微分方程模型与传递函数模型在线视频

现在是第六讲

控制系统的数学模型

本次讲微分方程模型

与传递函数模型

还来看我们的水箱

在上一次课里已经讲到

水箱的差分方程为(1)所示

我们可以整理(1)式

把k△t时刻的水位值

移到等式左边来

然后两边除以△t就得到(2)式

这个二式取了极限

△t趋向于0

那么就得到的是第(3)式

我们把第(3)式就称为微分方程

这个微分方程

最早是17世纪牛顿和莱布尼茨

在1684年确定下来的

那么至今呢我们一直还沿用

用微分方程来描述我的控制系统

那么对一般的系统

我们可以用下面

这个微分方程来描述

这个方程和差分方程是相对应的

在差分方程里面输入和输出

也是时间的变量

只是差分方程用的是离散时间

而微分方程用的连续时间

连续时间就是这个t连续变化

离散时间呢就是k△t

它是离散的变化

下面再来看传递函数模型

那么系统的输入与输出之间的

静态关系

我们已经讲过

可以用代数方程来描述

系统的输入与输出之间的

动态关系我们讲了两种

一种是差分方程一种是微分方程

在讲述传递函数模型之前

我们先要搞清楚一个概念

那就是变换

先来看普通的代数变换

这个变换我们在日常生活当中

都是随处可见的

比如我系统的输入

它的变化区间

是在u的最小值到u的最大值

在这个之间变化

而输出呢y是在y的最小值

到y的最大值之间变化

那么当给定一个u时

那么输出的y与它对应的值

应该是多少

我们很容易得到这样一个公式

来描述输出与输入之间的关系

这个关系就是变换

而把这种变换呢

就称为代数变换

在我们身边的例子就是温度计

我们可以用水银的高度

来测量我们人体的体温

那么我们的水银的高度

可以是从0到比如是10厘米

20厘米都可以

所以说我的测量的温度呢

也就是不相同

那么我们测体温高度的时候

我们需要多高的水银柱呢

因为我们人体的正常温度

最低你也不可能低于35度

或者35.5度或者36度

最高你也不可能高出42度

或者45度

所以说根据这个需求

我们可以定义它的一个

上限和下限

水银高度有上限

上限就是你制定的这个高度

下限就是0

那么温度你可以定义

对应的0 水银高度0

你认为它是多少度

你比如你认为它是体温是35.5度

当水银柱高度等于10厘米的时候

比如你定义它等于45度

那么从此以后

你就不用抱着一个很长

很长的温度计去了

只要用个比较短的温度计

你就可以测量出你的体温

所变化的范围

这就是变换的作用

那么我们再看看拉普拉斯变换

拉普拉斯先生在1812年

搞了这样的一个变换

如果f是t的函数

那么对t乘以一个e的-st

然后再进行积分

积分的区间是0到无穷大

其中的t就是时间

s是某一个变量叫什么都可以

叫s 叫w 叫什么都可以

但是拉普拉斯先生已经叫了s

那么这样一个积分结果

肯定是s的函数

所以说我就命名它为F（s）

这就是变换

这种变换也属于线性变换

那么只是变换的方法

和我们上次讲的这个不一样而已

那么拉普拉斯变换呢有很多的性质

其中下面我列出了几个性质

大家可以下去去证明

因为你们学过微积分了

所以说下边这些式子呢

都很容易得到

举一个例子

第一个式子就是当f（t）的拉氏变换

等于F（s）的时候

那么f（t）的导数的拉普拉斯变换

就等于s乘以F（s）

后边的性质也是同样的

你都可以去证明

这些性质我们做什么用呢

就是为了以后

我们用拉普拉斯变换

去解方程的时候

可能要用到的一些性质

当年拉普拉斯先生

为什么去做这种变换

他主要是想把解微分方程的工作

变成求代数运算的工作

我们可以看这样一个例子

85y（t）的导数加上y（t）等于1

这是一个微分方程描述

它不管是描述的什么样的系统

我们先不去考虑它

我们的任务是要求出

y（t）到底等于多少

你们已经学过微积分了

你们还知道怎么去求解吗

当然最简单的方法

还是要用拉普拉斯变换

怎么变呢

我们把这个式子变换成1式

也就是说对原始的式子

两边同时取拉氏变换

那么利用它的性质就是

y(t)导数的拉氏变换

就等于s乘以y（s）

那么y（t）的拉氏变换

就等于y（s）

1的拉氏变换我们可以去证明

它就等于s分之一

所以说对原来这个式子

取拉氏变换以后

就会得到了(1)式

我整理(1)式就会得到(2)式

整理过程我们不细讲了

我们对(2)式两边

再同时取拉普拉斯反变换

那么又利用它的性质

就会得到(3)式

(3)式表达了系统输出

y与时间之间的变化关系曲线

但是到了1942年

哈里斯先生又提出来

我能否利用拉普拉斯变换

来描述我的控制系统呢

好 他给出这样的定义

系统输出到拉普拉斯变换

与输入的拉普拉斯变换之比

前提条件是零初始条件

因为我们知道解微分方程

是需要初始条件的

那么它们的之比

起个名字叫什么呢

叫做传递函数

为什么叫做传递函数

因为系统输入的拉普拉斯变换

乘以它们的之比

就等于系统的输出

也就是说系统的输入

通过这样的一个函数

就变成了输出了

所以说就称做传递函数

那么传递函数是怎样求得的呢

它并不是像定义那样

求出系统输出的拉氏变换

再求出系统输入的拉氏变换

然后再求出它们俩的之比

这样做你是做不出来的

我们通常是怎么做呢

是这样做

再看水箱的微分方程描述

如(1)式

我对第(1)式两边同时取

拉普拉斯变换

我认为初始条件都是零

也就是说水箱开始是稳定的

那么这个时候

我们就可以认为它是零

那么我对(2)式进行整理

就可以得到第(3)式

(3)式就是传递函数

这就是传递函数的求解过程

那么传递函数要比微分方程

描述一个控制系统要方便得多

当系统阶次很高时

如果用微分方程描述

它是用高阶微分方程描述

而且求解也困难

那么现在呢有了传递函数了

我就可以用传递函数

来描述一个高阶的控制系统

同时我求解的时候

是把微分方程变成代数方程

然后运算

运算完了以后

再反变换即可

这就是传递函数的作用