当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第1周：控制系统的状态空间表达式（1） > 2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵 > 视频
同学们 我们下边来介绍
就是我们引入的状态空间描述
和经典的控制理论当中传递函数之间的关系
因为毕竟我们的状态空间描述是一种内部描述
而我们的状态空间描述所对应的输出表达呢
我们也希望能了解
所以在这个地方
我们来探讨如何从状态空间表达式
导出相应的传递函数表达式
我们下边来看一下这个导出的方法
我们上来就针对最一般形式的状态空间表达式
如图当中的(1)式
我们看到(1)式当中
状态空间方程是x一点等于Ax加Bu
输出方程y等于Cx加Du
这里边我们也是再重复一下
我们的u代表输入向量
A代表系统矩阵
C是输出矩阵
x是状态向量
我们的y是输出向量
B是控制矩阵
D是直接传递矩阵
在我们导出传递函数过程当中
我们有一个重要的前提
就是大家也都知道
我们假设系统是一个0初始状态的时候
讨论传递函数才有意义
所以我们是假设初始条件为0的前提下
采用的方法是对联立的状态和输出方程
进行分别的拉氏变换
拉普拉斯变换
我们对状态方程进行拉普拉斯变换
并且经过适当的代数处理以后
可以得到在x(s)等于sI减A的逆乘以Bu(s)
这样一个对应于状态方程的拉氏变换形式
我们对于输出方程就是直接得到
y(s)等于Cx(s)加上Du(s)
这样一个形式
我们也知道传递函数
或者在这个地方
因为我们讨论是多输入 多输出的系统
比我们过去了解的传递函数
简单的有理分式形式更一般一些
它形成了一个传递函数矩阵
这个矩阵我们写作大的G(s)
它经过我们的推导可以得出
等于C sI减A的逆乘以B加上D
而这个推导过程
其实思路上非常简单
就是我们把状态方程所对应的x(s)
等于sI减A的逆乘以Bu
代入到输出方程
也就是y等于C乘以sI减A的逆乘以B乘以u加上Du
然后我们把u(s)给提取出来
就得到了传递函数矩阵
也就是我们可以写成
y(s)等于G(s)乘以u(s)这个形式
那么这里边的这个G
就是我们这儿给出的C sI减A的逆乘以B加上D
我们可以看一下
现在得到的这个系统的传递函数矩阵
它的维数是一个m乘r维的矩阵函数
而这个m是系统输出的维数
r是系统输入的维数
我们在这个里头
用小的gij(s)来表示G(s)这个大的矩阵的它的元
我们可以看到
写成分量的形式就是
大的G(s)等于g11一直到g1r
然后gm1一直到gmr
这样一个矩阵分量的形式
其中我们可以看gij(s)都是标量函数
从物理意义上来说
这样的一个gij它代表的是第j个输入也就是uj
对第i个输出也就是yi
它的一个传递关系
当i不等于j的时候
意味着不同标号的输入和输出
存在着相互的关联
这种关联关系我们把它称为系统当中
输入 输出不同分量之间的耦合关系
而这样的耦合关系的存在
恰恰是一个多变量系统
也就是多输入 多输出系统的一个
区别于我们单变量 单输入 单输出系统的
一个非常重要的特点
也使得这个系统了关联耦合更加复杂
下边我们通过一个数值例子
给大家展示具体地如何从一个状态空间表达式
得到相应的传递函数矩阵
我们这儿给出来一个两输入u1 u2
和三输出的y1 y2 y3的这样一个系统
它的状态空间的表达式分别由状态方程
我们在这儿看到的
状态方程和输出方程来给出
我们知道这个状态方程的两个系数矩阵A和B
分别是0 1 -2 -3
B是1 0 1 1
然后我们的输出方程的两个系数矩阵C和D
分别是1 0 1 1 0 2和0 0 1 0和0 1
我们在知道前面的表达式里边
计算传递函数矩阵
我们需要知道的是C乘以sI减A的逆乘以B加上D
所以我们先来计算sI减A的逆这个比较复杂的这个部分
我们把这个A代入到sI减A
这个I这个地方我们要说一下
它是一个单位矩阵
在我们这个具体例子里头
它是个2乘2的矩阵
这个矩阵代进去以后
我们得到了s -1 2 s+3
这样一个矩阵它求逆
我们通过矩阵求逆的基本的计算公式
可以得到这样一个结果
接下来我们有了sI减A的逆
就可以进一步的完成计算
是通过代入到G(s)等于C(sI-A)的逆乘以B加上D
这样一个表达式当中
我们把C B D这三个矩阵分别代入到上式当中
就可以得到这样一个式子
经过矩阵的乘法 然后加法
这样的一个代数运算
我们通过进一步的整理
可以得到最终的计算结果
就是G(s)是这样一个三行两列
也就是一个三输出两输入的一个传递函数矩阵
那么它有六个元素
而我们看到每一个元素
实际上都是一个我们所熟悉的传递函数的形式
当然因为这个系统是一个多输入 多输出
所以它在不同的输入 输出之间
存在这样的耦合关系
也就是除了我们说
u1对y1有影响
u2对y2有影响之外
其他的输入 输出之间也相互有交叉
这样的一个影响
我们刚才也是通过具体的例子
还有我们的一个简单的推导
通过拉氏变换揭示了从一个系统的内部描述
也就是我们的状态空间描述
如何推导出来它的相应的外部描述
也就是传递函数矩阵
这里边我们所作的推导是针对多输入 多输出的情况
比我们以前在经典的控制理论当中
所更多的关注的单输入 单输出系统要更加一般一些
有了这样一个公式的话
我们以后无论是在后边的分析和推导
还是设计过程当中
我们都可以加以运用
这样就联系起来了
我们现在所学的状态空间模型
和我们以前所学的传递函数
它之间的桥梁
-1. 状态、状态空间、状态空间描述
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-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵
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-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵
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-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
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-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）--作业
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
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-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
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-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
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-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈
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-4. 系统的等价变换及其应用（一）
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-4. 系统的等价变换及其应用（一）--作业
-5. 系统的等价变换及其应用（二）
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-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程
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-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质
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-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法
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-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念
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-3. 能控性与能观测性的定义（三）：能观性概念
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-4. 能控性与能观测性的判据（四）：状态能观判据形式之二（代数判据）
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-5. 对偶性原理
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-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解
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-2. 定常系统的状态空间结构（二）：能观状态分解
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-3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型
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-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现
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-5. 实现问题、最小实现（二）：多变量系统的能控实现、能观实现
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-6. 实现问题、最小实现（三）：最小实现问题
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-1.状态反馈和输出反馈
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-2. 反馈对能控性和能观测性的影响
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-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法
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-4.极点配置算法(二)：极点配置举例
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-5.极点配置算法（三）：极点配置算法
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-6. 状态空间中系统的镇定问题
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-1. 状态观测器的基本概念
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-1. 状态观测器的基本概念--作业
-2. 全维观测器的设计
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-3. 降维观测器
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-4. 重构状态反馈控制系统
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-5. 扰动量的观测
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-1. 基本概念
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-2. 对外扰的完全不变性
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-2. 对外扰的完全不变性--作业
-3. 输出对外扰的静态不变性
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-1. 基本概念
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-2. 李雅普诺夫方法
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-2. 李雅普诺夫方法--作业
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-1. 线性定常系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性
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