当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第7周：线性定常系统的综合（2） > 2. 反馈对能控性和能观测性的影响 > 视频
上面我们讲到了采用状态反馈和输出反馈
来构成闭环系统
那下面我们来看反馈对系统能控性和能观性的影响
为了简单起见我们这里还是讨论
在D等于0和输入变换矩阵F等于单位阵I的情况下
来对反馈对系统能控性和能观性的影响
这时候开环系统的状态空间表达式
就是x导数等于Ax加Bu y等于Cx
如果我们采用状态反馈u就等于W减去Kx
那么闭环系统的状态空间表达式
就进一步写成了x导数等于A减BK乘以x加上Bw
y等于Cx
那我们这里我们首先给出它的结论
就是状态反馈不影响系统的能控性
但是不一定保持系统的能观性
输出反馈不影响系统的能控性和能观性
下面我们来看为什么能够得出这样的一个结论
首先我们看状态反馈不影响系统的能控性
那我们还是根据第三章当中的
判断系统能控性的办法
也就是能控性矩阵的形式
来判断采用反馈构成闭环系统以后
它的能控性矩阵的形式
构成闭环以后它的系统矩阵就不再是原来的
开环的A阵 而是一个A减BK
那么我们按照同样的方式来构造它的能控性矩阵
那就是B乘以A减BK乘以B
一直到A减BK的n减1次方再乘以B
这个就是它的能控性矩阵
那我们来看这个闭环系统的能控性矩阵
和开环系统的能控性矩阵之间的联系
我们就可以一步步来推导的看
A减BK乘以B
那我们把它展开就可以写成A乘以B减去BK乘以B
我们可以写成AB减去B乘以D
那这里的D等于K乘以B
而进一步写A减BK的平方乘以B
同样我们也可以写成A减BK再乘以AB减BD
然后进一步可以写成了A平方乘以B
加上B乘以AB它的一个线性组合
在一式就可以写出A减BK的三次方乘以B
就可以写成了A的三次方乘以B
再加上B AB A平方B的线性组合
同样最后写到A减BK的n减1次方乘以B
可以散成A的n减1次方乘以B
再加上B AB 一直到A的n减2乘以B的
一个线性组合
把它写成 用分块矩阵形式写出来
就可以看出闭环系统的能控性矩阵
和开环系统的能控性矩阵B AB A的n减1乘以B
写成它要成一个又成一个大的一个矩阵
那大的矩阵当中它的左下角全是0矩阵
在主对角线上都是单位矩阵I
上面都是一些线性组合的一些矩阵的参数
那么从这样一个表达式当中
我们就可以进一步去推导
判断它们的矩阵的秩
我们说闭环系统的能控性矩阵它的秩
就等于开环系统的能控性矩阵的秩
因为这个最后这个矩阵
它仍然是一个非奇异的矩阵
这样的话开环系统的秩
和闭环系统的能控性矩阵的秩是相同的
那么这个表达式就说明状态反馈
它不影响系统的能控性
或者换句话说如果开环的时候
原系统是完全能控的
也就是说这个能控性矩阵是满秩的
那么加上任意状态反馈以后
得到的闭环系统它也是完全能控的
如果开环系统原系统是不完全能控的
也就是说能控性矩阵它的秩不是n小于n的话
那你不论加上什么样的状态反馈
得到的闭环系统也仍然是不完全能控的
第二条是状态反馈不一定保持系统的能观性
或者换句话说它有可能影响了系统的能观性
它不能保持系统的能观性
那就是状态反馈有可能改变系统的能观性
也就是说原系统完全能观的话
在某些状态反馈作用下得到的闭环系统
它可能是就变成了不完全能观的了
如果原系统不完全能观
也有可能在某些状态反馈作用下所得的闭环系统
仍然可能成为一个完全能观的系统
这个我们就不做证明
我们用几个例子来进行说明
首先我们看这样一个二阶的系统
取它运动方程x导数等于1 1 0 1x加上0 1u
输出方程y等于0 1x
由这样一个二阶系统我们可以直接写出
它的能观性矩阵Qg就是0 1
然后再乘以C乘以A 又是0 1
那么这个系统我们看开环的时候
系统是一个不完全能观的系统
因为Qg的秩是1 不满秩
如果这个时候我们取状态反馈K
是1 1两个参数的时候
闭环系统就变成了x导数A减bk X加上bw
那么这个A阵就变成了1 1 负1 0
和原来的开环的时候就发生变化
输出方程还是y等于0 1 x
那么这时候我们看闭环系统的能观性矩阵Qg
就变成了0 1 c乘以A c乘以
闭环系统的A阵就变成了负1 0
那么再看我们这样的一个Qg矩阵就是一个满秩的
说明系统就变成了完全能观的系统了
但是如果我们取状态反馈k是0 1
这样两个参数的时候
闭环系统导成A阵变成1 1 0 0
所以我们再进一步写成Qg的时候就发现
它的0 1 0 0
仍然是Qg是一个不满秩的矩阵
这时候系统仍然是一个不完全能观性的系统
如果我们说这个状态方程x导数1 1 0 1x加上0 1u
这时候如果是输出方程是y等于1 1x
也就是y等于x1加x2的时候 系统是完全能观的
这个时候如果我们取k
状态系统的系统矩阵k等于1和2两个参数
我们进一步可以写出它的能观性矩阵
就发觉系统不完全能观
如果是取1 1的时候
系统就是仍然完全能观的
这里面也是对不同的数值方程系统
采用闭环反馈状态反馈以后
它仍然是可能改变系统能观性
那这时候如果我们是输出方程是1 0x
也就是y等于x1时候系统开环是完全能观的
那这时候我们可以分析出得到这样一个结论
就是你加任意的状态反馈得到的闭环系统
它仍然是完全能观的
不管你加k1 k2是什么样的参数
得到的闭环系统它都是能够保持这个完全能观性
当然如果有兴趣可以下来我们去推导一下
为什么会有这样一个结论
那么以上通过这样几个例子我们就说明了
状态反馈有可能改变系统的能观性
也就是说是它不一定能够保持系统的能观性
第三个结论是说输出反馈
可以保持系统的能控性和能观性
或者换句话说输出反馈
它不改变系统的能控性和能观性
因为对任一个输出反馈都可以对应地构造出
相等价的一个状态反馈的系统
而状态反馈是能够保持能控性的
那说明就可以证明输出反馈
它能够保持系统的能控性
那我们再来证明简单证明输出反馈
一定是可以保持能观性的
那么前面我们推导出来
输出反馈的状态空间表达式是等于
x导数等于A减BHCx加上Bw 输出y等于Cx
那我们想证明输出反馈保证了系统
保持了系统能观性
只要证明这样一个表达式是成立的就行
也就是说闭环系统的能观性矩阵也就是C
C乘以A减BHC 一直到C乘以A减BHC的n减1
构成的闭环系统的能观性矩阵
和开环系统的能观性矩阵C CA C的A n减1
构成的能观性矩阵
它两者之间的秩是相同的就可以
那么这个证明方法就和我们前面证明
状态反馈能保持能控性的方法是类似的
我们这里就不证
下面同学们有时间的话可以自行去证明
那么也就是说从这个表达式我们就知道
输出反馈构造的能观性矩阵
和开环系统能观性矩阵 秩是一样的
说明它就保持了系统的能观性
这样我们就可以得出这样一个结论
状态反馈不影响系统的能控性
但不一定能保持系统的能观性
输出反馈不影响系统的能控性和能观性
那么这一小节我们就证明了
反馈不管是状态反馈还是输出反馈
它对能控性和能观性的影响
按照结论就是状态反馈保持了能控性
但有可能会影响到能观性
输出反馈是保持了系统的能控性和能观性
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