建立被控对象的数学模型在线视频

现在进行第十二讲

建立被控对象的数学模型

在前面的几讲里

我们已经谈到

数学模型一般有三种

那就是差分方程 微分方程

还有传递函数

建模方法有两种

一种是理论建模

一种是试验建模

理论建模呢是适合于

差分方程和微分方程的建立方法

这一讲里头呢

我们主要讲述

怎样通过试验的方法

建立起传递函数模型

首先看一下

我建立模型的硬件系统结构

看这幅图

在这幅图当中

虚线以上的部分在生产现场

我们需要建立的模型

是被控对象的模型

但是我测量的数据从哪引出呢

在生产现场当中

执行器接收手操器

或者是PID控制器的输出

那么这个输出

可以通过A/D转换输入给计算机

被控对象与传感器之间

没有测点

没有信号流出

传感器的作用是

把非电量的物理量

转化成电量

所以说能传输的信号

是在传感器以后

所以说我们应该把传感器的输出

经过A/D转换送给计算机

当有了一系列的输入u

和一系列的输出y的数值量以后

我们可以通过某种算法计算出

所要辨识的物理对象的数学模型

现在具体看一下辨识原理

在这幅图当中

f是我们要辨识的被控对象

fg是我们假想的

这个对象的数学模型

输入u是在现场的物理量信号

通过A/D转换器

采样周期是Ts

然后变成了数字量

同样对于被控对象的输出

也要通过A/D转换器

采样周期是Ts

把它转化成一系列的数字量

接下来把一系列的输入数据

输送给我们假想的数学模型fg

计算得到它的输出

这个输出我们可以叫做y三角

然后让y减去y三角

等于一个偏差e

如果每时每刻的偏差都达到最小

当然最小值是零

此时fg最靠近f

此时的fg即为我们所求的数学模型

那么我们可以写出目标函数

如这个式子所示

在该式当中

我们用了e的平方

然后再求和

为什么要用平方呢

因为每一时刻的误差

有时候是为正

有的时候是为负

如果我们要把

正误差和负误差加起来的话

即使它等于零

也不能说明这个误差达到最小

所以说我们用平方的形式

就变成了二次型曲线

这样的话

当它达到最小值的时候

才说明整体误差达到最小

我们把这个式子叫做最小二乘

从整体来说

试验建模通常有三种方法

第一种方法是飞升曲线法

这也是一种比较经典的算法

什么叫飞升曲线法呢

那么看这幅图

假想被控对象受到输入的扰动

而且这个扰动是单位阶跃输入

那么会得到一个输出

这个输出的曲线如右图所示

我们把这样的曲线

称作飞升曲线

从这个飞升曲线上

我们可以利用经验公式

得到被控对象的传递函数

这些公式是前人

通过许多实验和研究而得到的

那么它的实用性怎么样

如果你做飞升曲线

做得比较标准

那么这个经验公式应该是没问题的

但是你做实验的时候

你做得不够标准

那么这个公式得到的传递函数

也就不准确了

什么叫做标准的飞升曲线呢

也就是说

当你加输入的时候

是要阶跃的

所谓的阶跃

就是你把阀门突然开大到10%

或者是20%

那么你是否突然就能把阀门开大呢

那是不可能的

它需要一定的过程

才能把阀门开到10%或者20%

那么这个时候的

飞升曲线就不是标准的了

下面我们来看一个实际应用的例子

在这幅图上

绿线代表的是被控系统的输入

我们本来的要求是

它的输入一定是阶跃函数

但是我们已经看到

它不是真真正正的阶跃函数

这就有误差

红线代表的是系统的输出

这个输出就是在绿线作用下的输出

通过我的经验公式

我拟合的传递函数如下

这个传递函数的仿真结果

就是这个粉红线

我们从这个图上就可以看到

粉红线与红线的差距

这就是我的辨识误差

从这幅图上来看

这个辨识结果我们还是可以接受的

下面我们再来讲一种辨识方法

叫做最小二乘法

该方法是一种比较经典的辨识方法

那么来看一下这种辨识方法的原理

首先我们假想

被控对象的数学模型

可以用以下的差分方程来描述

第一个方程表达的是

在K时刻的被控对象的输出

最后一个方程表达的是

被控对象在第N时刻的输出

那么这之间共计有N-K+1个方程

每一个方程

我们都认为存在一个误差

对第一个方程

我们认为误差是e(K)

对最后一个方程

我们认为误差是e(N)

那么我让所有的

误差的平方之和达到最小

那么就等于我建立的这个方程

就不存在误差了

或者说这个方程的误差达到了最小

那么它的目标函数如下所示

据此我可以用向量和矩阵

来表达这些方程当中的系数

以及各个变量

那么我用θ

表示方程的系数

用Y表示输出

用E表达的是偏差

用X表达的是各时刻的输入和输出

那么由此就可以求到

当目标函数达到最小时

这个时候的解析解

如这个式子所示

现在我们可以看到

最小二乘法得到的是解析解

为什么会出现解析解呢

因为当年有了最小二乘的时候

还没有计算机

人们自然想到

用解析解可以手算

就能得到被控对象的模型

但是现在有了计算机了

所以说这种方法也已经过时

下面我们来讲述第三种辨识方法

也是目前最流行的一种辨识方法

我们称它为智能辨识方法

我们还是先来看一下

系统辨识时的结构框图

这个框图和刚才最小二乘法

是完全一样的

目标函数也是完全一样的

所不同的是

优化方法不同

最小二乘方法

试图用最小的计算工作量

就能得到被控对象的数学模型

所以它采用了解析解的方法

这样可以通过手算

就能求到被控对象的数学模型

现在有了计算机了

我们不能再用这种简单的方法

因为这种简单的方法

还会有很多的缺陷

比如它对系统的输入

有一定的要求

对所采集的信号进行预处理

也有特殊的要求

还有它不能

对多输入多输出的系统进行辨识

所以说最小二乘方法

虽然发展了很多年

但是至今也没有真正地在现场

得到了广泛的应用

那么我们如果用计算机求解

我们应该怎么做

首先我们的被控对象的数学模型

我们不再需要差分方程

我们可以任意的

一个传递函数都可以

只要你认为这个传递函数

能代表你这个被控对象

然后同样用我们所知道的

任何的优化算法

都能得到数学模型的各个参数

下面我们来看一个

实际系统辨识的例子

这个系统

是一个双输入双输出的系统

它的物理结构在这里不做解释

我们只看看它的方框图

它的方框图如右图所示

方框图中每一个传递函数

都是二阶的

具有这样的形式

在生产现场当中

我采集了三天的历史数据

采样间隔为一秒钟

那么经过处理后

这些数据的格式如右图所示

通过刚才讲述的智能辨识方法

我们就能得到如下的

四个传递函数模型

它们的响应曲线与原来的曲线对比

如右图所示

从这个辨识结果我们可以看出

辨识模型具有很高的精度