3.5.2积分变换法原理在线视频

前面我们提到了负荷的动态算法

但要求解围护结构不稳定传热的

偏微分方程组

是相当难的

而积分变换法就是一个很好的工具

对于常系数的线性偏微分方程来说

可以采用积分变换的方法

如傅立叶变换或者拉普拉斯变换

来进行求解

积分变换法的概念

是把一个在A域很难求解的

形式复杂的函数进行积分变换

相当于把它移到另一个B域中

在这个新的B域中

函数呈现出较简单的形式

所以可以求出解析解

然后再对求得的这个函数的解析解

进行积分逆变换

回到A域中

获得最终的解

墙体的不稳定传热过程

其实最适合用拉普拉斯变换

为什么呢

因为拉普拉斯变换的应用条件是

一 时间变化范围为半无穷大空间

就是从0到+∞

也就是从现在开始算到未来

过去历史怎么样不追溯

二 必须是线性定常系统

也就是板壁的物性参数

必须是不变的常数

我们多数的墙体材料都具有这个特点

拉普拉斯变换具有这样的特点

它能够把复杂函数变换为简单函数

把偏微分方程变换为常微分方程

把常微分方程变换为代数方程

拉普拉斯变换的解

呈现出传递矩阵的形式

或s传递函数的形式

由于是不稳定传热过程

其偏微分方程中有时间τ

我们把现在这个域叫做时域

通过拉普拉斯变换

我们把它变换到对应变量为s的s域中

系统的特性在s域

就表达为s传递函数G(s)

这张图表达的就是传递函数

与输入量 输出量之间的关系

上面是时域的表现形式

下面是s域的表现形式

在板壁传热过程求解中

输入量I就是外扰和内扰

输出量O就是板壁表面热流量

或温度的变化

传递函数的定义是输出量与输入量之比

那么s传递函数G的表达式

就是这样一种形式

这个公式中的积分

就是拉普拉斯变换的变换方式

传递函数G(s) 仅由系统本身的特性决定

而与输入量 输出量的大小无关

因此建筑的材料和形式一旦确定

就可求得其围护结构的传递函数

这样就可以通过输入量和传递函数

求得输出量

非常有趣的是

如果输入的原函数是指数函数

则不需要再进行变换

直接输入原函数就行了

这时输出的解也不用进行逆变换

直接就是原函数的解

而气象条件等外扰输入

往往可以写成指数函数的形式

所以用起来还是比较方便的

对于离散系统

拉普拉斯变换转化为Z变换

输入函数表现为以Z-1为变量的

多项式的脉冲序列函数

传递函数就变成Z传递函数

拉普拉斯变换法的应用条件

就是线性定常系统

对于普通材料的围护结构的传热过程

在其一般温度变化的范围内

材料的物性参数变化不大

可近似看作是常数

所以就可采用拉普拉斯变换法来求解

对于采用材料的物性参数

随温度或时间有显著变化的

围护结构的传热过程

就不能采用这种求解方法了

例如 如果板壁中含有相变材料

又比如整体热工性能

会不断变化的特隆布墙

都不能采用拉普拉斯变换法求解

线性定常系统又具有这样的特性

一 可应用叠加原理对输入的扰量

和输出的响应进行分解和叠加

二 当输入扰量作用的时间改变时

输出响应的时间在产生同向 同量的变化

但输出响应的函数不会改变

三 可把输入量进行分解或离散为简单函数

再利用变换法进行求解

这些分解或离散了的单元输入的响应

也应该呈现出简单函数的形式

再把这些单元输入的响应进行叠加

就可以得出实际输入量连续作用下的

系统的响应输出量

我们对围护结构系统本身

也就是常系数线性偏微分方程

采用了拉普拉斯变换

那么对输入的边界条件

又有哪些处理方法呢

输入边界条件的处理步骤是这样的

第一步 对输入边界条件进行离散变换

分解为系列的单元扰量

第二步 求系统对单元扰量的响应

也就是单元输入形成的输出量

第三步 把对单元扰量的响应进行叠加

或叠加积分求和

这样就能获得完整的输出量了

对输入边界条件有两种离散变换方法

基于这两种变换方法

就出现了两种有些不同的动态负荷计算法

对边界条件进行傅立叶级数分解的

叫做谐波反应法

对边界条件进行时间序列离散的

叫做反应系数法

我下面先用一个例子

来介绍傅里叶级数分解法

这是某个城市的

室外干球温度的全年变化

当然是一个外扰

我们注意一下它的特点

宏观上呈现出以一年为周期的

余弦波的样子

细部又有振幅范围比较稳定的波动

这是以24小时为周期的波动

而年平均温度为16.9℃

我们至少可以把这根曲线展开为三项

一项是常数16.9

加上一年为周期的余弦波

再加上以24小时为周期的正弦波

这三项加到一起

样子就很接近

这根全年气温变化的曲线了

当然要想更逼近这根原始的气温曲线

还要在后面加上很多不同周期

和相位差的正弦波项

这是另一个把室外气象参数曲线

进行傅里叶级数分解的例子

跟全年的室外干球温度不同的是

由于太阳辐射与云的存在

一天中的室外空气综合温度

具有比空气温度更不规则的形状

但是它也能进行傅里叶级数分解

我们从这个公式里可以看到

室外空气综合温度

可以被分解为一个常数A0

以及无穷项以2π/T为基频的

正弦波函数之和

公式中的τ是时间

n是阶数

φ是相位差

在这张图中

室外空气综合温度被分解为一个平均值

和三个不同周期及相位差的正弦波之和

红色的 橙色的和绿色的曲线

分别代表了一阶 二阶

和三阶的正弦波曲线

在这里傅里叶级数的阶数只截取了三阶

就能够很好地逼近原始的温度曲线了

第二个对输入边界条件的处理方法是

时间序列离散

就是把边界条件离散为等时间间隔的

按时间序列分布的单元扰量

常用的方法是

离散为等腰三角波或矩形波

由于种离散方式

不需要考虑扰量是否呈周期变化

因此非常适用于

各种非规则变化的内外扰量

如室内热源的随机发热量等

左图是矩形波的离散方法

下面部分是一个温度扰量为1℃

时间长度为Δτ

这样的单元矩形波的表达

这样一个矩形波

也被称作脉冲波

上面部分则展示了一条非规则曲线

是怎么离散为多个脉冲波之和的

右图是等腰三角波的离散方法

大家同样可以看到

1℃扰量的单元三角波

以及一条曲线的离散方法

由于单元三角波的时间跨度

是两个Δτ

所以在离散的时候

会出现不同的三角波的重叠部分

但是它们的覆盖的总面积

与被离散曲线的总面积是接近的

现在我就来小结一下

两种输入边界条件的积分变换法

我们现在最常用的反应系数法

也称作冷负荷系数法

它就是依据任何连续曲线

均可离散为脉冲波之和这样的原理

把外扰分解为一系列的脉冲之和

然后分别求得

每一个脉冲外扰的室内响应

再进行叠加

最后得到室内负荷

其实这就是我们前面介绍过的

非连续函数的拉普拉斯变换

叫作Z变换

另一种求负荷的谐波反应法

就是依据任何一连续可导曲线

均可分解为正(余)弦波之和这个原理

把外扰分解为简谐波

分别求出每个简谐波外扰的室内响应

并进行叠加