当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第11周：李雅普诺夫稳定性（1） > 2. 李雅普诺夫方法 > 视频
好 同学们好
我们继续学习第七单元
李雅普诺夫稳定性分析
上一节课我们学习了一些基本概念
包括函数的正定性 负定性
系统的平衡点 平衡点的稳定性
渐近稳定性 全局稳定性等等
这节课我们学习第二节
李雅普诺夫稳定性分析方法
好 这一节分成两个小节
分别学习间接法和直接法
也称之为第一方法和第二方法
好 我们先学习第一节第一方法
假设xe是系统(2-1)
x微分等于f(x)的平衡状态
该系统在xe处的线性化模型为
y一点等于Ay
A是f 关于x在xe处的雅可比矩阵
是这么定义的
好 这其中的y是等于x减xe
注意xe是平衡点
它是一个常数向量
是状态空间上的一个点
好 李雅普诺夫间接法
它是基于A矩阵的特征值
来进行稳定性判定的
定理1如果矩阵A的特征值
都具有负实部
则xe是渐近稳定的平衡点
若存在特征值具有正实部
则xe是不稳定的
其他情况则不能判定
好 这是通过线性化模型
来判断原系统稳定性的一个判据
我们来看个例子
好 考虑下面这个二阶系统
那么原点是它的平衡点
x2等于0 x1等于0 不是唯一的
好 在原点做线性化
那么A矩阵在x等于0处的雅可比矩阵
是这样的
好 这个系统显然是稳定的
因为A矩阵的所有的特征根
都在左半开平面内
那么这个原来的系统是吧
是渐近稳定的
好 做一点说明
线性化方法不能给出全局稳定性的判断
但是在该例中的系统有多个平衡点
因此可以断定
原点不是其全局渐近稳定的平衡点
好 再来看一个二阶系统的
稳定性判断问题
也是考虑原点是它的平衡点
在原点处线性化模型A矩阵 雅可比矩阵
得到这样的
好 它的所有的特征根都在虚轴上头
所以我们的间接法失效
不能做任何判定
好 我们来学习第二方法直接法
假设原点是系统(2-1)
x一点等于f(x)的平衡状态
这里假设V(x)是正定的标量函数
有时也称为能量函数
它沿系统状态轨线对时间t的导数为
(2-2)式表示
V一点等于V对x求偏导乘以f(x)
这里所谓的沿系统状态轨线
其实就是假设这里面的V(x)
这个x是满足系统状态方程的
满足系统模型(2-1)的
所以这里有一个x一点
我们用f(x)代替了
好 李雅普诺夫第二方法
是根据V(x)和V(x)一点的定号性
来判断系统的平衡点的稳定性的
好 我们下面给出李雅普诺夫
第二方法的基本定理
定理2 如果V(x)函数是正定的
V(x)一点是负定的
则原点是渐近稳定的
如果x的2范数趋近于无穷大时
V(x)也趋近于无穷大的话
则原点是全局渐近稳定的
定理3 如果V(x)是正定的
V(x)一点是半负定的
则原点是稳定的
此外若V一点等于0 除了原点外
沿状态轨线不恒为零
则原点是渐近稳定的
再进一步如果x的2范数
趋近于无穷大时
V(x)也趋近于无穷大
则原点是全局渐近稳定的
定理4 如果V(x)是正定的
V一点也是正定的
则原点是不稳定的
标量函数V(x)
如果满足这些定理的条件
那么我们称这样的标量函数为
李雅普诺夫函数
好 以上三个基本定理
给出的都是充分条件
如果对应某一个V函数
不满足定理的条件时
不能下结论
比如说V(x)是正定函数
V(x)的一点是不定的
这时候我们不能做出任何判定
好 如果V(x)是代表广义能量
这个时候V一点是代表广义功率了
那么V一点小于0
这说明这个运动沿状态轨线
是消耗能量的
好 我们来看几个例子
好 下面是一个二阶系统
原点是它的平衡点
好 我们考虑一个V函数
是这样一个二次型的V函数
显然它是正定的
它是过零的
x等于0时它等于0
x非0的时候它是严格大于0的
好 V一点我们求它
然后把这个状态方程的f也代进来
整理完之后V一点是等于这么一个函数
可以看出来它是负定的
并且当x的2范数趋近于无穷大的时候
因为它是个正定的 二次型的函数是吧
那么V(x)也会趋近于无穷大
所以原点是全局渐近稳定的
好 这个图画的是刚才这个例子
V(x)的等值曲线
那么当这个C取不同值的时候
我们得到的是不同的椭圆
C越小这个圆是
椭圆是越小的
那么它是一族包含原点
这是个平衡点 原点
闭的随着C趋近于0的时候
向0退缩 收缩的椭圆
所以可以看出来
它的运动是逐渐地收敛于平衡点的
好 再看一个例子 也是一个二阶系统
分析一下可以知道
原点是它的唯一的平衡点
令这个f等于0
也就是令x1的微分等于0
令x2的微分等于0对吧
可以判断原点是一个唯一的平衡点
好 用李雅普诺夫第一方法
也就是间接法是可以判断
它的渐近稳定性的
这个大家可以去做去
好 下面我们用直接法来分析
考虑这样的V函数
这个V函数首先判断x等于0的时候
它是等于0的
非0的时候它是严格大于0的
所以它是一个正定函数
好 求一下V一点
求对V求全微分
那么把刚才的状态方程代进来
整理完之后 好 得到这么一个表达式
好 可以看出来它是负定的
那么根据李雅普诺夫稳定性定理的
第一个定理就知道原点是渐近稳定的
但是这个V函数当x1趋近于无穷大
x2趋近于0时
这个时候x的2范数是趋近于无穷大的
但是V(x)趋近了一个常数1
也就是说我们的x的2范数
趋近于无穷大的时候
V(x)没有趋近于无穷大
所以这个时候我们不能判定
这个系统是全局渐近稳定的
好 我们也来看一下
这个V函数的等值曲线图
好 当C V(x)等于C的图形
当C要是小于1的时候
它是一族包围原点的
闭的随着C趋近于0
向原点退缩的曲线
这里是用这个咖啡色表示的
好 当C是大于等于1的时候
这个等值曲线就不再是闭的了
是这个蓝线表示的
所以如果初始的状态在A点处
它是在比较靠近于原点的话
那么从A点出发的轨线
是逐渐地向原点收敛的
但是从B出发的
也就说离原点比较远
在这个C大于0的等值曲线之外的话
那么它的运动是沿着x1轴
趋近于无穷远处的
虽然在整个状态空间
我们的V函数是正定的
V一点是负定的
但也有 有一些初始状态出发的运动
是不会渐近收敛于这个坐标原点的
也就说这个系统不是大范围渐近稳定的
好 再来看一个例子
这个例子比较简单对吧
线性定常系统
显然原点是它的平衡点
是唯一的平衡点
也是孤立的平衡点
好 那么我们考虑这么一个V函数
两倍的x1平方加上x2的平方
这显然是一个正定的二次型的函数
好 那么求一下V一点
结果V一点是这种形式
好 有这么一项在这
可以知道它是不定的
所以利用这样一个V函数
不能判断这个系统的稳定性
虽然是一个正定函数
那么它不是这个系统的
李雅普诺夫函数
好 我们考虑这么一个函数
改变一下这么前面的系数
变成这样形式
这也是一个二次型的正定函数
而V一点是一个半负定的函数
好 到这里我们可以判断原点是稳定的
是李雅普诺夫稳定的
好 想判断它的渐近稳定性
我们考虑一下
V一点恒等于0的时候
是不是导出x是等于0的
好 我们假设V一点恒等于0
也有是x2恒等于0
那它的微分也应该恒等于0
好 把这个条件代入了
原方程的第二个方程里面去
x2一点等于0 x2等于0
那x1也要恒等于0
好 这样我们就得到结论说
V一点恒等于0
仅发生在坐标原点
那么根据刚才我们介绍的
第二个定理我们知道
那么坐标原点是这个系统的
渐近稳定的平衡点
好 进一步做分析
x的二范数趋近于无穷大的时候
显然V(x)会趋近于无穷大
那么可以断定原点是这个系统的
全局渐近稳定的平衡点
好 我们用了一个不同的V函数
得到了这么一些结论
好 我们再来看另外一个V函数
是这样构造的 稍微复杂一点
好 是一个二次型的正定函数
因为A矩阵的顺序主子式
1.5减0.25对吧 是大于0的
好 这是一个正定函数
而它的微分是等于一个负定的函数
到这一步我们就得到了
原点是渐近稳定的结论
很快就得到了对吧
好 那么因为V函数是正定函数
那么 x的2范数趋近于无穷大的话
它显然会V函数会趋近于无穷大
这样我们就很快就得到结论
原点是全局渐近稳定的
好 从这个例子我们可以看到
选择不同的V函数
可能会得到不同的结果
第一个V函数得到的结果说不能判定
第二个V函数的话
通过了一系列分析
我们还是得到了渐近稳定
全局渐近稳定的结论
但第三个V函数
我们就很简洁地得到了
渐近稳定和全局渐近稳定的结论
那么对于不同的V函数的选取
虽然结果有可能不同
但是结论不会矛盾的
该是稳定还是会判断是稳定的
好 那么我们就可以看到
在判断稳定性的时候
找到一个V函数
一个好的V函数是很关键的
而要找到一个合适的V函数
则需要经验和运气
要去试探
好 那么我们再来看一个例子
这个例子是想说明局部稳定性
好 这也是一个二阶系统
那么它在坐标原点是平衡点
但不是唯一的
坐标原点的话就把x全是0代进去
显然等于0
把x1和x2都置为1的话
它也等于0 至少有两个平衡点
好 线性化方法
也就是说李雅普诺夫第一方法是失效的
因为线性化模型的A矩阵是等于0的
好 我们考虑这样一个V函数
0.5乘上这么一个二次型函数
显然它是正定的
好 V一点那么计算一下
整理一下是这样子的
好 从全局来说
这个V一点是一个不定的
但是在x2小于1 x1也小于1
x2小于1 x1也小于1的区域内
V一点是小于0的 是负定的
好 并且我们考虑的平衡点
也在这个区域内
所以我们说这个系统在原点处
是渐近稳定的
好 两个原因可以说这个平衡点
不是全局渐近稳定的
一个它有多个平衡点
显然不是
第二个我们不能判断它的全局稳定性
因为V一点它的负定性是局部的
好 在这个例子中
这个x的2范数趋近于无穷大时
虽然这个V(x)也是趋近于无穷大的
但是不能得到全局渐近稳定的结论
刚才我说过V一点小于0
是仅仅在局部才成立的
好 我们再看最后一个例子
我们来看一下吸引域的分析
这是一个二阶系统
那么原点是它的平衡点
但是不是唯一的
可以去计算一下另外一个平衡点
好 我们考虑这么一个V函数
它是正定的
好 那么V一点计算完之后
把这些微分代进来
整理一下是等于这样的
好 那么显然这个不是一个负定的
但是在这个括号小于0
也有是两倍的x1乘上这个括号
它是小于1的这个区域内
那么V一点是负定的
而我们考虑的平衡点
原点是在这个区域内
好 因此这个原点是渐近稳定的
好 我们来看这个象平面图
这个V(x)在全空间的话是正定的
没有约束
但是V一点的话是在这个点画线
蓝色的点画线 这是一条
还有一条 这边有一条
这个区域内是负定的
它是个负定的
好 但是并不是V一点负定的区域
都是吸引域
其实我们经过分析
咖啡色这两条曲线
这个区域是吸引域
但是要确定这个吸引域是很困难的
下面我们来介绍一下
如何估计这个吸引域
我们可以在V一点等于0的边界上
求V的最小值 Vmin
那么V(x)小于Vmin
这个区域是一个保守的吸引域的估计
它比实际的吸引域会小的
好 我们做一下计算
令这个V一点等于0
也就是这个两倍的x1乘上这个括号
等于1可以解得
x2是等于 可以用x1来表示
好 那么V(x)在V一点等于0
这样一个区域内
我们可以得到
就是把这个x2代进来
那么配一下方法线
那么V(x)在V一点等于0
这个区域内是
最小值是等于这个值的
三分之一的根号2
好 这样我们就得到了一个
保守的吸引域的一个估计
也就是说满足这样的这个不等式的区域
是我们对吸引域的一个估计
其实它是一个椭圆的
这个粉色的这个部分的一个椭圆
那么它会小于实际的吸引域
实际的吸引域的话
我们解析的分析是很难求得的
这里的话是通过一些仿真
然后估计出来的
好 这是吸引域的一个保守估计方法
好 我们总结一下这一节的内容
我们学习了李雅普诺夫
两种分析方法
第一种分析方法
我们也叫间接法
它是将系统的描述在平衡点附近
进行线性化
针对线性化模型来进行稳定性判断
如果线性化模型的
这个状态矩阵A的特征值的实部
都是负的
则xe是渐近稳定的平衡点
这指的是xe是原系统的
渐近稳定的平衡点
如果这个A矩阵包含有实部为正的特征值
那原系统在这个平衡点是不稳定的
好 我们还介绍了李雅普诺夫
稳定性分析的第二方法
一共介绍了三个基本定理
它都是根据V函数的正定性
V一点的负定性或者是半负定性
或者是正定性
来判断系统的稳定性的
从本节的内容可以看出
成功应用李雅普诺夫
稳定性分析方法的关键
是找到合适的李雅普诺夫函数
我们下次课学习
构成李雅普诺夫函数的方法
好 这次课就到这里
再见
-1. 状态、状态空间、状态空间描述
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-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵
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-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵
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-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
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-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）--作业
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
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-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）--作业
-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
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-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解--作业
-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
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-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解--作业
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈
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-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈--作业
-4. 系统的等价变换及其应用（一）
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-4. 系统的等价变换及其应用（一）--作业
-5. 系统的等价变换及其应用（二）
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-5. 系统的等价变换及其应用（二）--作业
-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程
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-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程--作业
-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程
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-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程--作业
-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义
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-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质
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-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法
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-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性
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-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性--作业
-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念
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-3. 能控性与能观测性的定义（三）：能观性概念
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-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）
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-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）--作业
-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）
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-3. 能控性与能观测性的判据（三）：状态能观判据形式之一（模态判据）
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-4. 能控性与能观测性的判据（四）：状态能观判据形式之二（代数判据）
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-5. 对偶性原理
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-5. 对偶性原理--作业
-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解
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-2. 定常系统的状态空间结构（二）：能观状态分解
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-3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型
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-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现
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-5. 实现问题、最小实现（二）：多变量系统的能控实现、能观实现
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-6. 实现问题、最小实现（三）：最小实现问题
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-1.状态反馈和输出反馈
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-1.状态反馈和输出反馈--作业
-2. 反馈对能控性和能观测性的影响
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-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法
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-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法--作业
-4.极点配置算法(二)：极点配置举例
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-4.极点配置算法(二)：极点配置举例--作业
-5.极点配置算法（三）：极点配置算法
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-6. 状态空间中系统的镇定问题
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-6. 状态空间中系统的镇定问题--作业
-1. 状态观测器的基本概念
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-1. 状态观测器的基本概念--作业
-2. 全维观测器的设计
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-2. 全维观测器的设计--作业
-3. 降维观测器
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-3. 降维观测器--作业
-4. 重构状态反馈控制系统
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-4. 重构状态反馈控制系统--作业
-5. 扰动量的观测
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-5. 扰动量的观测--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 对外扰的完全不变性
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-2. 对外扰的完全不变性--作业
-3. 输出对外扰的静态不变性
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-3. 输出对外扰的静态不变性--作业
-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制--作业
-1. 带观测器的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制--作业
-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 李雅普诺夫方法
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-2. 李雅普诺夫方法--作业
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-3. 构造李雅普诺夫函数的方法--作业
-1. 线性定常系统的稳定性
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-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性--作业
