步来考虑它的节点方程

来考虑R、D、M对应的电压以及通过的电流与回路电流之间回路电压之间的关系

可以用这两个式子来进行表达

然后我们可以列出R D M

对地的电压与通过它的电流之间的关系

也就是我们所谓的相域里面的一个表达式

用于刚才介绍的单相单芯阻抗矩阵可以在相域里面的阻抗矩阵可以由这样的式子来进行表达

三相单相的电缆存在相间的互阻抗

各相电缆都以大地为返回回路

因此A相一大地回路中的电流必然会对B相和C相回路产生影响

每两个电缆的导线之间 屏蔽层之间

护层之间以及各个相对应的芯 层之间的互阻抗我们设定同一值Ze

Ze的话是由电缆的敷设方式以及各相电缆之间的相对位置决定的

电缆的敷设方式有三种

一种是敷设在地面之上

一种是敷设在地表面 一个是埋在土壤中

因此对于这三种不同的情况的话

都有公式来计算对应的Ze值

我们再看看电缆的导纳矩阵

电缆是同轴圆柱导体结构

导纳矩阵反映的是各导体间横向电流与电压的关系

因此工程计算中

一般忽略介质电导电流

因此各导体层之间的横向电流就只有电容电流

导纳矩阵各元素可用同轴圆柱电容计算公式来进行计算

这样的话

我们可以得到相应里面di/dx的一个表达式

在这里yph就是单芯电缆的导纳矩阵

由于大地是导电的媒质

各相电缆之间的静电感应会受到屏蔽

因而不存在相间的互导纳

好我们得到它的方程之后

我们下一个问题就是怎么来进行相模变换

实际上对电缆来说

我们可以采用前面介绍的架空线路的计算方法来进行求解

但是由于电缆考虑屏蔽效应之后它会有一些特殊的现象

我们这里还是来进行介绍一下

一个不经过换位的三相输电系统

当考虑回路损耗时相模变换矩阵是复数矩阵

它的参数是随频率变化

因而变换矩阵也会随着频率变化

在电磁暂态过程计算一般是在时域中进行的

要求变换矩阵是实常数矩阵

因此我们常取一定程度上的近似

一是忽略变换矩阵的虚部

二是在一定的频率范围内认为变换矩阵不随频率变化

与不换位架空线路的处理方法是完全相同的

对于电缆的阻抗矩阵

我们可以把它进行分块

一个是导芯 一个是屏蔽层

所以最ZDD三相电缆屏蔽层的阻抗矩阵

ZDR ZRD是三相导芯与屏蔽层之间的互阻抗矩阵

我们可以把导纳矩阵Y重新排列

进行分块

设成YRR YDD YRD YDR

分别表示三相导芯 屏蔽层以及芯线之间的导纳矩阵

YRD是导芯的自导纳

其负值是导芯与屏蔽之间的互导纳

YDE是屏蔽层对大地的导纳

YRD加YDE是屏蔽层的自导纳

我们重新排列以后的参数矩阵

Z、Y对应以下次序的电压和电流的矢量

下标R、D分别表示导芯和屏蔽层

a、b、c表示三相

电缆的电压传播系数P可以转换为 因为P等于ZY的

我们把ZY的参数带进去

可以发现P可以简化为这样一个形式

中间包含了P₁、P₂、P₃ 三个实矩阵

由于芯层之间ZRD与屏蔽层ZDD之差

就是屏蔽层的转移阻抗

当频率升高时ZRD趋于ZDD

因此可以认为在高频一般在5kHz下矩阵P₃ 是等于零的

这样的话P矩阵就会化简成这样一个矩阵

为了对电缆线路方程进行相模变换

需要求值P的特征值对角阵和特征向量矩阵S

我们有PS等于Sλ

我们引入矩阵K

这里I三相单位矩阵

K为非奇异矩阵

我们进一步推导可以得到如下的方程

因为K是非奇异值

K⁻¹PK与P具有相同的特征值

因为λ也是K⁻¹PK的特征值

所以按照定义T就是该矩阵的特征向量矩阵

因此可以先求特征向量矩阵T

然后得出变换矩阵S

根据矩阵为对角阵的特点

可以化简为求两个小矩阵对应的特征向量矩阵

其中Te 是P₂ 特征向量矩阵

Tr是P₁ 的特征向量矩阵

从P₁、P₂ 组成元素可以看出

Tr与大地回路参数无关

而Tₑ 则与大地回路参数有关

这样的话

我们可以进一步得到电压模变换矩阵S等于KT

电流的变换矩阵也很容易得到

一般P是(nxn)满阵

并且是不平衡矩阵

S也是复数矩阵

近似处理为实数矩阵来便于暂态计算

我们可以看出

对于实际的电缆的相模变换

它的模量1是三相铅层以大地为回路零序电流分量

由于大地导电性能差 该模量传播速度最低

衰减系数最大

模量2是以中相屏蔽层与两边屏蔽层为回路的电流成分

模量3是以两个边相的屏蔽层为回路的电流分量

模量2 3都是以屏蔽成为回路

所以他们的传输特性基本上相同

模量4是以每根电缆芯与其屏蔽层构成回路的电流成分

仍具有零序的性质

它是单芯电缆的基本传输特性

模量5是以中相电缆芯与两个边相的电缆芯构成回路的电流成分

由于每相电缆芯与其屏蔽层之间存在较强的电磁耦合

尤其在高频下

就与模量4传输特性很相近

模量6是以两个边相电缆芯为回路的成分

同样由于耦合的原因

在高频情况下也趋近于模量4的传输特性

这是在50Hz和500Hz下的一个相模变换矩阵

可以看出

随着频率的增加

它的虚部是逐渐逐渐减小的

也就是当频率大到一定的程度

它的虚部可以忽略不计

好以上就是这讲内容

谢谢各位同学