当前课程知识点:自动化专业概论 > 第三章 自动控制理论基础 > 第一节 控制系统的数学模型——差分方程模型 > 差分方程模型
现在开始第五讲
控制系统的数学模型
首先先讲差分方程模型
什么是数学模型呢
如果一个系统
它的输入是u
输出是y
当系统受到输入的作用以后
输出会发生变化
整个是这样一个过程
在前两次课中我们已经谈到
系统的运行状态有两种
一种是静态
也就是说
当没有受到外界扰动的时候
系统的输入不随时间连续变化
系统的输出也不随时间连续变化
那么这种情况下
我们称为静态
当系统受到输入的扰动
系统的输出跟随这个扰动
发生变化
但是通过我们的控制作用
又稳定在一个新的值上
这也形成一个稳态
所以说这两种稳态
都是系统的稳定状态
那么稳定状态下
的数学模型怎么来描述呢
一般我们不来描述
这样的输入和输出之间的关系
为什么
因为很难来描述
而且也没有意义
比如
我站在这个位置上
你打了我一拳
然后呢会把我打到
另外一个位置上去
可是我到另外一个位置上
通过我自己的调节作用
我会站稳了
那么 你会问
我跟你这一拳是什么关系
我不好表达
比如另外一个人
也给了我一拳
也从了我这个位置
把我打出去了
也打到了一个位置
可能是另外一个位置
那么你问我
跟它是什么关系
我也不好表达
而且表达这种关系
没啥意义
但是我们需要表达的是什么
我们需要表达的是
他当打你一拳的时候
这是给你一个外力
你受到这个外力作用以后
你走了多远
走了多远才重要
比如你打我这一拳
给了我的是一牛顿的外力
那么
我走了一米远
如果你给了我两牛顿的外力
那么 我走多远呢
我应该是走两米远
哎 我这种关系是有用处的
但是究竟我原来站的这个位置上
和现在我去哪儿了
用处不大
所以说
我们衡量呢静态关系的时候
我们也是衡量
当输入发生了变化
那个变化了多少
而输出呢跟随这个变化
稳定的时候
达到那个希望值的多少
它们之间的关系
我们可以看这幅图
假如系统的输入
是从5变化到7
不管它的量纲是什么
它变化了2
而输出呢
是从535变化到545
它变化了多少呢
变化了是10
那么输入要是2的作用下
它的输出呢是10
所以说
这个关系我们就可以用
输出的变化比输入的变化
就等于5
这样的一个关系来描述
也就是说
这个系统以后
要受到了变化值为10的变化
那么输出应该变化多少呢
变化50
输入要变化了20的话
那么输出变化多少呢
那就是100
我们和这个系数K
就称作增益 系统的增益
但是这里头我们要讲的
这是属于线性系统
对于非线性系统
可能就更复杂了
这里头不再多说了
系统的另外一个状态是动态
我们也讲过
当系统的输入随时间变化以后
系统的输出也随时间变化
到最后系统还会达到一个稳定值
那么这一个过程怎么来描述呢
我们把描述这样的一个
动态过程的数学模型
就称为系统的动态模型
我们可以看一下
这个水箱
这个水箱呢
是有一个水管向这个水箱流入
一个水管呢向水箱流出
比如这个输出呢
接到大气里边
也就是说
输出的流量呢
是随液位的高度而发生变化
输入的流量呢
是随这个阀门的开度而发生变化
再假想
这个水的流入的源头的压力
是不发生变化的
也就是说
流入的流量
仅随阀门的开度而发生变化
那么我们看一下
这个系统的动态模型
是怎么来描述的
因为这个过程比较复杂
我们呢可以一个一个式子来看
比如在现时刻
比如就叫做t时刻
水位为H
当经过一个微小时刻
Δt经过这么一微小时刻
水位肯定要会上升的
那么升高多少呢
就在原有的水位基础上
加上一个ΔH
这个ΔH就是在微小的时刻内
它水位所升高的高度
现在要想描述
这个系统动态过程
其实就是怎样求出ΔH
那么怎样求出
在这个微小的时间段内
水位升高的高度呢
我们可以这样认为
在这个微小的时间段内
流入水箱的水量
减去流出水箱的水量
就等于水量的增加
水量的增加再除以横截面积
就等于水位高度的增加
也就是说
(2)式代表的是
流入水箱的水量
(3)式代表流出水箱的水量
(4)式代表的是水量的增加
也就是说 体积的增加
(5)式代表的是
水位高度的增加
把上述这些式子
代入(1)式就得到了(7)式
这个式子当中的t
是现时刻的时间
Δt是时间的增量
我们令t等于kΔt
代入(7)式就会得到(8)式
那么(8)式就称为差分方程
为什么说
(8)式是差分方程呢
我们来看
这个差分方程
就描述了水箱的一个动态过程
这里边的时间变量
已经从连续的时间
变成了kΔt
Δt是我们取得一个固定的时间
一个微小的时刻
k呢是一个自然数
可以从0开始
然后是1 2 3
一直到我系统的结束为止
那么假如这些系数等于这些
当k等于0时
我们就可以求到
Δt时刻水位的高度等于0.01
当k等于1时
我们根据上面的这个差分方程
我们就可以得到0.019
同理
当k等于2时
我们就可以得到
水位的高度为0.0276
那么我们都学过程序了
我们可以这样的一个迭代公式
我们可以用程序来实现
就是下边这个程序
这个程序的运行结果
就由这个图来描述
这个曲线表达了什么呢
输入变化了1时
输出也变化了1
那么这个过程是一个缓慢的
变化过程
因为我没有进行任何的调节过程
现在我们可以给出
差分方程的通式
这个描述和刚才我们看到的呢
不太一样
它呢就是一个高阶的系统
也就是说
差分就是偏差嘛
那么不是一阶偏差
是高阶偏差
由此我们可以得到
一个系统的
差分方程的通用表达式 如下
-第一节 绪论
--绪论
--1.1 课件
--第一节 绪论--作业
-第一节 自动控制系统基本结构
--2.1课件
-第二节 闭环控制系统的稳定性概念
--2.2课件
-第三节 闭环控制系统的品质指标及自动控制系统设计任务
--2.3课件
-习题--作业
-第一节 控制系统的数学模型——差分方程模型
--差分方程模型
--3.1课件
-第二节 控制系统的数学模型——微分方程模型与传递函数模型
--3.2课件
-第三节 控制系统的数学模型——方框图模型及状态方程模型
--3.3课件
-第四节 PID控制策略
--PID控制策略
--3.4课件
-第五节 微分方程的数值解
--微分方程的数值解
--3.5课件
-第六节 目标函数设计
--目标函数设计
--3.6课件
-第七节 最优化理论及方法
--最优化理论及方法
--3.7课件
-习题--作业
-第一节 建立被控对象的数学模型
--4.1课件
-第二节 自动控制系统结构设计(1)
--4.2课件
-第三节 自动控制系统结构设计(2)
--4.3课件
-第四节 自动控制系统结构设计(3)
--4.4课件
-习题--作业
-第一节 先进控制策略
--先进控制策略
--5.1课件
-习题--作业
-第一节 自动化装备的技术支撑
--6.1课件
-第二节 检测理论及方法——检测仪表
--6.2课件
-第三节 控制装置与系统——模拟、数字控制仪表及PLC
--6.3课件
-第四节 控制装置与系统——DCS、FCS
--6.4课件
-习题--作业
-第一节 信息化技术
--信息化技术
-第二节 虚拟现实技术
--虚拟现实技术
-习题--作业
-期末考试--期末考试