当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第11周：李雅普诺夫稳定性（1） > 3. 构造李雅普诺夫函数的方法 > 视频
同学们好
我们继续学习第七单元
上次课我们学习了分析控制系统稳定性的
李雅普诺夫方法
我们看到应用这些方法时
关键是要找到合适的V函数
即李雅普诺夫函数
这次课我们学习第三节
构成李雅普诺夫函数的方法
对于一般的非线性系统
没有一种构成李雅普诺夫函数的通用方法
人们通常凭经验和技巧
来选取李雅普诺夫函数
最常见的是二次型函数
有些方法适用于一些特定的情形
我们这一节学习三种方法
克拉索夫斯基方法
变量梯度法
偶函数法
好 我们先来学习第一种方法
考虑如下非线性系统(3-1)
x的微分等于f(x)
其中f(x)存在连续偏导数
定义雅可比矩阵
f(x)对x的偏导数
用大写的F(x)来表示
定理1假设f(0)等于0
也就是x等于0是原系统的平衡点
f(x)存在连续偏导数
且在原点的一个邻域上
大F转置加上F是负定的或者是正定的
则此邻域内除原点外
f(x)是不等于0的
也就是说x等于0是
原系统的孤立平衡点
定理2设原点是系统
x微分等于f(x)的平衡状态
并且f(x)存在连续偏导数
如果大F转置加上F是负定的
则原点是渐近稳定的
进一步如果x的2范数
趋近于无穷大时
f(x)的2范数也趋近于无穷大
则原点是全局渐近稳定的
这个定理也叫做克拉索夫斯基定理
好 我们来证明一下这个结论
V(x)定义为小f转置乘上f
则V一点等于f一点乘上f
加上f乘上f一点
把雅可比矩阵代进来
等于小f转置括号
大F转置加上F乘上小f
如果F加上F转置是负定的
则由(定理3-1)知道
V(x)是正定的 V一点是负定的
x等于0是原系统的孤立平衡点
所以我们可以知道
它是渐近稳定的
克拉索夫斯基方法给出的结论
还是充分条件
当条件不满足的时候也不能下结论
也可以把V(x)取作小f转置乘上P
再乘上小f
这个P矩阵是一个常数矩阵 是正定的
那么这种方法叫做雅可比方法
大家可以去整理一下相应的结果
也就是雅可比定理
好 大家可以考虑一下
如果F(x)加上F转置
那么它是正定的 能下什么结论
好 我们来看一个例子
二阶系统
我们想用克拉索夫斯基方法来判断一下
它在原点的稳定性
原点是它的平衡点
但是不唯一
好 由李雅普诺夫第一方法
是可以判断它的渐近稳定性的
把这个拿掉
这个拿掉的话
这是负1 负x1 这是负x2
好 我们计算一下雅可比矩阵
它是对称的
所以它的对称和就不用算了
好 那么计算一下它的顺序主子式
想判断它的定号性
那么一阶主子式是x2减1
二阶的话1减x2减掉x1平方
好 如果是在x2小于1减x1平方
这个区域内的话
那么Δ2的话是大于0的
而Δ1是小于0的
好 原点也在这个区域内
所以我们可以知道
就是这个雅可比矩阵
F加上F转置的话
在这个区域内的话是负定的
这样的话我们根据克拉索夫斯基定理
可以知道原点是渐近稳定的
好 那么再来看一个例子
也是个二阶系统
原点是唯一的平衡点
并且由第一方法可以判断
它是渐近稳定的
这个把后面两项拿掉
是-5 -1 是渐近稳定的
好 我们来用克拉索夫斯基方法
计算雅可比矩阵
F(x)求偏导数可以得到这些
好 这个不是对称矩阵
那么我们求一下它的对称和
加起来是这样子的
好 下面我们来判断它的定号性
把这个F加上F转置抄到这来了
那么一阶主子式Δ1等于-10
Δ2等于20倍的
这个括号减掉这个括号的平方
好 给它打开
好 发现它是大于0的
好 所以我们可以判断
F转置加上F是负定的
并且当x的2范数趋近于无穷大的时候
f的2范数的平方是正定的
它也会趋近于无穷大
所以我们判定原点是系统的
全局渐近稳定的平衡点
这是第一种方法
好 我们来学习第二种方法
变量梯度法
这种方法是先来构成V一点
后来求V(x)
好 先设定V(x)的梯度
用这样一个符号表示的话
那么我们设定它是Δ1 Δ2 Δn
这么一个行向量对吧 一个向量
好 那么由梯度来确定V一点的话
直接乘上这个x一点
也就是乘上f就可以了
那么我们选定了Δ
那就选择了V一点
好 那么下面就由V一点
来求V(x)
就是来做积分
从V(0)积到V(x) 做积分
好 把这个梯度代进来
是这个表达式
好 这个积分是一个曲线积分
如果被积函数是某个标量场的梯度的话
那么这个积分与积分路径就没有关系了
这样我们可以选取
一个比较容易计算的积分路径
好 那么第四个我们就来构成这个梯度
满足这个条件
也就是交叉求偏导相等这个条件
大家去回顾一下曲线积分
里边有一些结论就知道
满足这个条件的时候
那么积分和积分路径无关
好 这样的话
如果刚才的梯度条件满足的话
我们就可以选择一条
简单的积分路线
比如我们按坐标逐次积分
那就说我们这V(x)写成这样子的
那么先对x1做积分
这个时候令x2到xn都是等于0的
这样积分就简单一点
好 它做完之后
做对x2这个做积分
这个时候的话
把x1固定了
其他的除了x2
其他都设成0 这样一直往下做
好 我们来看个例子
这样一个二阶系统
那么平衡点是
原点是它的平衡点
还是唯一的平衡点
那么第一方法是可以判定它的
渐近稳定性的
好 我们来用变量梯度法来分析它
好 我们构成梯度向量
Δ1 Δ2 假设它是这样的形式
这里面的a11 a12 a21 a22
是待定的常数
好 那么我们计算这个V一点
它等于梯度乘上x一点
好 把x一点代进来
把刚才选的梯度代进来
好 整理之后是这样子的
形式是这样的
好 下面我们来选择这个a
使它满足这个梯度的要求
好 那么这个交叉偏导数相等的话
则要求a12等于a21
好 这样我们就选取
这个让它们这两项等于0
而选a11和a22让它等于1
则得到V一点是这样一个函数了
好 在这个1减两倍的x1x2
大于0的范围内
那么这是一个负定的函数
好 那么原点是在这个范围之内的
所以我们就可以知道
这个坐标原点是渐近稳定的了
好 那么由此我们来构造V函数做积分
好 做积分的话
那么先做这一块
一个一个做就行了
先积分x1 再积分x2 就得到它
所以是正定的
好 这样的话把前面的V一点
是在原点附近 是负定的
那么这个V(x)又是正定的
这个结论合在一起
我们就可以判定
这个原点是系统的渐近稳定的平衡点
好 这是第二种方法
下面我们来学习第三种方法
偶函数法
好 我们考虑如下形式的V函数
它是n个函数之和
x是n维的
这里的ai xi是关于xi的偶正定函数
这样V一点就写成这样一个偏导数
乘上fi
好 我们要选取偶正定函数
ai xi使得V一点是负定的
好 那么我们注意偶正定函数
有如下特性
第一个它是偶函数
那么偏导数呢它是一个奇函数
那么ai对xi求偏导乘上xj
这个i不等于j的话
那这个函数是不定号的
好 第三如果bi(xi)是xi的奇函数的话
那么这个ai对xi偏导数
乘上bi(xi)的话
则可能是定号的
好 这有三个特性
后面我们再选取偶正定函数的时候
要考虑应用这些特性
好 我们用例子来说明
好 先考虑一下这样一个二阶系统
那么原点是它的平衡点
我们命V(x)等于a(x1) b(x2)
a b分别是x1 x2的偶正定函数
好 求V一点
偏导数求微分 偏导数求微分
把x1的微分代进来
x2的微分代进来
好 把这个括号打开
这个是这一个
这一块打开
好 我们把最后这个等式抄到下一页去
好 我们来分析这里面的每一项
第一项是x
5x1乘上这个偏导数
注意这个是个奇函数
这个x2加上x2的三次方
关于x2的一个奇函数
而这个偏导数也是奇函数
所以这两项是 可能是定号的
a b选得合适的话
好 但是这个x2加上x2的5次方
乘上a对x1求偏导数
a是关于x1的偶正定函数
那这个偏导数是个奇函数
那这个可能是不定号的了对吧
那么x1乘上b对x2求偏导数
这也是一个不定号的
好 我们要选取a b
使得V一点是负定的
而这两项是不定号的
我们希望选取偶正定函数a b
使得这两项能够消失掉
后面两项消失掉
好 消去的方法
那么我们让它们交叉相等
符号相反就可以
好 这个符号已经是相反了
那么我们可以令这个
a对x1的偏导数让它等于这一项
让b对x2的偏导数等于这个括号
也就是这样选取的话
好 如果是这样选取的话
我们代到刚才的V里面去
那么刚才两项就消失掉了
就可以消掉
消掉 那么由这两个偏导数取积分
就可以把这个a b给计算出来
二分之一的x1的平方
这个是x2的平方
这个是x2的6次方
好 这样的话就把V函数算出来了
由于这个a b的选取
这个V一点就是
可以看出来是负定的
而这个V(x)是正定的
好 并且当x趋近于无穷大的时候
V会趋近于无穷大
所以得到的结论
这个系统是全局渐近稳定的
好 再看一个例子
这个例子其实我们上一节已经见过了
好 一个二阶系统
我们用间接法可以分析它是
在原点是渐近稳定的
好 我们用这个偶函数法来做
做一下分析
好 那么我们令V等于a b
好 对a求导数
偏导数x1的微分代进来
把它代进来
这样一个对x2求偏导数
把x2的微分代进来
好 我们做一下处理
把括号打开做一下整理
我们可以看到
这一项是可能定号的
这一项就是x2的奇函数
这也是奇函数
是可能是定号的
好 这个是不定号的
这是x2 这是x1的奇函数
这一项也是不定号的
好 那么我们利用刚才已经用过的方法
我们令这个偏导数等于这个函数
然后让b的偏导数
等于两倍的x2
它本来就有一个负号
好 这么选取的话
那么这样代进去之后
我们可以看到V一点是负定的
把这个偏导数代进去
把这个偏导数代进去
后面两项抵消掉了 是负定的
好 那么下面根据这个偏导数
来求这个a b
好 根据它取积分
对它取积分
最后算得a是等于这样一个函数
那么b等于这么一个函数
好 这样的话我们就得到了V函数
那么在上一节中我们用了这个V函数
当时没有说这个V函数哪来的
我们用偶函数发现可以这么来求得它
好 我们留两个习题
就是大家课后去做做
要利用这个偶函数法
来分析下面这两个系统在原点的稳定性
都是二阶系统
大家可以去试一试
好 最后总结一下这一节的内容
我们这一节介绍了三种
构成李雅普诺夫函数的方法
就是克拉索夫斯基方法
变量梯度法和偶函数法
但是这些方法也都不是通用的方法
在处理实际问题的时候
需要试探着使用
好 这节课就到这
再见
-1. 状态、状态空间、状态空间描述
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-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵
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-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵
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-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
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-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）--作业
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
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-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）--作业
-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
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-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解--作业
-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
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-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解--作业
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈
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-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈--作业
-4. 系统的等价变换及其应用（一）
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-4. 系统的等价变换及其应用（一）--作业
-5. 系统的等价变换及其应用（二）
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-5. 系统的等价变换及其应用（二）--作业
-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程
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-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程--作业
-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程
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-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义
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-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义--作业
-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质
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-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法
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-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性
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-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性--作业
-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念
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-3. 能控性与能观测性的定义（三）：能观性概念
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-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）
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-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）--作业
-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）
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-3. 能控性与能观测性的判据（三）：状态能观判据形式之一（模态判据）
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-4. 能控性与能观测性的判据（四）：状态能观判据形式之二（代数判据）
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-5. 对偶性原理
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-5. 对偶性原理--作业
-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解
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-2. 定常系统的状态空间结构（二）：能观状态分解
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-3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型
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-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现
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-5. 实现问题、最小实现（二）：多变量系统的能控实现、能观实现
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-6. 实现问题、最小实现（三）：最小实现问题
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-1.状态反馈和输出反馈
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-1.状态反馈和输出反馈--作业
-2. 反馈对能控性和能观测性的影响
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-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法
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-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法--作业
-4.极点配置算法(二)：极点配置举例
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-4.极点配置算法(二)：极点配置举例--作业
-5.极点配置算法（三）：极点配置算法
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-6. 状态空间中系统的镇定问题
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-1. 状态观测器的基本概念
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-1. 状态观测器的基本概念--作业
-2. 全维观测器的设计
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-2. 全维观测器的设计--作业
-3. 降维观测器
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-3. 降维观测器--作业
-4. 重构状态反馈控制系统
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-4. 重构状态反馈控制系统--作业
-5. 扰动量的观测
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-5. 扰动量的观测--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 对外扰的完全不变性
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-2. 对外扰的完全不变性--作业
-3. 输出对外扰的静态不变性
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-3. 输出对外扰的静态不变性--作业
-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制--作业
-1. 带观测器的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制--作业
-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 李雅普诺夫方法
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-2. 李雅普诺夫方法--作业
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-3. 构造李雅普诺夫函数的方法--作业
-1. 线性定常系统的稳定性
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-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性--作业
