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我们现在就来看一下
传递函数矩阵对于多输入多输出的
这样的更一般的情况
如何构造状态空间表达式
那我们的基本思路是
把我们在单变量的时候
做的这个能控标准型
这样一种系数的对应的方法
能够推广到多输入多输出
好 我们具体来看一下
这里我们假定
给定这个多变量系统的传递函数矩阵
G(s)是这样一个基本的形式
我们对它还是做了一点
这个结构上的一个分解
我们对这样的一个G(s)
首先我们把它的
这是一个有理分式矩阵
我们把它的每个圆进行进行通分
然后把这个分母的
这个最小公倍式提取出来叫Φ(s)
然后把分子所按照s的幂次进行聚合
然后整理出来这样一个R1 s l-1
一直加到这个Rl的形式
那么这里边这些R的矩阵都是常数矩阵
然后整个这个S的幂次决定我们通分以后
当然这里边有个前提
我们就是要约定就是我们这个G(s)
本身每个元都是一个真分式
就是说它不能够有超过
就说有大于分子这个系数的
就是不能大于分子的这个系数的阶次
这个时候我们才能构造
这个状态空间表达式
这个其实就是要求我们G(s)
首先是可实现的这个条件
在这我要说明一下
我们能够把它展成这种形式
就默认的是能够
就说每个元的这个都是一个真分式的前提
是满足的
那我们下边就来考虑
写成这样一种形式以后
如何为这个G(s)构造
或者说给它去找到一组的系数矩阵
使得这组系数矩阵
所对应的状态空间表达式
这个ABC
那么能够恰好相应的
相对应的这个传递函数矩阵
就是这个G(s)
那我们把它写成这个形式
其实也是在一定程度上
为我们做单变量能控标准形做一个推广
提前做个准备
因为我们讲到了
大家回顾一下单变量的能控标准型的话
我们实际上构造了A矩阵里边的系数
都是分母多项式的这个系数
我们在这就直接把这个G(s)
这个有理分式矩阵
因为它有很多的不同的分母
那么难于处理
我们现在就对它进行通分以后
得到统一的一个分母
然后分子当然是要推广
就是由s的幂次
乘上若干个常数矩阵构成的
好 那我们下边就来看
这是进行通分以后的最小公分母
然后我们说我们要用这样的一个方法
去做实现的时候
我们其实可以比较直接的把我们原来的
能控标准型推广到一种
分块的能控性的实现
这个能控性实现
它的具体形式是这样的
我们的A矩阵是一个分块的矩阵
这个分块的矩阵
它是由这个r块构成的
然后这个每一块
每一个行的这个块里边
我们看到前r-1个大块
它在这个里边也是第一个
第一列的时候全是零块
然后在它的这部分是一个
是一个l-1这么多个
对角的单位的分块矩阵组成
我们整个A是由l个分块
由l个分块
这l个分块分别
是有一系列的小的单位阵
前头乘上一些常数构成
而这些常数恰好是
我们的分母的就是这个Φ(s)
公分母的前边的系数构成的
这是A矩阵的构造
B是一个001的形式
但这个1是一个单位阵
然后也是这个l块
然后这个l
当然就是我们这个分母的阶次
就是说对应于我们的单变量的时候
这个l其实是我们的那个n
然后我们的C是一个
一般形式的一个分块矩阵
也是由l块构成
这个l块恰好对应的
是我们对这个G(s)
做系数展开的时候
它的分子部分
这些系数的矩阵构成的
这样的话我们可以很明显的看出来
如果这个R它就等于1的话
实际上我们在这考虑的情况
恰恰就对应于我们的单变量情况
下边我们就通过分析来验证一下
我们如此构造出来的
能控性的一个分块矩阵的实现
它一定对应的传递函数矩阵就是G(s)
为了证明实现的这个关系
我们就来计算一下
CSi减A的逆的乘以B
我们首先来计算这个Si减A的逆
乘以B这部分
这部分我们实际上
是要看输入和X之间的传递关系
那我们把这个计算的结果
给它剖分成了V1
一直到Vl这么多个分块
每一个都是一个r乘r的一个方阵
我们从这个里边
我们需要去确定这些V到底都是什么
那我们分别相当于
对两边所乘的这个Si减A就得到这样一个
需要满足的关系
那么我们把这个S代进去以后
得到这样一个基本的形式
然后我们再带入到
这个A矩阵这个分块
给它代到这个A
这个等式里面去
我们看这个V
到底应该怎么来确定它每一块
这个东西整个乘以V的分块
加上B这个001的形式
我们进而去确定了一组
联立的矩阵的方程
我们看到V2应该等于s乘以V1
然后V3等于s乘以V2
也是s平方乘以V1
由此递推下来
就是Vl等于s的l减1次方乘以V1
那我们这个sVl这一项整个底下
我们把它最底下那一行给乘出来
a 最底下那一行乘出来
就是得到这样一个式子
两边移项以后我们整理出来
就是V1乘上这个
实际上是我们的Φ(s)
然后它就是说
乘上V1就得到这样一个表达式
我们V1满足这个式子
那我们就知道什么呢
就是我们的实际上V1(s)
就是Φ(s)分之一乘以单位阵
我们把这个V1再乘上不同的幂次
就可以确定其他的这些Vi了
就得到这样一个关系
进而我们再去按照这个C再乘上来
就是这一些分块
给它乘到V上面去
那我们的V刚才已经求出来
是这样一个Φ(s)分之一的形式
所以我们可以乘不同的V的时候
把s的幂次分别分配
到我们的这个r的前边
然后公共的可以提出来一个Φ分之一
这样的话正好就等于我们这个G(s)
这样我们就验证了就是通过刚才比照
我们能控标准型的形式
然后推广到多变量的时候
我们就得到了一个多变量的传递函数矩阵
如何给它构造一个
能控性的状态空间实现
这个里边的能控性
是我们由于分块结构决定
我们也可以验证的是这个Qk
就是我们这样构造的一个实现
它的这个B AB一直到A的n-1
这里边是l-1次
那我们分块乘开以后得到了
这样一个矩阵它的秩
一定是满秩的
我们通过这种方式
用一个构造性的方法
可以按程序得到一个给定的多变量的系统
它的状态空间实现
我们也可以同样一个传递函数矩阵
给出来一个对偶的能观性的实现
这里边就不再给它详细的证明了
那我们这儿有个具体的例子
就是给定一个2乘2的
也就是双输入双输出的
这样一个有理分式矩阵
我们希望能够得到
它能控实现和能观实现
那我们首先是对它进行通分
这样我们经过通分以后
得到这个公分母在这儿Φ(s)
然后剩下的是一个多项式矩阵
我们再把多项式矩阵
按照s的幂次进行系数合并同类项
整理出来是这是不同的R
我们得到这个R1
就是这个s平方前头的系数
R2是中间的系数
然后常数项是R3
我们这样的话
就是也可以进一步的根据Φ(s)
确定我们的分母这个多项式的各个系数
分别是-1 0 0
按照这个能控性实现
我们代入模板
那么就是说这个A是一个6乘6的矩阵
这个6乘6实际上是三个分块
每个分块是2
这个2是R
R就是我们的系统的输入的维数
然后这里边这个
在这个部分是一个3减1等于2的
这个2乘2的一个分块矩阵
然后底下是3个分母的系数矩阵
分别乘以单位阵
我们看到它的0 0 1的形式
和这个0 0 -1的形式
然后B是一个001
这个1要扩张成为一个2乘2的单位阵
那么C就是这三个系数矩阵代入
能观性我们是一个对偶的实现
就是这样一个具体的形式
好 我们在这儿给大家利用
就是说能控标准型实现这个思路
然后加以拓展
推广到这个多变量的情况
我们构造了一个给定的传递函数矩阵
所对应的状态空间实现
那么这样一个状态空间实现
我们根据它这个结构性质
也可以保证对于能控性实现来说
它是一定能控
如果是对偶的
就是它的能观性实现我们也可以验证
它是一定是能观的
-1. 状态、状态空间、状态空间描述
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-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
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-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
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-4.极点配置算法(二)：极点配置举例
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-1. 基本概念
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-2. 对外扰的完全不变性
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-3. 输出对外扰的静态不变性
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-1. 基本概念
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-2. 李雅普诺夫方法
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-2. 李雅普诺夫方法--作业
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-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性--作业
