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同学你好

欢迎学习自动控制原理

现代控制理论部分

我们今天要讲的首先是介绍

状态 状态空间和状态空间描述

这也是咱们整个这门课程的最基本的一个概念

我们将通过一个简单的小车的例子

告诉大家什么是状态

什么是状态空间

还有状态空间的描述

是怎么一个形式

然后我们会对比

状态空间模型和传递函数模型

有哪些不同之处

好 咱们首先先看什么是状态

一个系统的状态粗略地来说

就是指这个系统过去 现在和将来的一种运动的状况

准确地来说

状态需要有一组必要且充分的数据来说明

这个概念还是很宽泛的

我们现在通过一个简单的例子

我们看这个图中

图一当中这个小车的运动

而要刻画这个小车的运动

我们是通过它的位置和速度来刻画

我们在这个地方

图一当中用偏移量y

就是水平方向的偏移量y

来表示小车的位置

大家可以看到在这个图上边

有一个外界的向右的一个推力

而这个车由于和地面有摩擦

所以它有一个反向的

就是向左的这样一个摩擦力

而摩擦力是跟速度成正比的

一这边这个y一点

就代表位移的的导数

也就是速度

这个小车的惯性大小

我们用一个大M

也就是它的质量来衡量

下边我们来说一下

状态变量的概念

系统的状态变量是指

能够足以完全确定这个系统运动状态的

最小的一组变量

这里面大家注意这个概念

就是状态是一个我们笼统的来衡量运动状况的一个概念

而要在理论上

特别是在数学上

我们要定量地描述这个状态的时候

我们就要引入这个变量

也就是一组物理量

这组物理量

除了有数量的关系以外它还有单位

那么一个用n阶微分方程描述的系统

也就是有n个独立的变量

求得这n个独立的变量的时间响应

系统的运动状态也就是揭示无遗了

那么因子可以说系统的状态变量

就是对应于一个n阶系统的n个独立变量

那么这个就是当我们有了关于这个系统运动

整个的一个描述它的微分方程的时候

我们就自然地可以确定这个系统的状态变量了

那么我们假设用x1(t) x2(t)一直到xn(t)

这样的数学符号来表示一个系统的状态变量

那么这立里边的(t)

是代表对时间的一种依赖关系

也就是一个时间的函数

那么x1 x2 xn这个下标1到n

代表的是我们的n个不同的状态变量

那么作为一组状态变量

它应该满足下边两个条件

就是在任何一个时刻t等于t0

这个t0代表一个初始时刻

这组变量的取值x1(t0)一直到xn(t0)

表示系统在该时刻的状态

第二个就是当系统在t大于等于t0

也就是在初始时刻t0以后

那么这个系统的输入和上述一个确定了的

初始状态x1到xn的t0的取值以后

那么状态变就在t大于t0以后时刻的所有行为

是完全由输入和初始状态所决定的

就是这两样是当我们定义一个状态变量的时候

所必不可少的条件

一个就是要在一个时刻上边

有一组变量来表示

这个时刻系统的状态值

另外一个就是说

这个状态还有一个很重要的特点

就是后边在时间上靠后的这样的状态值

是由初始状态

以及从初始时刻到当前你关心这个时刻

比如说t时刻

中间这段输入所决定的

我们为了具体说明一下这个状态变量的概念

我们再回到图一这个小车的例子

我们看当这个t0时刻

这个小车处在一个初始的位置和一个初始的速度

这样的话它的初始状态就给定了

如果我们知道外加的这个力

向右的这个推力u

我们用一个函数来标表示

那么t大于等于t0这个时刻的u

我们都知道

这是一段时间上边的一个连续的曲线

那么我们可以想象

那么小车在任何一个时刻

也就是从t0到t之间的这个时刻的状态也就确定了

为什么呢

因为我们知道按照牛顿定律的运动过程

当我们知道这个小车每时每刻的位置和速度的时候

那么我们的摩擦力可以算出来

再用牛顿第二定律

我们可以推算出来

这个小车从t0到t的这样一个加速度

那么我们把这个加速度进行积分

那么我们就可以确定它的速度

然后对速度再积分

就可以确定从t0到t的任何一个时刻的

这样的一个位置了

很明显我们同样的道理

对于一个n阶的动态系统

如果它是用微分方程描述

那么在t时刻的状态

从t1一直到tn

那么这个t是在初始时刻之后的

是由初始的t0时刻初始状态

x1(t0)到xn(t0)

以及t大于等于t0时的输入函数u(t)

这条曲线所唯一确定的

那么这个是从我们说解n阶微分方程的这个解的理论

我们可以推知的

这里边特别要强调的是什么呢

就是状态这个概念它重要在于

就是我们一旦知道了t0时刻

那么它的状态是什么

那么后边关于x(t)的这些确定

就跟在t0时刻之前

也就是初始之前

这个系统到底是什么状态

或者到底有怎样的输入没有关系了

那我们从小车的例子可以知道

就是我一旦知道

在某一个给定的初始时刻的位置和速度

后边这个小车如何运动

完全是决定于我这个推力

是怎么样施加在这个小车上的

那么跟我小车怎么到达了这个位置和速度

这个初始时刻的位置和速度

这个过程是没有关系的

我们再来看这个状态变量的概念

前面我们说到了

就是你这个状态是一个概念性的一个对象

那么对于一个具体的

我们要定量地从理论上去研究一个系统

特别是一个动态系统它的运动过程

以及在输入 在控制作用底下

它的系统的运动是如何发生变化

如果我们一旦到定量的水平

我们就需要把状态用一组数值

用一组变量来表示

而我们在状态变量的选择上边

前面讲到说n阶微分方程我们有n个状态变量

那么对于一个具体的系统

如何确定它的状态变量呢

我们首先要讲的就是这些状态变量的选取

从原则上来说

它有多种选取方法

这个不是唯一的

我们通过后边的例子也会看到

就是对同一个系统可以选取不同的状态变量

这里面最最重要的是什么呢

就是状态变量作为一组变量

它的选取应该是相互独立的

而且选取的总的个数也是确定的

是由这个系统的阶次

或者说我们给的方程以后

是由方程的阶数所决定的

这里面因为我们说

微分方程描述这个阶数

它是可以唯一地来确定整个系统的解

对于一个实际系统

我们从物理上怎样去确定这个系统

到底是个几阶系统

实际上我们在这里头指出一个非常重要的原则

就是状态变量的个数

对应于系统独立储能元件的个数

应该指出这个状态变量不一定是在物理上

可以直接测量

或者可以直接观测的这样的一个量

但是我们作为这个工程上

还是倾向于建议大家

选取那些容易观测

或者容易测量的物理量

作为这个系统的状态变量

因为我们在去优化这个系统的性能

比如说我们要实现这个最优控制

那么选取最佳的控制率的时候

这个相关的理论表明

还是要通过反馈的这种途径

用到所有的状态变量

因而如果我们直接能够测量的话是非常方便的

否则我们就需要去间接地经过一些推算

或者估计

这样的话更加复杂一些

下边我们来引入状态向量的概念

前面我们讲了

有一组状态变量去描述这个系统

在每时每刻的一个定量的一个状态的具体的数值

如果我们完整地描述一个系统动态行为

需要用到n个状态变量的话

那我们把这些状态变量作为分量

让它构成一个向量

这个时候我们就称这个向量

是系统的状态向量

那么我们说一组变量和一个状态向量

这样一个n维的向量

我们在这个地方大家可以看到

我们把它写成个向量的符号

就是大X它等于x1(t) x2(t)一直到xn(t)

那么这个x1到xn是它的分量

我们写成这样一个向量形式

是列向量

或者我们右边写出来是一个行向量的形式

那么这里边的差别到底在什么地方呢

我们说一组变量

它是分别带有单位的物理量

当我们把它抽象成一个状态向量的时候

实际上是要我们对每一维的状态变量

都要固定它的基向量

然后我们得到这个状态向量x1一直到xn呢

它就不带有单位了

它就变成了纯粹是一组坐标

是在选定基向量的情况下

构成一个n维的

Rn空间当中的这样一个向量点了

那么我们这个时候

就便于我们后边从数学上

专注于这个状态变量随时间的变化规律

以及它们相互的影响

所以这里边一个非常重要的概念

就是我们从一组变量

过渡到一个向量的时候

实际上我们涉及到一个选取基向量

选取参照的基向量

然后使它在这组基上边的坐标表示

构成了状态向量

所以我们说状态向量就不再带有单位了

那么有了我们构成向量的基础上

我们也可以讨论

就是随着时间

状态变量它的坐标构成n维空间当中

它在这个n维空间当中是如何变化的

这个时候我们很自然地

就从我们的向量变化的范围这个角度

可以引入状态空间的概念

也就是说

我们用状态变量x1一直到xn(t)为坐标

构成的n维空间

称为是状态空间

那么系统的任何状态

都可以用状态空间当中的一个向量的点来表示

也就是说

在特定的时刻t

我们的这个状态向量X(t)

现在这个大X

已经是有n个分量的这样一个Rn的实向量了

它在状态空间当中就是一个点

如果我们已知初始时刻t0的时候

这个x(t0)这个数值

也就是初始的状况空间当中选一个起始点的话

我们可以想像

随着时间的推移

这个x(t)就勾画出来

在状态空间这个Rn当中

它的一个运动轨迹

我们把它称为状态轨线

显然这一状态轨线的形状

是由这个系统在初始时刻在哪个点上

也就是对应于初始状态那个Rn当中那个点

和在t大于等于t0这段时间当中

我们输入的变量

也就输入作为u(t)

以及系统的动态特性这三者唯一确定的

那么状态向量在状态空间这个表示呢

是把向量代数的代数结构

和几何概念联系起来了

所以我们说状态空间的概念非常重要

它也是类似于我们在研究几何的时候

能够通过解析几何的方法

建立坐标系

然后去系统地研究这些几何对象的特性

那么我们引入状态空间的概念

其实是完成了从一个状态运动轨迹的

这样一个几何的运动过程

到它的一个带有坐标的这样一个完全解析的

或者说分析的方法

去给它建立运动规律描述的这样一个转换

这个概念也非常重要

好 我们下边就来深入地探讨一下

就是到底我们对于一个运动系统

一旦建立了它的状态变量

这样的一组描述它状态的数值之后

我们怎样去探索这个系统运动的定量的规律

那么这个定量的规律

就是得益于牛顿所发明的微积分这套数学上的模型

微分方程这些概念

帮助我们建立所谓的状态方程

那么什么是状态方程呢

我们现在就来具体的看一下

就是描述系统状态变量

和系统输入之间关系的一组一阶微分方程组

称为状态方程

我们还是通过具体例子

我们看图一当中这个小车的例子

这里边大家可以看到

我们选取了两个状态变量

一个是y 一个是y一点

也就位置和速度

如果建立微分方程组的话

我们给它进行编号

把这两个状态分别叫x1和x2

那么也就是说

x1等于y x2等于dy/dt

也就是y一点

那么这个时候

我们把这组状态变量选取出来以后

我们接下来去观察这两个状态变量

也就是我们这一组的状态变量

它怎样随着时间在输入和初始状态下进行变化

这个时候我们所借助的工具

就是列写它所对应的一阶微分方程组

而我们列写的依据是什么呢

我们首先有一个方程

叫dx1/dt等于dy/dt等于x2

这是很显然

因为我们知道位移或者说位置

求一阶导数

就得到了速度

所以第一个我们联立的方程组当中

第一个方程实际上是

直接可以根据位置和速度的关系得到的

那么关键是我们的速度如何变化

速度如何变化其实就是dx2/dt

也就是dy/dt的两阶的导数

那么y的两阶导数到底如何确定呢

我们还是回到这个具体的问题上来的话

我们可以知道

这里边就是很重要的

因为它是一个机械运动

所以服从的是一个物理规律

也就是牛顿第二定律

那么牛顿第二定律说的是什么呢

就是一个运动物体

它的惯性的大小乘上它的加速度

应该等于它所受的外力的总和

那么我们在这儿列写出来

对应的是水平运动方向的加速度

也就是大M乘以y的二阶导数

它应该等于合力

也就是我们的向右的这个推力和它的阻力

那就是u减去k乘以y的一阶导数

那么这个方程我们把它稍加变形

整理出来就是x2的一阶导数

也就说y的2阶导数它等于什么呢

就等于我们说这个符号的一个变化

也就是我们的负的M分之k乘以dy/dt

加上M分之1乘以u

我们代入的是我们两个状态变量的名称

也就换成了负的k除以M乘以x2加上M分之1乘以u

这样的话我们就完整地确定了

这一组的状态变量

它随时间怎样进行变化

这样一个微分方程组

一旦我们知道了它的初始状态x1(0)和x2(0)

再加上如果知道从t0到t之间的u(t)

那我们就可以通过求解这组微分方程

完全确定下来这个x1和x2在t0到t之间的状态轨迹

我们也可以把前面联立的微分方程组

写成一个矩阵和向量的形式

也就是x1一点 x2一点构成的这样一个向量

它等于什么呢

它等于x1 x2构成的向量和u进行一个线性组合

而前头的组合系数分别是一个矩阵和一个向量

那么我们把这样的一个形式的一阶微分方程组

称为这个小车这个系统的状态方程

简写呢 我们用矩阵的符号来写

就是x一点 x这是一个状态向量

它的一阶导数

也就是每个分量的导数所构成的向量

它等于Ax加上bu

这个A是我们这个矩阵前头的系数矩阵

而b是我们这个系数的列向量

x这里边我们刚才提到了

它就是x1 x2这两个分量构成的向量

我们实际上也会关心这个系统的输出

描述系统的状态变量

和输出变量之间关系的一组代数方程

我们把它叫做输出方程

在我们小车的例子里头

我们感兴趣的如果仅仅是它的位置的话

那么这个时候

我们可以看作整个这个系统

是一个所谓的单输入 单输出系统

而这个单输入就是我们这个向右的推力

而我们的单输出呢

就是这个小车每时每刻的位置

这个时候我们可以把它的输出方程写出来

也就是我们关心的这个y

它其实就是x1这个状态变量的分量

状态的第一个分量

它在t时刻的一个取值

这个时候我们也可以写出来

如果写成向量的形式

那就是y等于[1 0]这个行向量

乘以x1 x2这个状态向量

我们把(2)这个形式称为系统的输出方程

如果写成一般的符号

那就是y等于c转置乘以x

而这个c是一个输出行向量

我们刚才已经谈到了

就是说对于一个系统的运动过程

我们实际上关心的是

基于已知的初始状态和我们的输入

如何来确定这个系统整个的随时间的运动轨迹

这样的一个问题

我们列写了它的状态方程

可以知道这个状态它的变化速率

怎么样依赖于状态和输入的线性组合

我们又知道了

如果我们指定一些状态变量

或者它的线性组合作为我们的输出的话

我们可以列写它相应的输出方程

这个时候我们就具备了去提出这个状态空间描述

一个系统状态空间描述的条件

我们把状态方程和输出方程这两个方程合在一起

使它构成一个系统动态的完整描述

我们给这样的一个描述起个名字

叫做系统的状态空间表达式

也把它成为状态空间描述

这这个都是同一个意思

对我们的小车的这个例子来说

我们前面列写的(1)式和(2)式

就构成了它的完整的状态空间表达式

对于一个单输入 单输出系统

像我们小车的例子的话

我们可以有一个一般形式的状态方程和输出方程

就是我们在这个PPT上看到的

就是x1点一直到xn一点

它分别是作为状态变量x1到xn

和输入变量u的一个线性组合

有n个这样的联立的一阶微分方程构成微分方程组

这是我们的状态方程

还有一个输出方程

就是y是我们的x1到xn的一个线性组合

这样的一个形式

如果我们把它写成向量矩阵的表达式

我们看到状态空间的表达式

对于一个单输入 单输出系统的话

一般意义下

它具有这样的形式

就是x一点等于Ax加上bu

y等于c转置乘以x

其中这个x是我们的状态向量

我们把A这个矩阵

x前面这个A这个矩阵

我们把它称为状态矩阵

有的时候也把它称为系统矩阵

它是一个n乘n的

n是状态个数

n乘n的方阵

而我们的b是这样一个b1到bn的输入向量

c转置是一个横向量

它是c1到cn构成的

描述就是我们的输出怎样依赖于我们的状态变量

我们的输出方程是一个代数方程

我们的状态方程x一点等于Ax加bu

是一个一阶的微分方程组

这个大家要注意它这个形式

我们进而讨论

对于一些更为复杂的系统

它可能有多个输入

比如有r个输入

也有多个输出

比如说m个输出

那么这个时候我们也可以考虑状态方程的推广形式

它就是这样一个我们联立的还是n阶的状态方程的话

那么是x1到xn一点

分别等于x1到xn

以及u1到ur多个输入的线性组合

这样一个表达式

而对于输出方程呢

同样由于是有多个输出的情况

我们就有m个这样的输出方程

这也是一个代数方程的形式

更一般的呢

我们可能甚至有的时候还有

输入向量到输出的直接的传送关系的话

我们就会发现

可能还有像d11u1一直加上d1rur

去影响这个y1等等

这样一个更一般的依赖关系

那么在输出方程当中

对于一个多输入 多输出系统

它的状态空间表达式如果完整地写成向量矩阵的形式的话

我们有这样一个联立的状态方程和输出方程

x一点等于Ax加上bu

和y等于Cx加上Du

这样的一个形式

我们的x和A与单输入 单输出系统是一样的

分别是一个n维的列向量和一个n乘n的这样的一个方阵

对于我们的输入和输出

对于多变量的情况

就变成了u等于u1到ur

y等于y1到ym

这样的一个向量形式

而我们的输入矩阵

也变成了一个n乘以r维的这样的一个输入

或者有的时候把它称为控制矩阵

它本身是一个矩阵了

那么输出呢

也变成了一个m乘n维的输出矩阵

而且我们刚才也提到

就是说更一般的形式当中

我们的输出甚至可能还直接依赖于u的话

那也有一个所谓的直接传递矩阵D

它是一个m乘r维的这样的一个矩阵

这个就是我们在本页PPT上给大家展示的

就是一个最一般形式的一个多输入 多输出的

系统状态空间表达式的一般形式

我们稍微总结一下

就是前面我们给大家通过一个简单的例子

展示了什么叫状态

也就是这个系统表征它的运动情形的这样一组状态变量

我们也谈到了状态空间的概念

通过引入状态向量

我们把这个系统的各个状态变量之间的关系

转化成了一个数学上一个向量空间当中的点

这样的话我们就知道

整个这个系统运动过程

在n维空间当中它是怎样变化的

进而我们通过引入状态空间描述

也就是我们引入状态空间 状态方程

和我们的输出方程

我们可以来描述

输入初始状态和系统本身的动态的约束条件

是如何使得我们的状态

在输入的作用底下发生转移的

那么这样一种描述

大家可以看到

跟我们所熟悉的

假设如果大家学过传递函数的这种描述方法

也就是我们的经典控制理论的时候

那么还是有很大差异

我们在这个地方给大家总结几条

也就是说

我们先看一看这两种描述

它从概念上有哪些主要的区别

我们先看最主要的一个区别

我们看PPT

状态空间描述了系统内部状态

它表征了系统的内部状态

输入和输出这三者之间的关系

而在我们的基于传递函数的经典控制理论当中

对一个系统所给出的这个模型呢

它实际上仅仅描述的是输入和输出之间的关系

也就是我们的u和y之间的关系

而里边没有涉及到

我们说表征系统内部状态的这样的一个x的关系

因而我们可以说状态空间描述

它揭示了系统的内在联系

输入引起状态的变化

这就是状态方程所刻画的这个规律

而这个状态变化又决定了输出的变化

这就是我们输出方程所决定的规律

这样的话我们通过对比

我们在这个PPT上这两个图示

我们看到左边这个图呢

直接就通过传递函数

表征了u怎样去影响y

这是大家非常熟悉的

而我们现在给大家介绍的这个状态空间描述呢

它实际上把u到y的作用分成了两个阶段

第一个阶段我们看到

是从u到x的这样一个影响的过程

这是通过我们微分方程x一点等于Ax加Bu所刻画的

另外一个阶段呢

就是我们说x怎么样去影响y呢

我们是通过输出方程来给出的

所以大家从这两个对比

很明显地可以看出来

应该说我们的状态空间描述

不光关注u和y这样的一个外在的联系

还关注了u是怎样通过内因x起作用

然后表现为对y的影响

所以应该说状态空间描述它描述的系统

更加的全面

对于整个问题的分析

可以更加地深入

好 第二个差异呢

就是输入引起状态的变化是一个运动过程

是用微分方程组来描述的

也就是状态方程

而这个状态方程决定的输出变化是一个变换的过程

这个里边它仅仅是一个代数方程

这点也跟我们前面所说的传递函数形式是不一样的

我们可以看到

传递函数的描述过程

它就是一个高阶微分方程本质上

我们再来看第三点差别

第三点差别在这个里边

我们由于涉及到了状态变量概念

这是我们在传递函数里边是没有的

那么我们这个状态变量它的阶次

也就是系统阶次到底是由谁决定的呢

它其实是由这个系统内在的特征决定的

它是等于这个系统所包含的独立贮能元件的个数

因此一个n阶系统有并且仅有n个状态变量可以选择

从建模的角度我们看

对于简单的电路和力学系统

我们在选择独立贮能元件的时候

我们可以选那些贮能的变量

比如说反应能量水平的这些变量

像电容两端的电压 对吧

它表现了存贮电量的水平

那么电感或者电机 电枢当中的电流呢

也是体现了电感所存贮能量的水平

我们的一个惯性元器件它的速度

弹性元器件的位移

还有电机转子的转速

以及在一个水槽当中的水位

都是作为状态变量选择

是比较直接和方便的

当然我们这儿还需要再强调一点

就是说尽管我们选择的状态变量的个数是固定的

以及这些状态变量之间需要相互独立

但是我们说对于一个系统而言

它也有不只一种选择的方式

这一点我们后边还会给大家展示

就是说同一个系统

可能有不同的状态变量的选择的方法

都能够去完整地刻画这个系统的动态

这一点也跟传递函数不同

因为传递函数是由这个系统输入和输出之间的

唯一的传递函数所决定的

这个输入 输出关系

一旦系统给定也就给定了

而我们这儿的状态变量选择那是不唯一的

另外我们再总结一下

就是说状态空间的描述和传递函数描述

还有一个很重要的不同

就是状态空间表达式的突出优点

是当我们的状态变量个数 输入 输出个数增加的时候

这个方程像我们前面给大家展示的

状态方程和输出方程

在它的表达和分析的方法上

这个复杂性它不会跟着增加

它都是同样的计算方法

这一点我们的传递函数阶次如果提高的话

对一个高阶的这样的一个传递函数的分析

可能就跟简单的一阶 二阶

可能就有很大的差异

同时我们说系统的状态空间分析方法

是在时域内进行一种矩阵运算的方法

因此它借助于数值

比如说我们借助于现代的数字计算机来做运算

是非常方便的

这一点也跟我们说

基于传递函数的经典控制理论

有很大的差别

我们现在就来总结一下本节的内容

本节应该说我们最重要的一个概念是状态的概念

我们通过引入状态这个概念

使得我们可以对一个动态系统

区别于咱们经典的传递函数的这样一个描述方法

引入一种内部的描述

这种内部的描述就叫做状态空间描述

或者叫状态空间表达式

它是把输入到输出的变化的影响

给它细分成了从输入影响状态

以及状态它的变化表达在输出方面

这两个分别是状态方程和输出方程所刻画的

这样的运动规律

那么可以说

正是因为引入了状态的概念

使得我们对一个动态系统

有了更深入认识的这样的一个工具

通过这样的工具

我们无论是在分析一个动态系统的变化

还是在去设计一个动态系统

如何能够更有效地去完成它的功能

这些方面都增添了新的工具

这也正是我们这门课程里边

后边陆续会给大家展开的内容