微分方程的数值解在线视频

现在是第九讲

微分方程的数值解

我们先回忆一下上次课

我们所讲到的

数学模型的发展过程

我们首先得到的是差分方程模型

到了17世纪确切的时间

我们就说是牛顿和莱布尼茨

决定了微分方程怎么

一个定义的时候算起

那应该是1684年

这个时候有了微方程

我们可以用微方程来描述

我的一个系统的动态过程

到了1942年哈里斯先生

定义了传递函数

定义传递函数之前

在1812年拉普拉斯先生

用他的变换的方法

来解决微分方程的求解问题

我们已经知道了模型

就有这么三种

那我们怎样才得到这些模型呢

得到模型有两种方法

一种方法是理论方法

所谓理论方法

我们可以用三大守恒定律

能量守恒 质量守恒 动量守恒

根据这些个守恒定律

可以写出一个系统的动态的

差分方程

当有了差分方程以后

我取极限

我就可以得到微分方程

但是有的时候

我们也可以直接得到微分方程

那么这个过程很复杂

也没法在我们的专业概论

这门课里头呢来讲

这个以后的后续课程里头

会有这方面的详细的讲解

我们把理论的建模方法

称作白盒法

所谓的白盒就是一个白色的盒子

是透明的

也就是说我们只有了解

系统的内部情况

我们才能得到它的数学模型

相对白盒法

那就是黑盒法

所谓黑盒就是我对系统的内部

我没有什么了解

我只知道系统的输入是什么

就能得到输出是什么

这样的话我就可以通过试验

来去求解这个系统的数学模型

试验建模的方法

就称为试验建模

试验建模得到的不是微分方程

它得到的呢最简单的形式是

传递函数

最早用试验建模得到的呢

是差分方程

但是随着计算机的发展

计算机的速度足够地快

所以说呢我们就可以用计算机

直接解出来传递函数模型

所以模型就是这么三种

建模的方法就是两种

一种是理论建模

一种是试验建模

现在我们再来讲解

怎样得到微分方程的数值解

所谓数值解就是用计算机

能够对这个方程进行求解

计算机是数字计算机

所以说微分方程的数值解

其实就是求解它的差分方程

如果你得到的数学模型

就是差分方程

我们什么工作都不用做

就把这个差分方程呢

写出它的程序来就可以了

如果你得到的是传递函数

或者是微分方程

那么你必须把它们

转化成差分方程

所以求微分方程数值解的过程

就是把传递函数

转化成微分方程

再把微分方程转化成差分方程

再把差分方程转化成计算程序

我们也把这样一个过程

叫做数字仿真

现在我们看一个实例

这个系统是一个单回路控制系统

我们已经得到了它的状态方程

中间方程 输出方程

有了这些方程

我们怎么来求解呢

先看怎样把一个微分方程

转化成差分方程

比如我们这个式子

要求解它的导数

我要求它的数值

经典的方法是直接求出导数

然后把时间t代进去

然后就得到这样一个结果0.1414

可是我要用数值解我怎么办

我就按照微分的定义

也就是说y的导数

就等于y(t0+△t)时刻的值

减去y(t0)时刻的值

然后再除以△t

这个式子其实就是差分

假如△t等于0.0001代入上式

同样我们也可以得到0.1414

求导数的这么一个运算

可以把它变成代数运算

这就是把微分方程

化成差分方程的过程

比如有一个微分方程式

85y(t)的导数加y(t)等于1

我们的经典解法是求出

这个方程的传递函数

再反变换就能得到它的解析解

其实解析解不是我们的目标

我们的目标是要看看

它的曲线是什么形状

现在我们利用计算机来求解

我们可以把y的导数

给它改写成y[(k+1)△T]

时刻的值减去y(k△T）

时刻的值再除以△T

其他的把T都换成k乘以△T

这样我们就可以得到

下面这个差分方程

这是我们的计算程序

得到的相应曲线就是这个图

这就是图解过程

那么对于一般的方程

如果是X(t)的导数等于f

这个f呢是谁的函数呢

是X(t)的函数 是U(t)的函数

是t的函数

所谓X(t)就是系统的各个状态

U(t)是系统的输入 t是时间

按照导数的定义

就可以得到下面这个式子

再根据这个式子

我们就可以推导出

求X[(k+1)△t]时刻值的

差分方程

这是一个通式

我们所有的系统

都可以用这个公式来做

回过头来我们看看

刚才我们得到的这一组状态方程

我们怎样把它改写成差分方程呢

对于每一个式子

我都利用刚才这个公式

就会得到后边这一系列的

差分方程

x1[(k+1)T] x2[(k+1)T] x3[(k+1)T]

对中间方程我们不需要进行转换

它本来就是代数方程

计算机能求解代数方程

输出方程它也是代数方程

也不需要进行转换

直接写到这就可以

下面我们来讲怎样

从差分方程变成仿真程序

在讲之前我们先看一下经验公式

假如一个被控对象是这样的形式 Ke^-τS/（1+Ts）^n

这个e^-τS表达的是一个纯迟延时间

这样一个被控对象

我要对它进行仿真的话

我这个△t取多少合适

就是我们在差分方程里边的

那个△t 经过我们多年的实验

我们可以得到下面这样一个式子

这个△t就等于什么呢

等于100到40分之nT

n是阶次 T是时间常数

为什么有这样一个式子

我们的仿真书上已经有过分析

nT就是代表这个系统的快和慢

你这样想如果系统变化很快

那你的计算步距必须要小

你要大了会什么情况

就会把中间的信息给丢掉了

所以说如果系统是慢

你可以相应地计算步距大一些

这个公式我已经应用了将近30年

现在呢用起来还比较好

除了这以外

多长时间可以结束呢

一般的是系统稳定时候

再往下仿真就没意义了

那么这样我也给出一个经验公式

就是5到20倍的nT+τ 因为nT和τ

都代表了这个系统

到底要多长时间可以结束

有了这两个公式以后

我们在对系统进行仿真时

我们就能很容易地给出△t

这里头我要强调的是

因为现在计算机的速度

已经足够地快

为了提高精度

你那△t可以

比我的经验公式还要小

因为这是30年前

为了解决计算机速度慢

我又能有一定的精度的情况下

我才给出△t

这样的一个经验公式

对刚才这一个系统的差分方程

我又重新列出来

右边就是根据差分方程

所编写的程序

运行结果如下图