当前课程知识点：自动控制理论（2） > 第12周：李雅普诺夫稳定性（2） > 2. 离散系统的稳定性 > 视频
好 同学们好
我们来学习第七单元第五节
离散系统的稳定性
这也是这个单元的最后一节
这一节我们分成两个小节
第一小节非线性定常离散系统稳定性
第二小节考虑线性定常的情况
好 我们先来学习第一小节
非线性定常离散系统的稳定性
对于非线性定常离散时间系统(5-1)
x(k+1)等于f[x(k)]
离散系统的平衡状态是满足这个等式的
也就是说f(xe)等于xe
如果满足这个式子
那么就是一个平衡点
好 假设V[x(k)]是标量函数
它沿系统状态轨线的增量
这里就不是微分了 是增量
它由(5-2)式定义
也就是我们用ΔV[x(k)]表示
它等于V[x(k+1)]减掉V[x(k)]
那么这个V的增量这个函数
将起的作用是和V的
在连续时间系统里面的
V的微分是类似的
好 我们在第二节里面
学习了对于连续时间系统的
稳定性的分析的三个基本定理
我们对于离散系统也有相应的结论
这里我们介绍其中一个
[定理5-1]假设原点是系统
(5-1)的平衡点
如果V[x(k)]是正定的
ΔV[x(k)]是负定的
则原点是渐近稳定的
此外如果x(k)的2范数
趋近于无穷大时
V[x(k)]也趋近于无穷大
则原点是全局渐近稳定的
好 我们来看一个例子
二阶系统 非线性的
好 原点是它的一个平衡点
好 我们考虑这样一个二次型的
这个正定函数
这是一个正定矩阵
我们来计算V函数的增量
好 V[x(k+1)]
这都是(k+1)项减掉
这个中括号里面是Vx
把刚才的差分方程代进来
然后整理一下得到这样一个表达式
好 这个的话是 其实是不定的
但是如果x1充分小的话
在包含原点的这样一个区域内
x1的绝对值小于根号五分之一
x2可以是任意的实数
在这个区域内的话
这个V函数的增量是负定的
因此我们考虑的这个系统
在原点处是渐近稳定的
好 下面我们来考虑线性定常
离散系统的稳定性
考虑线性定常离散系统(5-3)式
这个G是一个常数矩阵
好 我们首先来证明这么一个结论
[定理5-2]线性定常离散系统(5-3)
是渐近稳定的充要条件是
G的特征值的模小于1
这是一个充要条件
好 下面我们来证明这个结论
首先我们假设非奇异矩阵T
是将G变换为约旦标准型
也就说对它做变换
那么可以把这个
T的逆乘上G再乘上T会等于J
这是约旦 这样一个对角块矩阵
这个对角块的元是约旦子块
所以这个G是约旦标准型
好 λi是这个矩阵G的特征值
我们令x(k)等于Tz(k)
其实是个坐标变换
状态空间的坐标变换
好 这样z(k)的话
是等于T的逆乘上x(k)
那么也等于T的逆G的x(k-1)
这用了一下差分方程
好 那么x(k-1)又等于
T乘上z的(k-1)
这用了一下变换
好 这样前面那个正好是J
就刚才的那个约旦标准型
好 我们用这个z(k)等于Jz(k-1)
反复地用它就可以
把这个k逐渐往下降
最后降成0
这个是J的k次幂了
好 在这个式子两端乘上T
这其实就成了x(k)了对吧
好 乘上一个T 里面
这里面乘了一个
加进去了一个T的逆和T
这其实是个单位阵
好 这样的话就变成了左边x(k)
后边的话T乘上z(0)
就是x(0)对吧
好 前面这一块我们用括号写出来
写成这样子的
好 下面我们来分析这个Jk次幂
它的表达式
好 J是对角块矩阵
所以它的k次幂是等于它的
对角块上的原的k次幂
这样的一个表达式
好 这上面全是0矩阵 底下也是0矩阵
我们简写了
好 其中对角块上
这个对角原上的约当块的k次幂
可以写成这样的表达式
这个表达式
这个C是一个组合运算的符号
组合运算符号
好 我们知道当且仅当
λi的模小于1的时候
这个Jk的所有的元有常数界
如果是 模是大于1的话
这个k发散掉了
就会随着k增大的话 会发散掉
就没有常数界了
如果模是小于1的话
不仅有常数界
而且随着k趋近于无穷大
那么Jk这个矩阵会趋近于0的
也就是说这里面的元都会趋近于0
好 大家要注意一下
这个组合运算其实是跟k有关的
但是这个是模是小于1的
这个收敛得快一些
会趋近于0的
好 这里省略了一些符号
省略了一些叙述
我们先看一下结论
因此可知当且仅当λi
G的所有的特征值的模都小于1的时候
系统(5-3)是渐近稳定的
好 这里我们省略了一些东西
就是说我们在这个Jk趋近于0
这个结论的基础上
我们还可以去证明
这个李雅普诺夫稳定性ε-δ的描述
那一块我们就忽略掉了
因为渐近稳定的前提是
李雅普诺夫稳定的
那么根据这个结论是可以证明的
这一块同学们课后把它补上
好 我们现在来看
关于线性定常离散系统(5-3)
渐近稳定的充要条件
第二个充要条件
它是说对任意给定的正定矩阵Q
存在正定矩阵P
满足离散李雅普诺夫方程(5-4)
G转置乘上P乘上G减掉P等于-Q
注意这和连续时间系统的
李雅普诺夫方程是不一样的
好 我们来证明这个结论
首先证明充分性
也就是说我们对任意给定的
正定矩阵Q
那么李雅普诺夫方程有正定解P
我们在这个条件下
我们来证明这个系统是渐近稳定的
好 P矩阵是正定的
我们构造这么一个二字型正定函数
来作为V函数
计算它的增量
V[x(k+1)]减掉V[x(k)]
好 这一块是P x(k+1)
那么用G乘上x(k)代替了
用了一下差分方程
这一块是直接抄过来了
好 那么离散李雅普诺夫方程成立
所以G转置P乘上G减掉P是等于-Q的
好 到这里我们利用前面的定理
其实已经知道这个系统是渐近稳定的了
因为这是一个负定的
就是说这个V函数的增量是负定的
好 如果我们不用前面定理的结论
我们可以继续往下证
好 这里我们放大一下
这个取了Q矩阵的最小特征值
放大一下
好 那么再放大了一下
那么这里是插进去了一个P矩阵
除了这个P矩阵的最大特征值
这个也是成立的
好 这样的话我们可以得到
由最后这个不等式我们可以得到
就是V[x(k+1)]
是小于等于ρV[x(k)]的
因为ΔV是等于
V[x(k+1)]减掉V[x(k)]的
我们把V[x(k)]移到上面那一个
这个不等式的
移到这边来了
也就是说把这个V[x(k)]
移到这个不等式的右边去了
做了一下整理
就得到这个式子
其中的ρ是1减两个特征值比
好 这里因为V[x(k+1)]是正定的
所以这个ρ一定是一个大于0的数
而后面这个是大于0的数
所以这个一定是小于1的
好 由上面这个式子我们就有
反复地做迭代就可以有
这个V[x(k+1)]是小于等于ρ的
k加1次幂乘上V[x(0)]的 等于这个
好 因为这个ρ是小于1的
所以当这个k趋近于无穷大的时候
那么这个V[x(k+1)]是趋近于0的了
也就是说x(k)会趋近于0
这就证明了这个渐近稳定性
也就是充分性的证明
好 下面我们来证明一下必要性
好 我们定义这么一个矩阵
它是由一个无穷
这个矩阵的无穷级数构成的
这是 P是一个给定的正定矩阵
这个G的i次幂
i是从0开始到无穷大的
好 如果这个系统(5-3)
是渐近稳定的话
那么状态矩阵G
它的特征值的模是小于1的
那么上面这个等式的
右端这个级数是收敛的
好 容易证明
当Q是正定矩阵的时候
那么P也是正定矩阵并且满足
我们看看这些式子
我们这个P代到这里面来
G转置乘上P
P就是这个级数的表达式
然后乘上G减掉P
好 代进来 代进来
这个是直接代了
这个两边还乘了G
那么我们给它乘到这个∑里面去
这样的话这里的i就不是从0开始
从1开始了
好 比较前后这两个求和
这里是从0开始
这是从1开始
所以这里多出来一项
i等于0的那一项
i等于0的那一项就是Q
所以多出一个-Q来了
这样我们把这个
一头一尾合起来
其实就是我们的李雅普诺夫方程
好 到这里我们就证明完了
好 那么Matlab里面也有一个求
离散李雅普诺夫方程的一个命令
就在连续李雅普诺夫方程的前面
那个命令的前面加了一个d
表示离散的意思
好 大家可以去试着用一下
好 我们下面有一个结论
和连续系统是相对应的
[定理5-4]
矩阵G的特所有的特征值的模小于σ
σ是大于0的
充要条件是对任意给定的正定矩阵Q
存在正定矩阵P
满足(5-5)这个矩阵方程
这个很类似于连续时间系统的
相应的一个结论
好 我们简单地证明它一下
令H是等于σ的逆乘上G的
则那么等式(5-5)就等价于这个表达式
就刚才的表达式里面
我们用H去代替σ逆G的话就得到这个式子
这个其实是关于H的一个
离散的李雅普诺夫方程
根据前面的定理我们知道
矩阵H的特征值的模小于1的
充要条件是对任意给定的正定矩阵Q
那么式(5-6)存在正定解P
好 那么我们就来分析这个H的特征值
H特征的多项式
那就是λi减掉H取行列式
好 H又等于σ逆乘上G
好 把这个σ逆给提出来
提出来就变成这样了
所以我们可以看到
如果λ是H的特征值的话
σλ就是G的特征值
就是它的特征值
那么当且仅当λ的这个绝对值
它的模小于1的时候
那么这个式子是成立的
也就是说G的特征值的模是小于σ的
这就是我们的结论
好 来看一个例子
G矩阵是这样一个二乘二的矩阵
来分析一下 分析它的稳定性
我们考虑这个正定矩阵Q是单位阵
代到离散的李雅普诺夫方程里面去
求解这个方程
得到P矩阵是正定的
可以算 很容易确认它是正定的
所以这个系统是渐近稳定的
令σ等于0.9
我们来求解这个矩阵方程
看看对于选定的正定矩阵Q等于单位阵
那么看看它有没有正定矩阵解P
结果把这个0.9代进去
G代进来之后
算出来 求解出来
这个P矩阵是这样子的
它确实是一个正定矩阵
所以可以知道G的特征值的模
是小于0.9的
好 总结一下本节的内容
对于非线性定常离散系统(5-1)
我们给出了这么一个稳定性的判定 定理
假设原点是系统(5-1)的平衡点
如果存在正定矩阵V
那么它的增量是负定的
则原点是渐近稳定的
如果这个x的2范数趋近于无穷大时
这个V函数
正定的V函数也趋近于无穷大
则原点是全局渐近稳定的
好 对于线性定常离散系统(5-3)
这样一个描述
G是常数矩阵
我们给出了两个渐近稳定的充要条件
一个是基于G矩阵的特征值的
如果G矩阵的所有的特征值的模都小于1
那么它是渐近稳定的
还有一个是基于李雅普诺夫方程的
那么对于任意给定的正定矩阵Q
存在正定矩阵P
满足如下(5-4)式
离散李雅普诺夫方程的话
那么这次课的内容就到这里
到这里第七单元我们也就学习完了
再见
-1. 状态、状态空间、状态空间描述
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-1. 状态、状态空间、状态空间描述--作业
-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵
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-2. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（一）：多输入多输出系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵
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-3. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（二）：组合系统的空间表达式及传递函数阵--作业
-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）
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-4. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（三）：系统的时域描述及状态空间表达式（一）--作业
-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）
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-5. 高阶微分方程、传递函数矩阵与状态方程的互相转换（四）：系统的时域描述及状态空间表达式（二）--作业
-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解
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-1. 由模拟结构图写出状态空间表达式（一）：基于串并联分解--作业
-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解
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-2. 由模拟结构图写出状态空间表达式（二）：基于部分分式分解--作业
-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈
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-3. 由模拟结构图写出状态空间表达式（三）：基于积分器串+常值反馈--作业
-4. 系统的等价变换及其应用（一）
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-4. 系统的等价变换及其应用（一）--作业
-5. 系统的等价变换及其应用（二）
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-5. 系统的等价变换及其应用（二）--作业
-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程
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-1. 线性连续定常系统状态方程的解（一）：齐次方程--作业
-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程
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-2. 线性连续定常系统状态方程的解（二）：非齐次方程--作业
-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义
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-3. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（一）：状态转移矩阵的定义--作业
-4. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（二）：状态转移矩阵的性质
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-5. 状态转移矩阵的定义、性质及算法（三）：状态转移矩阵的算法
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-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性
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-1. 能控性与能观测性的定义（一）：能控性与能观性--作业
-2. 能控性与能观测性的定义（二）：能控性概念
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-3. 能控性与能观测性的定义（三）：能观性概念
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-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）
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-1. 能控性与能观测性的判据（一）：状态能控判据形式之一（模态判据）--作业
-2. 能控性与能观测性的判据（二）：状态能控判据形式之二（代数判据）
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-1.状态反馈和输出反馈
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-2. 反馈对能控性和能观测性的影响
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-3. 极点配置算法（一）：极点配置算法
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-4.极点配置算法(二)：极点配置举例
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-5.极点配置算法（三）：极点配置算法
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-2. 全维观测器的设计
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-3. 降维观测器
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-5. 扰动量的观测
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-1. 基本概念
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-2. 对外扰的完全不变性
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-3. 输出对外扰的静态不变性
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-4. 状态和外扰可直接测量时的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制
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-1. 带观测器的抗外扰控制--作业
-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-2. 常值扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制
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-3. 一般扰动下的鲁棒抗外扰控制--作业
-1. 基本概念
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-1. 基本概念--作业
-2. 李雅普诺夫方法
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-2. 李雅普诺夫方法--作业
-3. 构造李雅普诺夫函数的方法
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-3. 构造李雅普诺夫函数的方法--作业
-1. 线性定常系统的稳定性
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-1. 线性定常系统的稳定性--作业
-2. 离散系统的稳定性
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-2. 离散系统的稳定性--作业
