当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第2周：控制系统的状态空间表达式（2） > 2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解 > 视频
我们再来给大家介绍
第二种用模拟框图建立
状态空间表达式的方法
那么我们前边给大家介绍过串并联分解
下边这个方法称为部分分式分解的方法
它的基本思路是根据
对我们的传递函数进行一个整体的
作为有理分式的话
对它分解出一些基本的组成元素
那么也是尽量的构成惯性环节
或者惯性环节这种类似的形式的
这样的小的单元
那么总体上是作为一个并联的分解
这样的一个思路
那么我们对于一个给定的传递函数来说
它的通常的表达式是这样一个表达式
我们都知道
底下是一个分母多项式
是一个n阶的
那么分子如果对于一个实际的物理系统的话
它也是 最多是一个n阶的一个表达式
我们把它的系数分别设置出来
那么部分分式分解的方法呢
它的这个主要的特征是说要对我们的g(s)
它的分母做一个特征值的分解
也就是对底下分母多项式
求出相应的特征值来令它为0
那么我们把这些特征值拿出来
对整个系统比较复杂的总的系统
分解出来一些基本的结构
而这个分解的依据就是求特征值
所以在此我们说
分成两种情况来讨论
一种情况是传递函数
它的所有特征值两两互不相同
那么还有一些是说更复杂的情况
是说有一些特征值是重合的
我们把这两种情况给它分开讨论
先讨论相对简单的
就是所有特征值两两不同的情况
那我们两两不同的话
我们知道对于一个n阶的系统
一个n阶的特征多项式的话
它的根最多是n个互不相同的
那我们把它分别计做λ1到λn
如果互不相同的话就可以把g(s)
写成为由n个互不相同的惯性环节构成的
这样的一个加和的形式
然后外边最多再加上一个常数
我们就是 这些系数
就是这些α1到αn
就是惯性环节的这些增益
我们是可以通过这样的一个方式给它求出来
也就是我们用s减λi
这个λi是每个惯性环节
相对应的特征值
然后乘到g(s)上边去以后
让s趋向于λi
这样的话我们通过这种方法
就可以又重构出来
整个这个y(s)可以写成
若干个一阶惯性环节乘以u
加上δ乘以u这种形式
那么做这样一个分解
那么如果我们对它
模拟框图进行相应的分解以后的描绘的话
我们就可以看到
就是我们把整个g(s)
可以等价的转换成由n个
一阶惯性环节进行并联
再并联上一个常数δ
这样一个形式
那我们对每一个一阶惯性环节
大家都非常熟悉
我们如果学过串并联分解的方法的话
就知道它所对应的状态空间表达式
这个小的一阶惯性环节
实际上可以看作这样一个
带有反馈和增益的这个形式
那我们很容易验证就说
这是一种形式
那我们把这个增益换过来
换到输入端的时候
这两个从框图上是等价的
那么也都能够给出来
整个g(s)这个传递函数
这种形式的框图
我们把它称为是对角标准型的
那么对角标准型的这样的一个并联结构
那么对它来说建立状态空间表达式
就比较容易了
我们也是在每一个的
一阶惯性环节的输出端
分配一个相应的状态变量
我们就可以得到
由一个n阶的系统构成的
这样的一个状态空间表达式
那么特别明显的一个特征
就是说如果是这样来分解的话
那么我们的状态方程列写出来的时候
相应的状态矩阵
实际上是个对角型的
并且对角线上这些元素
正好是对应于我们分解出来
n个不同的特征值
而在输入端都是
我们可以选取一种方式就是全部
就是选为单位增益
那我们在输出端在合并的时候
就是把这些每一个
一阶惯性环节的增益
乘到x这个向量上面
然后再加上输入到输出的一个
直接的传递的这样的一个增益是δ
那么等价地我们也可以
如果是在输入端把增益
布置到输入端去
那么就在输入向量
反映的是每一个一阶惯性环节的增益
而在输出端
我们直接进行求和就可以了
就这两种形式我们看到
都是可以满足我们的传递函数的
那么在这我们也可以看到一个
很重要的一个特点
就是说即使是我们对于同一个传递函数
我们前面曾经提到过
它所对应的状态空间表达式可能也不同
在这我们就看到一个例子
实际上我们这两种状态空间表达式
对应的是同一个传递函数
而且都是正确的状态空间表达式
前面我们提到了
就是对于单根的情况
所有特征值互不相同
我们有两种互为对偶的
这个状态空间表达式的方法
那么它们都属于我们称之为
对角线标准型或者解耦标准型
也就是变量之间不存在耦合关系
广义地说又属于更一般的
要介绍的约当标准型
下边我们就来考虑
比单根情况更复杂的
也就是特征方程式
特征根它有重根的情况
这个时候我们也可以进行部分分式展开
但是展开的形式会更复杂一些
在这我们考虑一种特殊情况
也就是有一个是三重根
其他是互相不同的根的这种情况
它的这个形式
就是我们这给出来的g(s)的形式
它是由s-λ1 (s-λ1)的平方
(s-λ1)的三次方
再加上一些一阶惯性环节构成的
那么这些部分分式分解的时候
有重根的话这些系数
就是我们分解出重根的
三个相关的有理分式的
部分的话
它的这些系数怎么来确定呢
那么确定的这个过程
要比前边要稍微复杂一些
首先是一阶惯性环节
对应于重根的这样的一个系数
这个α11它是由s减λ1的三次方乘以g(s)
然后让s趋向于λ1
这样确定出来的
那么它的这个二阶的
这个s减λ的平方的
这个有理分式的系数
α12是由s减λ1的三次方乘上g(s)以后
也就是s减λ1
这个根的重数这么多幂次多项式
乘上g(s)以后
对它来求一阶的导数
然后再让这个s趋向于λ1
所得到的这个数值 这个极限
那么α13
也就是这个s减λ1三次方分之α13
这个系数是怎么确定的
是由2的阶乘分之一乘上
那么s减λ1的三次方
乘以g(s)
对s求两阶导数
再这个s趋向于λ1的这个极限
那么其他的单重根还是前面一样的
都是用s减λi乘上g(s)
让s趋向于λi所得到的数值
那么经过这样一个分解以后
我们得到了一个模拟框图
就是更简化的模拟框图
那么这里边我们看到了
对重根部分处理是跟前边不同的
那么重根部分
我们是用积分器进行串联
就是完全相同的三个
一阶惯性环节
都是s减λ1分之一
那么不同之处
就是它们三重根的话
是三个这样的一阶惯性环节相串联
然后把它的这个自己的增益
通过这样的一种形式进行组合然后进行叠加
然后和其他的一阶惯性环节的增益
进行总的求和
得到整个系统的这个大的输出
这种形式的模拟框图
我们把它称为是对应于
g(s)的一个约当标准型的
这样一个部分分式分解
那么我们对所有的一阶惯性环节设置
在框图上设置状态变量的话
就可以得到整个这个系统的
相应的状态空间表达式
就是在我们这个地方所给出的
那么这里边呢像x4一直到xn
实际上跟前边单根的情况是类似的
但是不同之处呢
就是我们的x1 x2 x3
这三个状态变量
它们之间是相互耦合在一起
因为存在着串联的关系
所以对应的这个状态方程就有所不同
x1的导数等于λ1x1加上x2
那么x2的导数是λ1x2加上x3
x3的导数是λ1x3加上u
那么这也是根据信号的关系所得出的
那我们最后整个这个输出
它是依赖于所有的x1到xn的
线性组合再加上δu的
那我们如果写成矩阵向量的形式
我们的状态空间表达式
就是具有一个系统矩阵
那么它是一个分块对角的矩阵
特别是在三乘三的分块上边
出现了这样一个约当块
那么它的主对角线是我们这个重根λ1
它的阶次恰好对应于根的重数
其他的仍然是个对角线的形式
然后在输入向量的部分
不是全是1了
因为并不是每一个状态变量
它都直接连到输出端和输入端
而是通过第一个惯性环节连进来
然后依次是串联的
那么这种形式的状态空间表达式
我们把它称为约当标准型的形式
这个约当标准型它主要是对应于A矩阵
也就是我们的状态矩阵
它的这个形式
它是满足于一个约当标准型的形式
那么在这个里边
我们刚才提到约当块了
它是在主对角线上是我们的重根
其他的地方全是0
那么我们一个系统
如果有n个多重根的话
就有n个约当块
对于一个系统如果它比如说吧
具有一个三重根λ1
有一个两重根λ2
还有单根的话λ3
然后单根是λ3和λ4
它所对应的这个状态矩阵
就是具有两个高阶的约当块
然后其他是单根在对角线上
这样的一个形式
那我们在这看一个具体的例子
如果我们给定的这个传递函数
是一个三阶系统
那么它我们经过部分分式分解以后
会发现得出来的结果是这样一个
三个互不相同的根
那我们按照前边的对角标准型
可以构造出来它的
这样的一个对角型的框图
然后我们看到三个一阶惯性环节
其中有一个还是特殊情况是一个积分器
那我们很容易列写出来
相应的状态方程和输出方程
写成这个
矩阵向量形式我们会发现
这个A是具有对角型的
然后这个对角线上
分别是λ1 λ2 λ3
那么对应于三个特征值一个是0
也就是对应这个积分器
然后是s3+3
所对应的特征值是-3
然后s+4对应的是-4
那我们刚才是通过给大家介绍
对一个比较复杂的传递函数
直接进行部分分式分解
按照特征值对它进行聚类
然后对于有重根的情况
我们需要引入约当块
如果对于单根的情况
我们就是若干个
并联的一阶惯性环节
构成的这样一个解耦的标准型
那么这也是我们把一个
比较复杂的框图
给它转换成状态空间模型的一种方法
-1. 状态、状态空间、状态空间描述
--视频
-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵
--视频
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵
--视频
-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
--视频
-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）--作业
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
--视频
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）--作业
-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
--视频
-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解--作业
-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
--视频
-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解--作业
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈
--视频
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈--作业
-4. 系统的等价变换及其应用（一）
--视频
-4. 系统的等价变换及其应用（一）--作业
-5. 系统的等价变换及其应用（二）
--视频
-5. 系统的等价变换及其应用（二）--作业
-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程
--视频
-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程--作业
-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程
--视频
-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程--作业
-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义
--视频
-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义--作业
-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质
--视频
-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质--作业
-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法
--视频
-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法--作业
-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性
--Video
-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性--作业
-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念
--Video
-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念--作业
-3. 能控性与能观测性的定义（三）：能观性概念
--Video
-3. 能控性与能观测性的定义（三）：能观性概念--作业
-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）
--Video
-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）--作业
-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）
--Video
-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）--作业
-3. 能控性与能观测性的判据（三）：状态能观判据形式之一（模态判据）
--Video
-3. 能控性与能观测性的判据（三）：状态能观判据形式之一（模态判据）--作业
-4. 能控性与能观测性的判据（四）：状态能观判据形式之二（代数判据）
--Video
-4. 能控性与能观测性的判据（四）：状态能观判据形式之二（代数判据）--作业
-5. 对偶性原理
--Video
-5. 对偶性原理--作业
-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解
--Video
-1. 定常系统的状态空间结构（一）：能控状态分解--作业
-2. 定常系统的状态空间结构（二）：能观状态分解
--Video
-2. 定常系统的状态空间结构（二）：能观状态分解--作业
-3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型
--Video
-3. 能控标准型和能观标准型：能控标准型和能观标准型--作业
-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现
--Video
-4. 实现问题、最小实现（一）：单变量系统的能控实现、能观实现--作业
-5. 实现问题、最小实现（二）：多变量系统的能控实现、能观实现
--Video
-5. 实现问题、最小实现（二）：多变量系统的能控实现、能观实现--作业
-6. 实现问题、最小实现（三）：最小实现问题
--Video
-6. 实现问题、最小实现（三）：最小实现问题--作业
-1.状态反馈和输出反馈
--视频
-1.状态反馈和输出反馈--作业
-2. 反馈对能控性和能观测性的影响
--视频
-2. 反馈对能控性和能观测性的影响--作业
-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法
--视频
-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法--作业
-4.极点配置算法(二)：极点配置举例
--视频
-4.极点配置算法(二)：极点配置举例--作业
-5.极点配置算法（三）：极点配置算法
--视频
-5.极点配置算法（三）：极点配置算法--作业
-6. 状态空间中系统的镇定问题
--视频
-6. 状态空间中系统的镇定问题--作业
-1. 状态观测器的基本概念
--视频
-1. 状态观测器的基本概念--作业
-2. 全维观测器的设计
--视频
-2. 全维观测器的设计--作业
-3. 降维观测器
--视频
-3. 降维观测器--作业
-4. 重构状态反馈控制系统
--视频
-4. 重构状态反馈控制系统--作业
-5. 扰动量的观测
--视频
-5. 扰动量的观测--作业
-1. 基本概念
--视频
-1. 基本概念--作业
-2. 对外扰的完全不变性
--视频
-2. 对外扰的完全不变性--作业
-3. 输出对外扰的静态不变性
--视频
-3. 输出对外扰的静态不变性--作业
-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
--视频
-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制--作业
-1. 带观测器的抗外扰控制
--视频
-1. 带观测器的抗外扰控制--作业
-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
--视频
-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
--视频
-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-1. 基本概念
--视频
-1. 基本概念--作业
-2. 李雅普诺夫方法
--视频
-2. 李雅普诺夫方法--作业
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
--视频
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法--作业
-1. 线性定常系统的稳定性
--视频
-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
--视频
-2. 离散系统的稳定性--作业
