目标函数设计在线视频

现在是第十讲

最优化理论与方法

我们先来谈一下最优化问题

其实在我们生活当中

我们每天都面临最优化问题

你比如

你今天想做什么事情

怎么做

效率最高

你脑子里头可能有几种方案

你选择一个最好的方案

即使我们吃饭的时候

其实我们也在做优化

我要吃我对口的

我还得需要价钱便宜的

当你设定这样一个目标以后

你就会去选择哪一道菜适合于你

这就是最优化问题

所以最优化问题呢

有两件事情需要做

第一件事情是提出你的优化目标

第二就是在这种目标下

我们选择什么样的策略

而达到这样的目标

可是我们所提出的目标

如果需要计算机求解

那么必须把它写成函数

计算机没有我们人的这种思维

虽然现在人工智能

已经有很大的发展

但是那是仅仅的一小步

比一小步的还一小步

这个路途很遥远

因为我们人的思想

究竟怎么想出来的

到现在为止

我们还是没有弄清楚

所以用计算机完成

人的大脑的思维功能

到目前为止

还没有实现

那么在目前的情况下

我们只能是这样子

我要想达到一种什么目标

我只能把它写成一个函数

这个函数

要有极值

极大值或者极小值

这样的话

计算机就会利用它的

计算速度快的功能

搜索到我们所需要的参数

所以说第一件事情

提出目标还不行

还得把我们的目标呢转化成

一个函数

我们称为目标函数

对于我们控制系统来说

这个目标函数

还是比较容易给出的

我们在前面

已经讲到过我们一个控制系统的

调节品质

我们可以用三个品质指标来衡量

稳定性 准确性 快速性

那么对于每一个目标

我们也提出来它的具体的范围

比如衰减率

我们说在过程控制系统当中

一般是0.75到0.98

而超调量一般的要求是大于5%小于20%

那么过渡时间呢 当然是越短越好

好了 那么我们就可以根据这几个品质指标

写出如下的目标函数

这个函数是有极值的

为什么要加括号加平方

因为不加平方的话

它是一个线性函数

或者是非线性函数

但是它不存在极值

这是一个二次曲线型函数

这是几种写法

但是我们这样写

会存在问题

什么问题呢

因为这样写下去以后

我要满足一个品质指标了

其它的品质指标

你没有考虑

那这是不行的

所以说我要把这几个指标

给综合起来考虑

才可以

虽然刚才我们已经列写了

这几个品质指标的目标函数

但是我们在实际当中

并不使用它们

我们真正使用的呢

是这样的一个目标函数

如果这个系统输入加一个阶跃

比如就加单位阶跃 也就是加个1

那么系统的输出曲线

应该是什么形状呢

那应该是后面这个曲线的形状

但是衡量这个曲线的好与坏

我们前面用的是稳准快来衡量的

它们之间是互相有影响的

所以说我们要综合考虑它们

我们就不能拿

这个曲线来衡量了

我们看这条曲线

这条曲线呢

是希望值

减去输出值

那么它们的偏差

就等于这个曲线

我们可以看到

它的阴影越小

那么它的调节速度就越快

超调量也会小

那好

那我就让这个面积

达到最小就行了

我们知道最小是多少吗

最小是0

怎么样才是0呢

就是说

当你输入加一个阶跃的时候

输出也是阶跃

这种情况就是0

我们已经说过我们做不到

那只能是这样的一个曲线

这样我就可以写出目标函数

偏差e的绝对值的积分

从哪积呢

从头积到它稳定位置

这个积分就是目标函数

这里头我为什么要加绝对值呢

因为我们求的是阴影部分的面积

如果你不加绝对值的话

我会用正面积减去负面积

这样得到的结果那是等幅振荡才有的结果

那么目标函数就是0

所以说我们必须要加个绝对值

还有我们要积到什么时候结束

我们说积到稳态时候为止

可是我们不知道什么时候

到了稳态

那我就随便猜一个数

当我随便猜一个数的时候

有可能你猜的很短

因为对一个系统

当你不是了解的时候

你不知道这个调节过程

有多长

另外跟你的控制品质还有关

你要调节的好

那么稳态时间就短

你要是调节的不好

稳态时候就会长

所以说

我们呢

不能简简单单的

用这样一个面积

来衡量它的品质

这样的话

可能满足了其中的一个品质指标

但是另外两个品质指标呢

可能满足不了

为了满足它的超调量不要大

过渡时间要尽量的快

还要系统稳定

我们就使用下面这个目标函数

也就是说

在e的绝对值前面

乘上一个时间权

你想啊 你乘上时间权以后

如果你一时稳定不下来的话

那么这个时间t是很大的

它很大

你稳定不下来

也就是说e不等于O

那么这种情况下

这个面积就会很大

所以说我们乘以

一个时间以后

相当于对目标函数

进行了时间的惩罚

你不能太慢

你太慢了

我让你的目标函数就很大

只有很快进入稳态以后

虽然时间很大

可是呢

偏差e很小

它趋向于0了

那么结果呢是目标函数就比较小

除此之外

我们在涉及目标函数时呢

还应该考虑控制器的输出

在前几讲里边我们就已经讲过

我们不能单独考虑

控制品质

这个控制品质要从数学上讲

你想要达到什么样的标准

都有可能

但是一到实际工程当中

我们这个控制品质

就不是说你想要达到什么样子

就能做到什么样子

因为它受到物理条件的限制

受到控制器的输出的限制

所以说

我们还应该在我们的

目标函数当中再加一项

加一项什么呢 限制你控制器的输出

你控制器的输出

如果越大

那么我就让你目标函数越大

这样的话

就不是我们所选择的

我们现在要求目标函数达到最小嘛 对吧

所以我们可以用下面这个式子

来表达我们的目标函数

目标函数越小

它的控制品质就越好

那么你可能要问

你这样做的话

你考虑没考虑过它的超调量

衰减率

过渡过程时间

是 我们没有考虑

其实即使你按照这个式子

寻出来了结果

也不一定满足我们这几个要求

那么我们怎么办呢

我们再在这个式子

当中再加一项

我们称为约束函数

也可以叫做罚函数

惩罚它 怎么惩罚

你每次得到了最优结果的时候

你都要看一下

看一下什么呢

看一下衰减率满足不满足

0.75到0.98的要求

如果不满足

我就让目标函数当中的Qf1

我让它等于一个很大很大的数

这个大数你随便定

越大越好

我惩罚它

再看一下

超调量满足不满足大于5%

小于20%

如果满足我不惩罚

让它等于0

否则我就让它也等于

很大的一个数

这样到了最后

我们得到的结果是

一定是满足这两个品质的

这两个惩罚值我选择的不同

不同是什么目的呢

那就是说你更倾向于首先要

满足哪一个品质指标

你可能还会问过渡过程时间怎么办

现在我没有好的办法

因为我事先不知道

过渡过程时间

多少比较合适

那么你说

我能不能利用经验公式

得到一个希望的

过渡过程时间呢

这也是不合适的

因为那只是个经验公式

还得到实际当中去考虑

你要想得到一个最快的时间

还得看一下控制器的

输出的限制是多少

所以说呢我这里边就不再

对这个过渡过程时间

进行惩罚

好了

现在我们已经得到了目标函数

当有了目标函数以后

接下来的工作

就是用一种优化策略

找到我们目标函数的极值

优化策略会很多

但是它们的优化结果

应该是相同的

因为我们的目标是一致的

现在讲一种工程上比较实用的

优化策略是什么呢

经验公式

再来看这样一个方框图

这个方框图控制器是PID

被控对象是一个通用的对象

那么它有惯性

就是（1+Ts）^n

这样n阶惯性

还有呢是纯迟延

纯迟延是e的-τS

τ是纯迟延时间 K是增益

那么如果这样一个对象

我的控制器参数应该是多少呢

经过我们长期的经验积累

得到下面的这样的一个经验公式

这个公式的系数

也列在下面

你可以根据具体的

被控对象参数

选择δ和Ti及Td

再来看一个系统

假如这个系统是

无自衡能力的系统

那么它的经验整定公式如下

这个呢和有自衡的对象

是不相同的

你想象一个有自衡的系统

即使你不调节

它也能达到稳定

可是对于无自衡系统呢

如果你不进行调节

它就不能稳定下来

所以说它的控制作用不应该大

应该是小

也就是说对于

无自衡系统来说

控制的速度应该慢一些

而对于有自衡系统呢

应该是快一些

看这个实例

这样一个对象

我们在前面已经出现过

我们按我们的经验公式

可以整定出δ和Ti

他的相应曲线 如这幅图所示

从图上可以看到

它基本满足了

我们的品质要求