当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第6周：线性定常系统的综合（1） > 3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型 > Video
那我们现在给大家
来介绍一下
能控和能观标准型
那么谈到标准型呢
大家其实我们前边都学过
关于约当标准型或者解耦标准型
那么都是通过坐标变换的方法
同样我们也需要
用坐标变换的方法
把一个能控或者能观的系统
给它化成所谓的
能控或者能观标准型
而这些标准型
对我们系统进行分析和设计
有非常重要的意义
我们下边就具体来看一下
在状态空间模型里边我们
其实大家已经听说过
能控标准型的这个
或者能观标准型的名词了
那么我们也提到
它对于我们进行分析和综合
有十分重要的意义
下面我们就来看
如何把一个一般的
状态空间表达式化成标准型
那么对于单输入单输出系统而言
我们先考虑把一个状态方程
化成能控标准型
那我们假设这个系统的系数矩阵
是*式所给出的
我们假设化出的标准型
是一个经过坐标变换以后
带~的这样一个型式
那么我们首先说
什么是标准型式
这里边我们
其实大家回顾一下
能控标准1型的型式
就是一个n维的方阵
那么它的这个前n减1行是由一个单位的
n减1维的单位方阵
和全零的一个列构成的
然后最底下一行是我们说
传递函数的分母多项式的系数
而这个b是0 0 1的型式
c是反映分子多项式系数的
这样一个一般型式
那我们把这种型式
称为是一个能控标准1型
或简称能控标准型
这里边我们说
不管是分子还是分母的系数
都是可以是选任意实数的
我们之所以把它称为能控标准型
是因为如果我们直接去计算它的
能控性矩阵的话
我们展开会得到这样一个型式
就是0 0 1
然后这边是逐渐的
这个斜对角线上是1
然后底下是
分别是负a1
这样的一个型式
其他我们就不关心
这些数是什么
那么从这个矩阵来看的话
是一个斜的下三角矩阵
这样的话我们计算它的行列式
会发现它一定是满秩的
所以我们说
对于能控标准型型式的
这样的一个状态空间表达式
它一定是能控的
那么这是它这个
能控标准型的一个
能控这两个字的含义
当然写成这样的一个型式呢
还是因为它在我们进行
分析综合
有它特定的意义
我们进一步要给出来
这样的命题
也就是说如果一个系统是能控的
那么一定可以通过坐标变换
把它化成能控标准型
那这里头跟我们以前讨论
约当标准型的时候有所不同
那个时候我们说
任意的一个系统值
我们都是可以通过计算特征值
然后进行特征向量
和广义特征向量的计算
都可以构成我们相应的变换阵
使得任何一个一般的
状态空间表达式
都转化成一个
约当标准型的型式
但是我们说并不是所有的系统
通过坐标变换
都能够化成能控标准型
这里边有一个前提条件
就是我们要这个系统
它本身必须满足能控性的条件
那我们这里边的证明过程
我们这里边有一个
比较详细的证明
那我们现在就跟大家
一起来看一下
就是对于一个能控的系统
那么我们假设这个变换阵是T
我们现在关心的是如何能够
构造这样一个T出来
满足我们的要求
当然我们作为证明的话
我们的一个思路就是说
我们假设这个T是存在的
然后我们列写一些相关的条件
来分析一下到底这个T
应该怎么得到
那么跟我们的这个系统的
给定的这些A B C
这些系数矩阵有什么关系
那好 那我们首先就有个目标
我们的目标是
这个变换以后的a b c
分别满足我们要求的特定型式
那么我们在这
由于这个变换以后的输出向量
没有什么特殊的形式
它对我们的变换阵也提供不了
任何有用的信息
我们就关注是这个A矩阵
和b列向量
它们两个特殊型式
到底怎么帮我们去确定这个T
好 我们首先看
就是经过相似变换
我们的一个原始的A矩阵
就转化成了这样一个
标准型式的a
那么b是001的形式
也就是经过这个变换以后
我们的输入向量就变成了001
这样一个只包含一个非零元素的
这样一个列向量
那么假设这个T是存在
我们接下来的任务就是说
需要把它的每个元素给确定下来
这个时候我们就假设
我们把T逆
这个变换阵的逆矩阵
先做一个行向量的划分
我们把它认为是n个行向量
待定的行向量
我们写在这个地方
那我们利用
就是说待定系数法
把我们前边列写的
A B C之间的关系放进来
然后我们进而利用T逆的一个
待定系数的这样的一个行向量的划分
我们根据前边的
A矩阵的变换关系
我们列出这样一个方程来
然后进一步的把
系数划分的式子展开
然后我们的这个
T逆的一个行向量的划分
乘上这个A
应该等于我们标准型式的这个a
乘以这个T逆
那么T逆呢
我们对标准型式这边展开以后
是个分块相乘的关系
我们就得到了P2T逆
然后这个地方
我们依次列出待定系数的关系
我们那个P2转秩的话
应该等于P1转秩乘以A
然后我们的P3等于
P2转秩乘以A
但是我们把前一个代进来
就变成了P1转秩乘A方
这样我们一直到最后一项的话
我们可以依次的
得到一个对应的关系
就是我们的PnT它等于
Pn减1T乘以A再等于
P1转秩乘以A的n减1
那么这样一个的关系
我们最后可以得到
这样的一个基本的
这样一个待定系数的关系
那么由于我们这里边
P1它是未知的
这也是我们要待求的一部分
但是好在我们刚才前面的推导
表明了P2和P1的关系
一直到Pn转秩和P1的关系
所以我们就要利用
输入的变换之间的关系
再来确定到底这个P1是谁
那我们用T逆乘以b
也就是分块我们分别
和b相乘以后
我们得到标准型式的
这样的一个001的型式
那么这个时候我们就可以确定
P1转秩乘以n减1b
然后等于1这样一个型式
由此我们可以把上面的式子
给它联立起来改写出来
我们就得到了一个
总的一个基本的关系
那么就是这个P1提出来
乘上这个b Ab
一直到A的n减一次方b
它等于0 0 1这样的一个型式
由于我们这个
原来系统假设是能控的
所以我们看这正好
b一直到A的n减一次方b
构成的这个分块的矩阵
它就是我们的能控性矩阵
所以它是满秩的
既然满秩它就可以求逆
所以我们通过这个式子
其实可以说
把能控性矩阵逆过来
乘以0 0 1
就得到了我们的这个P1行向量
那么具体的型式就在这
这样的话我们把
P1一旦求出来
就可以反代回去
依次的确定P2一直到P的
n的这样行向量
那么我们就知道呢
T逆就可以确定下来了
当然这个本身也给了我们一个
构造性的证明
就是说我们去如何的
把一个能控的系统
给它具体的通过坐标变换
化成能控标准型
这个本身的构造方法
我们在证明过程就已经给出了
下边我们通过一个例子来看一下
这是一个能控的系统
当然是否能控
我们需要做它能控性矩阵
进行检验
这是我们具体的b和Ab构成的列
分块的这个矩阵
那么我们知道它是可逆的
所以它是能控
那么它逆矩阵求出来
然后这个时候我们就知道
它的这个
T逆的第一行
是由0 1乘以Qk求逆
那我们就可以求出来
我们的这个
T逆的变换阵里边的第一行
然后第二行我们也可以
P2也可以确定下来
就是由P1乘以A
所以我们
这样我们就得到了
P1乘以A的话
就得到整个T逆
然后T我们也就可以求出来了
这样我们的变换阵代入以后
我们就把A~给得到了
当然A~就是我们的目标
所以我们也很容易知道
它具有这样一个标准型式
那么我们的输入向量呢
当然由于我们前面待定系数
用到的条件就是它0 0 1的型式
所以也很不意外的
就是我们直接拿T逆乘以b
它肯定应该等于0 0 1
在这是二维的
所以是0 1的型式
整个状态方程化成的标准型
就是我们这样得到的这个型式
那么我们前面给大家讨论的是
单输入单输出系统如果能控
我们怎么样去化能控标准型
对偶的我们也可以去讨论
如何把一个能观的系统
给它化成能观标准型
在这个地方我们就直接给出来
这个能观标准型的型式
当然它跟能控标准型
实际上是个对偶型式
大家可以看出来
是互为对偶的
那么这里边它的这个
之所以叫能观标准型本身也是
我们如果去计算它的
能观性矩阵的话
也不意外的是一个
一定能够本身容易判断
是能观的这样一个
具有这样的标准型式
那我们对于能观性的
这样的一个标准型
同样也能够去证明
它是一个能观的系统
一定可以经过线性变换
化成我们前述给出的
能观标准型的型式
那么我们下边是
不是直接去证明
而是利用我们前边已经学过的
对偶性原理来分析这件事情
就是说它这个具体的变化的情况
那我们从概念上来说的话
就是给定一个原系统
如果它是能观的
那我们先构造它的一个对偶系统
那么所谓对偶系统
就是它的a矩阵求个转秩
然后把输入变成输出
把输出变成输入
并且分别求一个转秩
那么这样的一个型式
当然根据对偶性原理我们知道
原系统如果能观
那么对偶系统一定是能控的
那我们现在得到这个能控系统
一定可以通过一个坐标变换阵T
使得它变成能控准型
我们不妨假设是这样一个型式
这是变换以后的
然后我们再把能控标准型
再用对偶原理写出它的对偶系统
也就是说我们对这样的一个
变换以后的A矩阵
进行一个转秩
那么就得到这样一个情况
当然我们在这里边
写成这种型式的时候
就是用到了转秩运算和求逆
是可以交换的
和相乘以后也是可以
颠倒顺序以后交换
那么我们的这个
相应的输入矩阵和输出矩阵
也有对偶关系
也是进行一下相应的变换
那么当我们去考虑具体的
能控标准型经过对偶运算以后
得到的型式
那恰好能够跟我们给出的
能观标准型对应起来
那我们整个这个变化的过程
在这个地方有一个图示
就是我们考虑一个原始的
能观的系统
我们并不直接给它构造变换阵
而是我们把它通过
看作是对偶运算的情况下
得到一个对偶系统的
能控性这样一个条件
然后我们对对偶系统
求出它的一个化为
能控标准型的变换阵T来
然后我们再对偶到
它的能观标准型上去
然后我们再通过分析
变换阵的基本情况回归到
就是这个需要的坐标变换阵
而我们在这看到
实际上是对偶系统
坐标变换阵转秩以后再求逆
就是我们在能观系统
化能观标准型
所需要的这个变换阵
那么我们下边来看
怎么将一般型式的能观系统
变成能观标准型
当然我们前面讲的是
通过对偶化能控标准型的型式
当然我们在这给出这个步骤
就是直接利用对偶性原理
在能观性矩阵的角度
去寻求我们的变换阵
是一个比较简洁的过程
我们首先给出能观性矩阵
然后我们把能观性矩阵求逆以后
求出它的最后一列
取出最后一列来
然后我们把变换阵就定义为
这样的一个基本的型式
那么就最后一列
然后这个A乘以最后一列
一直到A的n减一次方
乘以最后一列
这就是
这样的话我们可以从理论上保证
得到的就是能观标准型
那我们对这样一个简单系统
一个数值的例子
我们来看一下具体怎么来做
首先我们就求出能观性矩阵
然后我们先检验一下
它是否真的能观
如果不能观的话
我们是无法求能观标准型的
我们判断一下
正好秩为2
所以它是能观的
然后按照我们的步骤要求
就是对它先求逆
求完逆以后
我们把它最后一列给求出来
那么我们这是求出来逆是它
所以最后一列是负1 2
然后我们再把它
这一列以及A乘以P1
构成一个变换阵T
就直接给出来是这样一个情况
那么我们对这个T求逆以后
我们就可以去求变换以后的A
那么求出来的型式
是这样一个
能观标准型的A
所应该具有的型式
也就是它的前 n减1列
那么应该是一个
上边全零行
然后底下是一个n减1维的
一个单位阵的型式
那么最右边的这一列是一个
一般的实数的型式
那么相应的我们也可以
求出c和b来
都是变化以后的
那么我们就可以知道
变化以后的这个
整个系统的能观标准型
就是这样一个型式
那么我们这里头注意到
就是输出矩阵是个0 0 1的
这个行向量的型式
那么正好跟我们的
能控标准型是一个互为对偶的
这样的一个型式
那么到这我们给大家介绍了
就是我们的能控性和能观性
满足的系统
分别可以根据坐标变换
来导出它所谓的能控标准型
和能观标准型
那么我们在化能观
能控标准型的过程当中要注意的
就是我们首先要检验这个系统
本身是否满足相应的性质要求
这一点跟化约当标准型是不一样的
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-5.极点配置算法（三）：极点配置算法
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-2. 对外扰的完全不变性
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-1. 基本概念
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-2. 李雅普诺夫方法
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-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-1. 线性定常系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性
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