第二讲 斐波拉契数列在线视频

同学们

大家好

我们今天《数学文化》的课堂

主要为大家介绍数学中有趣的数列

斐波拉契数列

首先我们做一个10秒钟加数的游戏

请集中注意力

用10秒钟计算这列数的和

准备好了吗

开始

时间到

你算出来的结果是多少

答案是231

我们再做一次10秒钟加数

不过比刚才要难一点

请更加集中注意力

准备好了吗

开始

时间到

你算出的结果是多少

答案是 6710

如果没有算出来也是正常现象

因为时间确实很短

计算这两列数的秘密武器与斐波那契数列有关

我们后面会揭晓

若一个数列前两项等于1

而从第三项起

每一项是其前两项之和

则称该数列为斐波那契数列

即

1，1 ，2， 3， 5， 8， 13 … 是有无穷个数的数列

这个数列是以意大利数学家斐波拉契名字命名

来源于兔子问题

兔子问题是1202年斐波那契的《算盘书》里提出的问题

假设一对初生兔子要一个月才到成熟期

而一对成熟兔子每月会生一对兔子

那么由一对初生兔子开始

12 个月后会有多少对兔子呢

这是一个理想情况

兔子不生病不死亡

每次都生一对兔子

为了表述清楚

我们把出生兔子叫小兔子

成熟兔子叫大兔子

第一个月有一对小兔子

第二个月小兔子长成大兔子了

还是一对兔子

第三个月大兔子生了一对小兔子

所以有两对兔子

第四个月小兔子长成大兔子

原来那对大兔子又生了一对小兔子

一共三对兔子

第五个月小兔子长大了

大兔子又生了两对小兔子

所以有5对兔子

接下去小兔子长成大兔子

大兔子又生了小兔子

所以第六个月有8对兔子

继续下去第七个月有13对兔子

为了节省时间我们把逐步接下来

各个月的兔子对数列成一张表

从表中可以看到到第12个月就有144对兔子

以上数列就是斐波那契数列

兔子问题还有另外一种提法

如果第一个月是一对大兔子

类似繁殖

到第十二个月时共有多少对兔子

按照刚才的做法

把每个月的大兔子个数和小兔子个数列出来

到十二月时大兔子有144对

小兔子89对

共有兔子144+89=233对

通过上面两列数字大家是否已经发现了一些规律

从第三项起

每一项都等于前两项的和

用递推公式来写出斐波那契数列

Fn表示第n个月大兔子的对数

前两项F1=F2=1

从第三项起

每一项都等于前两项的和

这是一个二阶递推公式

令n = 1，2，3… 依次写出数列

就是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…

这就是斐波那契数列

其中的任一个数

都叫斐波那契数

给大家下去思考下三阶递推公式怎么构造

接下来看一个游戏

跳格游戏

一个人站在梯子格的起点向上跳

从格外只能进入第1格

从格中每次可向上跳一格或两格

那么跳到第n格一共有多少种方法

假设跳到第n格的方法有tn种

跳入第1格只有一种方法

跳入第2格必须先跳入第1格

所以也只有一种方法

所以

t1=t2=1

而能一次跳入第n格的

只有第n-1格和第n-2两格

所以跳入第n格的方法数是跳入第n-1格的方法数tn-1

加上跳入第n-2格的方法数tn-2之和

即

tn=tn-1+tn-2

最后可以得出递推公式

很显然跳格数列tn也是斐波那契数列

可见

斐波拉契数列也是跳格游戏的一个数学描述

大家看这个分数

是一个分母上有无穷多个1的繁分数

我们通常称这样的分数为连分数

这里的连分数可以看作是x=1+x分之1中

把x的表达式反复代入等号右端得到的

例如

第一次代入得到的是

x等于

1加

1加x分之1分之1

反复迭代

就得到上述连分数

对照第一个式子可以算出

u1比上v1等于1比1

u2比上v2等于1比2

u3比上v3等于2比3

u4比上v4等于3比5

发现规律后换一种方法计算

将连分数的近似值按顺序排起来

这个数列分子即是斐波那契数列

分母是从第二项开始的斐波那契数列

是不是很有趣

其实

无论是在我们的生活中还是大自然中

都有许多斐波那契数列

像茉利花 百合花等许多花的花瓣数

树杈的数目

向日葵的种子

松子种子的排列的螺线数都是斐波那契数

甚至钢琴的黑白键也是一组斐波那契数

科学中也涉及了斐波那契数列

电路中加在电阻上的电压

从右至左恰是斐波那契数列

股票指数变化的规律服从斐波那契数列

回过头看本堂课开始做的10秒钟加数的游戏

是不是就很简单呢

首先找到它与斐波那契数列的关系

问题便迎刃而解了

我们今天的课就讲到这里

通过本节课的讲解

你是否对斐波拉契数列有一定的了解了呢