当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第10周：抗外扰控制（2） > 3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制 > 视频
同学们好
我们来学习第六单元第七节
也就是这个单元的最后一节
上一节课我们考虑了
常值扰动下抗外扰控制器的设计问题
这一节我们来考虑一般的外扰的情况
第七节一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
这一节也分成两个小节
第一小节鲁棒抗外扰控制器的构成
第二小节鲁棒抗外扰控制器的存在条件
好 我们先来看一下控制器的构成
受控系统是如(7-1)这样的描述
这个系统描述已经用过多次了
我们考虑鲁棒靠外扰控制器(7-2)式
这样一个形式
这里Ac Bc是动态补偿器的部分
好 那么我们来分析一下
动态补偿器应该怎么构成
对受控系统的状态方程进行拉斯变换
并且假设初始条件等于0
那么会得到这样
这里的话把u代进来了
它是状态和动态补偿器的状态
它们的线性组合这种形式
好 把这里面x相关的部分都放到左边去
得到这样的系统
这样的形式
好 那么把这个矩阵的逆
逆过去 乘过去
这样就得到这个表达式
那么两边乘上c
cx就是这样的
乘上一个A减BFx的预解矩阵
再乘上这个括号
好 我们编一个符号
这个G1等于C乘上这么一个预解矩阵
好 这是一个传递函数矩阵了
我们令它为这种形式
这个ψ(s)是这个A减BFx的
它的特征多项式
好 这个是一个这个x的多项式矩阵
好 这样的话呢Cx就可以表达成G1(s)
乘上这么一个括号这里面的内容
好 我们还引入一个新符号GC(s)
它等于Ac的预解矩阵乘上Bc
其实就是输出e到q的传递函数矩阵
也就这个q会等于Gc(s)乘上e
好 那么我们看一下这个结构框图
我们看一下这个时候得到的
闭环系统的框图是这样的
好 这是刚才定义的G1部分
好 动态补偿器在这
在输出反馈的通道里面
好 那么下面我们来看看
这个补偿器 Gc它应该是怎么来设计
我们来做一下分析
好 外模型我们是w点等于Mw
拉斯变换之后等于M的预解矩阵
乘上这么一个初始状态
好 我们令M矩阵的预解矩阵
可以表达成这种形式
那么φ(s)是M的特征多项式
或者是最小多项式
这个P(s)是一个多项式矩阵
好 也就是说这个外模型的内模
是φ(s)分之一 这样一个东西
好 根据内模原理
我们在反馈通道里面
把这个外模型的内模给它嵌入进去
所以我们可以令Gc(s)等于φ(s)之Q(s)
Q呢 Q(s)的话是一个多项式矩阵
好 这些我们后面再确定
好 这里就是说我们把动态补偿器的
这个动态部分给确定了
它是等于外模型的内模的
好 我们来做一下分析
这样构成的系统的特性会如何
我们先定义一个符号
G2(s)它等于这么一个矩阵的逆
好 这里面G1和Gc刚才我们给了个定义
表达式是这样子的
这是G1
这是Gc
代进来了
好 把这个分母部分的多项式
提到这个逆的外头去 提出去
那么就成这样了
变成这样子的
好 这些都是多项式
这个括号里面的话是矩阵
这是多项式乘上单位阵
H 这个Q都是多项式矩阵
所以中括号里面是多项式矩阵
所以这个是多项式矩阵的逆
我们把这个逆给一个符号来表示它
因为多项式矩阵的逆的话
它是等于有理矩阵了对吧
所以写成一个多项式
γ(s)是个多项式
那么T(s)是多项式矩阵
给这么一个符号
那么把这个符号代进去的话呢
这个G2(s)就写成这种形式了
这个ψ φ γ都是多项式
那么T是多项式矩阵
好 有了这个符号之后
我们这个输出的拉斯变换
就可以写成这种形式
这个G2(s)乘上这个括号
里面是D加上G1乘上N然后再乘上这个w
好 我们再把这个G的表达式代进来
然后再把G2的表达式也代过来
代过来之后
那么我们可以看到是这样一个表达式了
得到这样一个表达式
好 那么大家可以看到这块是把w(s)的
拉斯变换代进来了变成这种形式
好 注意这里面的话呢
G1(s)里面有个分母多项式是ψ(s)
这个ψ(s)的话把它提溜着
把它提到这个中括号外面去了
提到外面去之后跟这里面约掉了
约到外头去了
这里有一个 分母里面有一个ψ(s)
所以这里面就只剩下φ(s)了
好 这样的话我们看到
这里有一个φ(s)
这有一个φ(s)
也就是说由内模产生的零点多项式
由于我们加入了内模
在反馈通道里面加入了内模
从w到e的传递函数矩阵里面
出现了零点多项式是这个φ(s)
这个零点多项式
正好和外模型的极点多项式
正好抵消掉了
正好约掉了对吧 约掉了
这样的话我们从w(0)到输出e
这个传递函数矩阵就变成这种形式
除了这个分母地方
有个γ(s)多项式之外
其他的都是多项式
或者是多项式矩阵
好 从这个表达式我们可以知道
如果闭环系统是渐近稳定的
那么这个γ(s)的所有的根
都是实部为严格小于0的都是严格负的
这个时候我们可以看到
这个由外扰产生的输出
它会渐近的收敛于0
由于这个分母里面只有γ(s)
它又是稳定的
得到这样一个结论
好 我们整理一下
定理(7-1)
如果在外扰到输出的反馈通道中
对每一个输出分量都串入外扰的内模
只要闭环系统是渐近稳定的
那么闭环系统的输出是稳态无差的
也就是说我们通过加入内模
保证了系统的无差性
只要闭环系统是渐近稳定的
这样的话我们又归结为
使得闭环系统稳定的控制器是否存在
好 我们来学习第二个小节
鲁棒抗外扰控制器存在的条件
好 我们回到系统描述来 系统描述上来
这个(7-1)是受控系统
那么(7-2)是鲁棒抗外扰控制器
这里的Ac是动态补偿器
刚才我们给出了它的设计的基本要求
就是要满足内模原理
好 我们先来考虑Ac Bc的具体实现
那么外模型M矩阵的预解矩阵
我们刚才是写成了这种形式
φ(s)分之P(s)
这个符号刚才我们定义过
好 这里我们具体定义这个φ(s)是
假设它是R阶的一个多项式
好 这样一个多项式
那么根据刚才的定理(7-1)
我们在输出反馈通道里面
所有的通道里面
每一个输出分量后面
都串入一个外扰的内模φ(s)分之一
给它串进去
好 这样的话
我们来考虑内模φ(s)分之一它的实现
我们采用单输入可控规范型(R s)的实现
也就是说我们考虑这样
(7-3)这样一个某一个通道的
第I个通道的一个内模的实现
好 其中这个R是这样的结构
上面这一块是个单位阵
底下是外模型的φ(s)
它的多项式的那些系数放这来了
好 S的话是0 0 1了
这是一个可控规范型
那么这样对应的这个R的特征多项式
其实就是它了 就是它
好 我们考虑这么一个实现
所有的通道 第I个通道
所有的通道都是同样的(R S)这样一个实现
好 这样的话
我们Ac Bc的实现就有了
它的构造就有了
因为φ(s)是给定的
所以这些(R S)都是给定的
Ac 是对角块矩阵 对角线上全是R矩阵
Bc也是对角块矩阵
这个S在这 这种形式
好 这样的话我们的动态补偿器
它的实现就我们就考虑这种实现
那么现在我们回到闭环系统的描述上头来
闭环系统可以看成是这样增广系统的一个
这样一个增广系统的描述
这个x q其实就是闭环系统的状态
包括受控系统的状态和动态补偿器的状态
这是增广系统的A矩阵
这是增广系统的B矩阵
我们要对增广系统来构成全状态反馈
使得闭环系统是渐近稳定的
好 这个增广系统如果是完全可控的话
那么我们就可以
任意配置这个闭环系统极点
当然就可以使得这个闭环系统是渐近稳定的
好 根据模态判据
增广系统完全可控的充要条件是
那么是这样一个增广系统的A矩阵
减掉λ乘上单位阵
变成这样的
这前面这个
这个四个矩阵合起来是增广系统的A矩阵
减掉λ乘上单位阵
然后后面这个B 0是增广系统的B矩阵
那么增广系统要完全可控的话
是这个矩阵
它是行满秩的
那么它的行满秩我们只要检验增广系统的
A矩阵的特征值就可以了
好 增广系统的特征值
我们可以看到它有个特点
是下三角分块矩阵
所以增广系统的A矩阵的特征值
是由A的特征值和Ac的特征值组成
好 这样我们可以看到
只要对矩阵A和Ac的所有的特征值来检验
这个矩阵的它的行满秩的条件
它的秩等于N加上MR这样一个条件
好 我们开始来做分析
对于属于A的但不属于Ac的特征值
这样的λ的话
刚才的行满秩的条件
不难看出就等价于原来的系统
A B是完全可控的
好 这个条件我们先记住
好 对于Ac的特征值的话
我们下面来做分析
好 Ac减掉λ单位阵的话是等于这个的
因为Ac是对角块矩阵
对角源是R
是这种形式
好 Bc的话也是对角块矩阵
乘上C它可以写成这种形式
这里的C1转秩是C的第一行
CM的转秩是C的最后一行
乘起来是这种形式
记住 这个λ是Ac的特征值
当然就是R的特征值
好 我们下面来做进一步分析
我们看一下刚才其中的一块
也就是说刚才Ac减掉λI里面的其中的
对角块上的其中一块可以写成R减掉λI
好 当然这个单位阵的维数
跟刚才的单位阵维数不一样
好 这样的话呢负λ就写在对角源上头了
是这样的
好 我们记得这个S 这个矩阵是0 0 0 1
就是最后一个源是1其他都是0
所以乘上第I行
C的第I行的话就成这样子的了
对吧 这就一行 上面全是0
这一个0的话其实是个矩阵 全是0
好 刚才我们说过了
这个λ是Ac的特征值也是R的特征值
所以R减掉λI是一个奇异矩阵
好 我们注意到这个上面
这个矩阵里面包含有一个
这个下三角矩阵对角源都是1
说明上面这块矩阵是非奇异的
因此上面这些行
包含有这些1的这些行一共是R减1行
这些行是线性独立的
而这个矩阵又是奇异矩阵
这就意味着最后一行
和前面的行是线性相关的
好 利用这个特性
我们来对这个矩阵做行变换
我们可以把最后一行
给它变换成0
好 也就是说R减掉λI
这个矩阵经过行变换之后
可以变成这种形式
下面这种形式
最后一行全是0
好 这样的行变换
我们同时作用于这个S
乘上Ci转秩这个矩阵
由于它上面这个这些行全是0
所以这个行变换对这个矩阵其实没有影响
最后一行还是C的第I行
好 这个结论
好 我们把这些分析结论放到刚才我们的
要判断的行满秩的那个那个模态判据的
那个矩阵里面去
好 模态判据里面的矩阵是这样的了
好 那么上面的这个
A减λI和这一块我们照抄了
照抄了一下
然后把下面的写开了
给它写开
那么Ac减λI的话呢
其实就是底下这一些
这里面有好多块 是一个对角块矩阵
但是每一块我们经过行变换之后
经过行变换之后
就是对底下这些行做行变换之后
我们得到的是这样的
也就是说这里的R减掉λI
经过行变换之后最后一行是0
这里面还有很多块 一共
然后这里也是0
而这个BcC的话没有变化因为前面全是0
还是 最后一行是C的某一行其他都是0
行变换之后可以变成这样
好 这样的话
我们用一些颜色来涂了一些行
我们看一下这些行的特点
它都这里包含有一个对角块矩阵
那么并且这个是 都是1
那就说明这个颜色涂了的部分
这些行彼此之间是线性独立的
好 又注意这些上面全是0这上面全是0
而下面这些没有涂着的地方也都是0
也就是说在中间这一块里头
除了 涂了颜色的部分其他都是0
这就意味着这些行不仅彼此是线性独立的
和这些也是线性独立的
并且和这些没有涂着这些行
也是线性独立的
好 那这些行的话呢在整个矩阵里面
它是线性独立的行
这样我们在分析整个矩阵的
行满秩特性的时候
我们可以先把这些矩阵拿出去
把它们有多少行先记住
好 我们知道它一共有M乘上R减M行
已经有这么多行是线性独立的了
好 剩下我们就来检查
这个剩余的部分
剩余部分是不是是线性独立的
如果是的话
好 我们的判断定理是成立的
也就是说这个矩阵是行满秩的
好 我们注意这个用蓝线框出来的部分
如果把这些带颜色的部分抽去
给它拿掉的话
剩下了里面是什么
剩下里面全是0 全是0
那么这样对剩下的行的线性独立性的判断
这些0没有贡献
没有 不要考虑它了
所以我们把这个蓝框框住的这部分全部拿掉
把这个灰色部分
线性独立的行也全部拿掉之后
整理一下剩下的部分
好 就得到这样了
好 这样的话从前面的分析
我们知道(7-6)式
也就是说模态判据那个矩阵是行满秩的
那么充要条件是对于Ac的特征值(7-8)式
这里面的矩阵是行满秩的
把那么0拿掉之后就变成这样了
好 到这里我们可以整理一下我们的结论
定理(7-2)
系统(7-1)存在鲁棒抗外扰控制器(7-2)
并且可以任意配置极点的充要条件是
(A B)完全可控
并且对于外扰模型M的
所有的特征值λ
那么(7-8)式成立
这个式子成立
也就是说它是行满秩的
好 我们这里也借用个名词
来说明一下这个条件的含义
这个条件其实是等价于系统(A B C 0)
在s等于λ处
在M的特征值处没有零点
不存在传输阻塞零点
好 这个概念是将来会学的
我们这里借来用一用
也就是说这个条件等价于
这个(A B C 0)这个系统在λ处没有零点
好 我们来看个例子
也是个二阶系统
受控系统A矩阵不稳定
这是受控系统的B矩阵
A B是可控的
这都是一眼能看出来东西
好 M矩阵是个对角块矩阵是这样的
这是M矩阵
D矩阵
C矩阵
好 那么我们先来看一下内模
那么外扰模型M的特征值
和特征多项式其实是相等的了
我们把它这个行列式算一下
这个φ(s)就是这样一种东西
可以看出来它的特征值在0 正负j
这三个特征值
好 这样我们就可以构成内模了
好 我们来分析一下
这个例子里面控制器是否存在
那么A B是完全可控的
并且这个
我们刚才说的所谓的无零点条件
就是这个矩阵它是不是行满秩的
把这个A B C代进来
我们可以看到这是1 0 0
那么这个矩阵
对任意的λ它都是行满秩的
所以结论是对M所有的特征值
rank的条件是成立的
因此存在任意配置极点的
鲁棒抗外扰控制器
好 这样我们就可以往下做设计
好 那么动态补偿器部分
也就是外模的实现
我们用可控规范型
这是外模型的 特征多项式的系数放在这了
那么这是0 1
这是没有什么好说
好 下面我们来看一下
控制律的增益矩阵的求解
我们要求Fx Fq
使得闭环系统是渐近稳定的
我们这里要求闭环极点配置在负1
负0.5 正负j 负2 正负j处
这是我们希望配置的极点的位置
好 这样的话我们期望的
闭环系统的特征多项式
是这样子的 这样的
好 这样的话我们假设
这些Fx Fq是这样的
因为是单输入系统
所以可以写成这样的
这是A1 A2 一直到A5
这五个参数要确定的
把它代到刚才的AL里面去
算出闭环特征多项式的表达式的话是这样的
根据我们刚才期望的闭环特征多项式
就可以唯一的确定这些系数A1到A5
这样的话就把控制器确定下来
这样就完成了控制器的设计
好 最后总结一下本小节的内容
好 本节我们对于这样
具有一般外扰的受控系统
采用内模原理设计了
鲁棒抗外扰控制器
如果这样的闭环系统是渐近稳定的话
我们证明它是输出静态无差的
那么我们还导出了闭环系统
可任意配置极点的充要条件
它是A B完全可控
并且对于外模型的M的所有的特征值
那么下面这个矩阵是行满秩的
好 最后我们也留一个思考题
在最后一个结论里面
如果我们不要求任意配置闭环极点
只要求闭环是渐近稳定的话
是不是只要把其中的条件
A B是完全可控的
改为A B是可镇定的就可以了
大家可以去试试
是不是这样改就可以
好 到这里我们第六单元就学习完了
再见
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