第十二讲 分形维数在线视频

同学们好

下面我继续为大家讲解走近分形与混沌

好 现在

我们来思考和探索上一次课留下的问题

那就是分数维到底是怎么回事呢

我们知道

在经典几何中

是用拓扑的方法来定义维数的

也就是说

空间的维数等于决定空间中

任何一点位置所需要变量的数目

比如

所谓我们生活在三维空间

那是因为我们需要三个数值

也就是经度 纬度和高度

来确定我们在空间的位置

对于一个二维空间

比如在地球这个球面上

则需要两个数值来确定一个物体的位置

当我们开车行驶在某一条高速公路上

汽车的位置只需要用一个数

那就是出口的序号数

就可以表示了

那么这是一维空间的例子

类似于上面定义的拓扑维数

那我们如何用分数维数

才能解释像皮亚诺图形

科赫雪花

分形龙这些奇怪的几何图形呢

维数概念的扩展

要归功于德国数学家豪斯多夫

豪斯多夫在1919年给出了维数新定义

为维数的非整数化提供了理论基础

好

那么我们应该如何定义和理解分数维呢

在分形几何中

我们将拓扑方法定义的维数

扩展成用与自相似性有关的

度量方法定义的维数

在上一讲中

我们不是已经介绍过花菜的结构

和分形龙的自相似性吗

其实

经典整数维的几何图形

诸如一条线段

一个长方形

一个立方体

也都具有这种自相似性

只不过

它们的自相似性太平凡而不起眼

被人忽略了而已

也就是说

线 面和体这些我们常见的整数维几何形状

也算是分形

那就像实数中包括了整数一样

扩展了的分形维数定义

当然也就包括了整数维在内

我们根据自相似性的粗浅定义

也就是一个图形的自身

可以看成是由许多与自己相似的

大小不一的部分组成的

我们来观察普通整数维图形的度量维数

比方说

如图我们下面这个图（2.1）所示

其中图（a）是一条线段

由两个与原线段线段相似

长度一半的线段接成的

图（b）一个长方形

可以被对称地剪成四个小长方形

每一个都与原长方形相似

也就是说

长方形自身

可以看成是由4个与自己相似的

大小为四分之一的部分组成的

图（c）一个立方体

那么它可以看成是由8个

大小为八分之一的小立方体组成的

好 那我们仍然用上面这个图（2.1）

我们用自相似性来定义维数

我们其实可以可以这么理解

那就是我们首先

将图形按照N∶1的比例缩小

然后

如果原来的图形可以由M个

缩小之后的图形拼成的话

这个图形的维数d

也叫豪斯多夫维数

他就应该等于ln(M)/ln(N)

我们不难看出

将上述方法用来分析直线 平面 空间

那我们就可以分别得到d=1 2 3

好 现在我们以同样的方法

来计算科赫曲线的维数

就像这个图所展示的这个过程

首先我们将科赫曲线的尺寸

缩小至原来的三分之一

然后

用4个这样的小科赫曲线

便能构成与原来一模一样的科赫曲线

因此

我们得到科赫曲线的维数d＝ln4/ln3

那么它大概约等于1.2618...

这就说明了

科赫曲线的维数不是一个整数

而是一个小数

或者说分数

好 那我们现在归纳一下前面的内容

我们知道分形有如下几个特征

第一个特征 就是分形它具有自相似性

具体的说

也就是分形自身

可以看成是由许多与自己相似的

大小不一的部分所组成

第二

分形具有无穷多的层次

无论在分形的哪一个层次

总能看到有更精细的

下一个层次存在

分形图形有无限细节

可以不断地放大

永远都有结构

第三个特征

分形的维数可以是一个分数

那么第四个特征

就是分形通常可以由一个简单的递归

迭代的方法产生出来

因为分形可以由一个简单的迭代法产生出来

计算机的发展为分形的研究提供了最佳环境

比如说

如果给定了不同的初始图形

不同的生成元

也即迭就是代方法

那么我们利用计算机进行多次变换

就能够很方便地产生出各种二维的分形来

那 大家可以看这个图（2.2）

好 那么现在我们再来看几张

生活中常见的事物

这两张是蕨类植物

那么下面这张是山脉

很像我们的分形

那么这个大家都熟知的闪电还有大树

由上面这些图片可以看出

这些分形存在于各种各样的大自然产物之中

云不只是球体

山不只是圆锥

海岸线不是圆形

树皮不是那么光滑

闪电传播的路径更不是直线

那它们是什么呢

其实 它们都是简单而又复杂的分形

实际上

相比于比较传统的欧几里得几何中

所描述的平滑的曲线

曲面而言

分形几何更能反映大自然中

存在的许多景象的复杂性

如果说

欧氏几何是用抽象的数学模型

对大自然作了一个最粗略的近似

而分形几何则对自然作了更精细的描述

分形是大自然的基本存在形式

无处不在

随处可见

那么这个时候

我们可能提出一个问题

我们看到科赫曲线

分形龙和计算机生产出来的分形

都是严格自相似的

那么为什么大自然的产物

看起来不那么严格自相似呢

这是因为

大自然在创造产物的时候

总会存在一些误差

偶然因素过多

大自然不是一台机器

好

好 那么这节课我们就讲到这里