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今天我们讲电磁暂态分析的第27讲

Chebyshev多项式方法

这一讲的内容

我们从时域电报方程

利用Chebyshev展开式

逼近传输线的分布电压和分布电流

使时域电报方程中的时空变量离散分布

化偏微分方程为常微分方程

从而建立起传输线的时域模型

Chebyshev多项式是一个很有意思的东西

如果你在Google Scholar里面搜查的话

2018年以来有15700篇文章

在整个Google Scholar里面

有29万篇文章是与Chebyshev多项式

或者与Chebyshev近似相关的

这是Chebyshev多项式的表达式

它的Tn (x) = cos(narc cos x)

注意x范围是-1到+1

Chebyshev多项式在逼近理论中有重要的作用

它有以下的几个重要的性质

性质1

Chebyshev多项式

它可以写成递推的格式

它的第n+1项是等于2xTₙ(x)-Tₙ₋₁(x)

它的第0项是等于1的

与T₁是等于x

这样的话我们可以得到它的性质2

Chebyshev多项式

Tₙ是n次代数多项式

性质3

Tₙ的最高幂

是xⁿ项的系数为2n-1的多项式

它的性质4Chebyshev多项式

在-1~1中有n个不同的实根

即n个0点

另外它在-1到1中有n+1个极值点

性质6是它在-1到1中间是一个带权

根号1-x²的正交多项式

也就是说

它的Tₘ项和Tₙ项

是以权根号1-x来正交的

这样的话当m

n m在不同的值时

都可以计算出它的结果

当m等于n等于0的话

它的积分等于π

当m等于n不等于0的话

是等于1/2π

当m不等于n的话

它是等于0的

因此我们在线性空间

-1~1内可以定义一个内积

f g的内积用这样一个式子来进行表示

然后取由次数不超过n的Chebyshev多项式

组成的线性集合Q

Q的任意一个元素都可以写成

由Chebyshev多项式加权迭加的形式

前面这个系数就是加权系数

可以由这样一个内积f跟Tⱼ的内积

以及Tⱼ跟Tⱼ自己的自内积型的相除来得到

如果我们在Q中

寻求对某一函数f(x)最佳平方逼近

这样的话我们可以得到这样一个式子

当j等于0的话它是等于π

当j不等于0的话

它是等于1/2π

这样的话

我们由性质5及内积定义就可以得到

a₀以及aⱼ的表达式

注意Chebyshev逼近是对整个区间

-1到1而言

所以 Chebyshev展开式常常用作函数

在整个区间的一个近似逼近

假设函数f(x)在-1到1上有界

那么它的最佳平方逼近多项Sₙ

当n趋近用无穷时

它就会一致收敛于f(x)

这样的话

函数f(x)的Chebyshev展开式

是-1到1上的最佳平方逼近

就可以写成这样一个形式

f(x)写成一个j等于0到无穷

aⱼ乘上Tⱼ的x这样一个表达式

这里a₀跟aⱼ

都会有一个具体的表达式可以求得

下面我们以单根传输性为例来介绍

怎么利用Chebyshev展开来进行建模

我们先写出传输线的时域电报方程

注意这里的x是在0到l这样一个范围的

所以我们把x写成x'

这样的话

设x'是等于l/2(1-x)

这样的话对应的x的范围就是-1到1

这样的话

我们就可以将时域电报方程

进行转换到这一个方程里面

这个方程的x在-1到1的

我们采用Chebyshev展开式

逼近传输线的分布电压和分布电流

我们将它的电压

用这样一个Chebyshev多项式表示

也可以将它的电流用Chebyshev多项式表示

因此我们在保证精度的前提下

来截取展开式的前m+1项

因为我们不能直接对无穷来进行计算

所以说我们必须截取m+1项

这样的话它的迭加的范围就从0到m了

应用Chebyshev多项式的正交性质

我们可以得到

a₀ aₘ以及b₀ bₘ的表达式

另外我们可以对Chebyshev多项式来进行化简

我们把x如果等于sinα的话

α的范围就是-π/2到π/2

这样的话

a₀跟aₘ的计算公式

就变成了一些三角函数的计算

在-1到1之间我们取m+1个点

它会对应一个sinα的一个值

将区间均分为m段

来利用复合梯形积分来进行近似计算

可以得到a₀以及aₘ的表达式

根据Chebyshev展开式的性质

我们得到如下的aₘ bₘ的简化公式

然后带入电压和电流的表达式里面

然后我们可以进行Chebyshev展开

来得到它的电压和电流的一个表达式

一个简洁的表式

这里面出现了一个gₘ(x)

gₘ(x)的话是等于这样一个公式

可以来进行计算

带入电报方程以后

就可以得到基于Chebyshev展开的

这样一个方程

我们在-1到1之间取m+1个离散点

这样的话这是一个x里面cos(nπ/m)

n的话是从0到m

假设我们利用Dₙₘ是等于dgₘ(x)

x等于xn的

这样的话我们就可以有结论

当它在不同的m n取值的话

我们都可以得到一个Dₙₘ的一个结果

我令D等于Dₙₘ

然后这是一个电压的列项量

电流的列项量

我们就可以列出

基于Chebyshev展开的常数线的方程

就Dv=-Rᵢ-Ldi／dt

Di=-Rᵥ-Cdv／dt

在上述两组常微分方程中

如果我们去掉两个方程

它的x₀和xₘ点对应的方程

施加传输线的两个边界条件

这样就构成了单根传输线的模型

我们可以看出这个模型可以分成两部分

一部分是含有微分算子

一部分是不含微分算子的

经过整理

可以消除一部分不含微分算子的方程

而将其合并到含有微分算子的方程中去

可以得到这样一个方程

这里u是电压电流的向量

e为输入信号

建模时我们要注意如下两点

很明显

它的x等于x0

是等于1

对应的传输线的远端

x等于xₘ=-1

对应了传输线的近端

式中的D R L G C 第一行

对应传输线的远端变量

第M+1行对应传输线的近端变量

所以建模是要注意系数矩阵的顺序

另外点x₀ xₘ对应的方程有4个

去掉哪两个来补上它的必要条件

必须要保证它式中的A'的

这样一个矩阵是可逆的

另外模型方程

最终可以成立为一个状态方程的形式

然后我们可以很容易的求解这样一个状态方程

得到它的解

对于多导的传输线

同样可以采用Chebyshev多项式

来进行等效

多导体传输线假设它的导线的根数是n

那这样的话我们可以列出它的电报的方程

这里电压和电流的话都变成了一个矩阵

然后我们将每根线的分布电压和分布电流变量

进行Chebyshev展开

带入前面的电报方程

我们可以得到这样一个方程

然后我们可以得到

基于Chebyshev展开的多项式的传输性的方程

如果是频变传输线的话怎么处理呢

我们首先可以列出频域的电报方程

然后我们用有理逼近

来处理它的阻抗Z

将其带入频域的电报方程中

然后我们对上式进行拉普拉斯变换

得到它的实域的解

这中间的话f是卷积项

然后我们可以将传输线的分布式电压

与分布式电流进行Chebyshev展开

在这个地方的话

这里F为M+1维向量为卷积项

如果去掉合适的方程

再补上边界条件

即可以得到频变参数传感器的模型

再利用递归卷积方法

可以得到频变参数传播性的瞬态响应

对于这样卷积积分

我们可以采用递归卷积积分的形式

来进行求解

然后我们利用线性插值

逼近传输线上分布电流

关于时间t的函数

即假定电流在各时间点之间是线性的

然后我们有如下的性质

也就是说

我们可以把递归卷积积分

用到这一个求解它的卷积来

对于Chebyshev多项式的应用

它会有一些技巧

首先是m的取值

分段数的多少直接影响到计算的速度

一般来说取m=2+4l/λ

这里λ为传输线模型的最小的波长

一般的电力传输线因为频率很低

波长很长

即使M很小的话

也会取得很好的效果

对于PCB的传输线一般l很小

虽然频率很高

m值同样不至于很大

另外就是不均匀参数的计算的问题

对于非均匀导体的对角线元素

和节点元素位置有关

另外关于方程的修正

按照算法得到了方程后

还需要根据边界条件来进行方程的修正

这是工作量最大的地方

修正的方法不对

容易产生数字发散

甚至无法计算

修正方法不是唯一的

所以修正后的LC阵

必须是可逆的

万不得已出现LC不可逆的情况

就需要人工消除某几项电压或者电流变量

才能继续求解

实际的信号都不可能是阶跃信号

都有一个上升沿

这个前提下

当传输线直接和电源相连的时候

修正时就可以采用电压和电源的微分形式

如果采用阶跃信号

这个时候就不能采用电源的微分形式

在一开始的时间内传输末端响应

出现了振荡现象 和实际信号有相当程度的不符

这是因为在数字计算时

电源初始值发生阶跃引起的

需要对电压进行变量替换

解决的办法

是并联一个很小的电容

或者串联一个很小的电感

这里给一个例子

导体长度是0.5米

有4个电阻

它均为50欧

我们来计算这一个B点的电压

这是它的一些参数

可以看出没有并联小电容的时候

在起始段出现了很强的振荡

如果我们并联了一个10⁻¹⁴pF的电容

在开始段的振荡就已经消除了

证明这个方法是很有效的

另外算例2

电路中包含一个非均匀耦合的传输系统

它的长度是0.48米

输入信号上升沿和下降沿都是1.5ns

中间是1V的电平持续了3ns

这是它的电感电容导纳电阻的计算公式

它都是一个x的函数

然后我们有两种方法来进行处理

一个是在传输器上取9个分点

也就是m等于8

将传输线分为8段

建立的它Chebyshev的模型

另外一个是作为比较

我们把它分成48段

每一段作为均匀传输线处理

采用向后欧拉公式来进行计算

你可以看出即使分成了48段

采用向后欧拉公式后

在它的末端仍然出现了振荡

所以说这种方法精确度还是不够

Chebyshev8段的效果

是远远好于向后欧拉公式的48段的

分断的效果

以上就是这讲内容

谢谢各位