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下边我们就来一起看一下
状态方程是一般形式
也就是我们代有输入的时候怎么来处理
因为我们前面只是讲了一个最简单的情况
就是输入恒等于零
只考虑初始条件的时候
到底这个xt怎么样变化
那我们现在就来看这件事情
到底如何来处理
那么我们其实面对的就是非齐次方程了
那么我们给定的还是这个星号
所对应的状态方程的一般形式
X一点等于Ax加上Bu
在初始时刻的时候
这个初始状态是x(t0)
也就是说我们的x0
那我们这的重要的结论是什么呢
就是它的这个状态的响应
xt在x(t0)和输入u的共同作用下
这个整个的变化
是由这样一个两个星号的式子所给定的
那么这里边我们看到这一部分
就是e^A(t-t0)x(t0)
这是我们的自由解
那么后边一部分是包含u的部分
实际上就是我们所谓的强迫项
也就是我们由输入控制
来引起的这个状态变化的分量
这两部分相叠加
那么这部分是个卷积的形式
是由这个e^At和Bu(t)进行卷积
这是个卷积的表达式
所以这里边的积分变量是一个卷积的变量
那么共同来给出我们的这个xt的完整的响应
那么如果我们的初始时刻是t0
正好是零时刻
这个式子可以稍微写的简单一点
本身是等价的
那么我们就是xt等于e^At乘以x0加上
从0到t积分
然后这里边是e^A(t-τ)乘以Bu(τ)dτ
那么这两部分我们刚才也强调了
一部分是由自由运动引起的
一部分是强制运动引起的
两部分合成
之所以可以写成这样两部分相加
也是归因于我们这个方程
是一个线性的微分方程
它这个线性性质决定
我们这两部分的解可以叠加起来
下边有一个推导过程
那么我们对理论分析感兴趣可以详细看一下
就是我们这个解
为什么是这样一个表达式呢
首先我们对方程给定的原始的状态方程
进行一下变换
我们把X一点减Ax放到了左边
然后Bu(t)在右边
两边同时左乘上一个e的-At
那我们已经知道e的At这样一个矩阵指数
它的这个基本性质
这个我们已经知道它的定义了
那么我们给它两边同时一乘的话
就是e的-At乘以x导数减去Ax
等于e的-At乘以Bu(t)
那么这个时候
我们要利用到矩阵指数的一个性质
这就是说导数的性质
当然这个性质大家可以直接验证
我们有一个专门的小节会介绍
就是说矩阵指数
或者我们后边也有的说
把它称为状态转移矩阵
它的基本性质
那个是单独的有一个小节来介绍的
我们在这是引用它的结论
那么这个引用结论的地方
就运用到了我们说
其实是一个我们在求导的时候
一个乘积的形式
这个乘积形式怎么求导
就是分别对e的-At和xt分别求导
那我们知道这两部分是相等的
这两个式子相等
这个推导大家根据这个定义
或者根据我们的性质
可以自己来分析一下
总之我们通过这样一个变换
就得到了e的-At乘以xt求导
等于e的-At乘以Bu(t)
那这个时候我们在t到t0中间
我们对两边进行积分
积分的话我们利用分步积分的形式
我们实际上对这个导数
这一项求积分的话
实际上就是它的两个端点
取值然后分别相减
我们对这边就是一个完整的积分
那么我们在对这个式子
两边代入两个端点
初始点和末了的点
我们把t0代进去就是这一项
然后我们把t代进去这一项
这个是t的这个值减去t0的值
所以我们把t0这边挪到了右边来
就这个式子就成立
然后我们在这个式子的基础上
两边再给它同乘上e的At
我们这里头用到了一个性质
就是e的At乘上e的-At
这个是个单位阵
这也是我们说矩阵指数的一个性质
这个有兴趣可以单独证明
或者看我们关于状态转移矩阵性质那一节
可以了解这个性质
就把这个地方消掉了
然后这边我们乘上来以后
我们矩阵指数有一个叠加的性质
就把这一项整理出来
就是这个基本的性质
然后我们在后边积分的时候
我们又把这个e^At这一项乘到里边
因为这是积分变量是τ
所以我们可以给它乘进去
然后整理出来这个形式
这样的话我们就证明了
对于一个一般形式的非齐次解
在初始条件和输入已知的时候
我们就有这样一个表达式
这部分是自由分量
这部分是一个强制分量
如果我们考虑这个t0出发
实际上就从0出发的话
那我们前面的推导就从0到t积分
这个时候可以证明
我们的一个简化的表达式
就是x(t)等于e^At乘以x(0)
加上0到t积分
这个e^A(t-τ)乘以Bu(τ)dτ
那么这个式子和我们前面给的这个表达式
带有t0的这个式子
这两个式子我们都可以对它
有一个推广的形式
就是我们把这个e^At换成了Ф(t)
把这个e^A(t-t0)换成Ф(t-t0)
那么同样我们就可以看到
这个xt的表达式
都可以看作是一个自由分量
就是Ф乘以x加上Ф和Bu进行卷积
这样的一个通用的形式
那么这里边我们把这个Фt和Ф(t-t0)
我们通称为状态转移矩阵
这样的话
就把原来的e^At的形式给它推广了
这个推广的好处是什么呢
就是我们可以讨论实变的系统
因为我们这前头写的e^At
它仅适合于线性定常系统
那么可以写出e^At的具体形式
但是如果是个实变系统
这个Фt实际上
就没有这么明显的这个形式
它可能本身还是一个积分的形式了
所以我们在这
把它写成一个更一般的形式
给大家展示一下
那么我们这样的一个
对非齐次方程的解的表达式
实际上可以通过数值积分的方法
对e^At进行计算
那么可以依次的得到我们整个xt
这是一个它的应用的途径
另外的话就是我们如果有一些
e^At可以解析的求解的时候
或者我们这个输入u
是一个特殊形式的输入函数的时候
我们是利用我们这个通用的表达式
就是这个xt的通解的表达形式呢
我们可以得到一些直接的结论
比如说我们看u(t)是一个脉冲函数的时候
也就是u(t)等于k乘以δ(t)
这个δ是在原点处是一个无穷的幅值
它的积分是1
这样一个单位量的
这样一个特殊的函数
那么我们假设初始条件是x0的话
我们的这个x(t)
在这个脉冲函数的作用底下
它就直接可以给出来一个结果
就是e^At乘以x(0)加上e^At乘以B乘以K
这个K当然和u(t)是一个同维的一个常数向量
就是我们脉冲的这个幅值
那么如果我们u(t)不是一个脉冲
而是一个单位阶跃
也就是从0时刻跳升到一个单位
幅值的一个定常的信号
那么就是u(t)等于K乘以1(t)
这个1就是到t大于等于0的时候
恒等1的这样一个单位脉冲
那么在这个时候
我们通过前面的卷积
也可以给它进行计算
把这个卷积积出来以后
得出来的结果是x(t)等于e^At乘以x(0)
加上A逆乘以e^At减去I乘以BK
那么对于u(t)是个斜坡
也就是说u(t)等于k乘以t乘以1(t)
这个1(t)当然就是一个单位阶跃了
那么这个时候
我们计算的结果是如下这个式子
那么我们可以看到
就是我们给定的非齐次方程的求解方式
在一些特殊情况可以直接给出结论
那么在一些更一般的情况
我们可以通过数值积分的方法去计算
或者有一些情况
我们可以计算这个e^At
关于A
它可以有基于特征值的解析的表达式
而这部分就是具体怎么计算e^At
我们会专门讨论
状态转移矩阵计算方法的时候会谈到
下边我们再来介绍
刚才是通过一个卷积的形式给出这个解
我们下边就是通过拉氏变换的方法
来说就是对于非齐次方程
怎么通过拉氏变换的方法来求解
这也很自然
因为我们通常讨论很多线性定常系统的
微分方程求解的时候
也常用拉氏变换作为求解途径
那我们对于这个x一点等于Ax+Bu的话
两边同时进行拉氏变换
我们可以得到一个带有初值的变换结果是
sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)
这当然是从零时刻开始
那我们经过整理以后
可以整理出来这个x(s)
它等于sI减A的逆乘以x(0)加上Bu(s)的形式
那我们接下来就是说
我们一旦知道了某个待求解的xt的拉氏变换
我们自然可以通过拉氏反变换得到x(t)
那也就是说我们对这一项进行拉氏反变换
得到这个相应的结果
下边我们就通过一个例子展示一下
通过拉氏反变换怎么来计算
这个是我们说从数值计算的角度
拉氏反变换是一个常用的方法
来进行这个状态方程的
状态响应x(t)的确定
比如说我们给一个二阶系统
它的这个A和B分别给出来是这个
然后我们的输入是一个单位阶跃函数
我们的初始条件是x1等于2
x2等于1
那么要求这个x(t)到底是什么
我们就是通过拉氏反变换的方法
我们首先计算sI减A的逆
那么也就是说对这个矩阵
直接用s乘以一个2×2的单位阵减一下
就得到这个式子
那么这个式子我们求逆
按照矩阵求逆的公式
我们经过一个整理以后
得到了它的四个分量
分别是四个有理分式
都是一个二阶的有理分式
我们计算了这个sI减A的逆已经求出来了
接下来我们就计算x(s)表达式里边
需要的这个x(0)加上Bu(s)这一项
那么这里边我们把x(0)直接代进来
然后对u(s)先进行拉氏变换
那我们的单位阶跃这个函数
它的拉氏变换正好是s分之一
那我们把这个乘以B以后得到这个式子
然后我们x(0)加上bu(s)
就整理出来是这个式子
那我们把这两项相乘就得到x(s)的
它的对应的拉氏变换的结果
就是这个式子
那我们接下来就要通过拉氏反变换来确定x(t)
这个确定的过程
其实就是要用到每一个有理分式的分量
它要进行部分分式展开
然后利用查表依次求反变换
那我们展开以后
第一项是三个一阶惯性环节相加
然后第二个是两个
那我们分别对每一项进行拉氏反变换
求取它的时间函数
比如说我们的x分之一对应的是一
所以这直接36分之一放在这了
然后这一项我们就是s+A分之k
那么这个k放在这个地方
这是增益
然后s+A就是它对应的是一个e的-At
这个-A正好是-4
那么同样的这个加9
这出现一个-9
然后我们这样的一个表达式
就可以获得了
这样我们就完整的确定出来
就是当我们给定初始条件x(0)
然后有一个输入函数的时候
我们整个这个系统
它这个t大于等于0以后
整个x1(t)和x2(t)怎么随时间变化
这里边包含了初始条件和输入的共同作用
最后形成了这样一个统一的表达式
这就是我们的一个计算的展示
当然如果我们直接计算e^At的话
实际上
通过卷积的形式也应该得到同样的结果
而这个计算方法
我们如果在时域里边进行计算的话
我们会留待就是说讨论这个
状态转移矩阵的计算方法的时候
大家可以再深入的了解
然后我们在这就不给出专门的例题了
好 我们在这一节当中
给大家介绍了非齐次方程
也就是我们一般形式的状态方程
它的这个x(t)这个时间响应
怎么样依赖于
初始条件和我们的输入这个强迫项
那么两者是分别引起一个自由响应
和一个强迫的作用
这两项是叠加的
而我们说这个强迫项
它是我们在这一节当中给大家介绍的
是我们的一个矩阵指数
也就是我们的状态转移矩阵
和我们的输入Bu这个信号进行卷积得到的结果
我们也给出来了一个证明分析
然后也介绍了用拉氏变换和反变换的方法
如何有效的来计算
我们这个x(t)的具体的响应
当我们给定了x(0)和u的信号的时候
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-2. 对外扰的完全不变性
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-1. 基本概念
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-2. 李雅普诺夫方法
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-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
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