第十六讲 奇异吸引子与蝴蝶效应在线视频

同学们好

我们这节课的主要内容

是介绍奇异吸引子与蝴蝶效应

那么先来回顾一下

上一节课介绍的经典吸引子图

与洛伦茨吸引子图

这么一幅蝴蝶般绚烂的模拟图

似乎应该是艺术家们的宠儿

这又是如何同神秘莫测的

混沌理论拉帮结伙的呢

事实上

只要我们把初始条件稍微修改一点点

我们立马就得到了完全不同的模拟结果

那同学们可以看下面这个动画演示

这里的横纵轴分别是x和z

很像两只蝴蝶的相伴相随

我们在之前提到

几个经典的吸引子

分别是0 1 2维的图形

那么洛伦茨吸引子是几维的呢

回顾前面几次课对分形的介绍

我们知道

不仅有整数维的几何图形

也有分数维的几何形状

吸引子实际上是一个具有无穷结构的分形

表现出混沌现象的系统的吸引子

也就是奇异吸引子

它实际上是一种分形

整数维数的吸引子

那么也就是正常吸引子

是光滑的周期运动解

而分数维数的吸引子

也就是奇异吸引子

则是相关于非线性系统的非光滑的混沌解

有数学家仔细研究了

洛伦茨吸引子的分形维数

得出的结果是2.06±0.01

那么也就是说

它有可能是2.07

也有可能是2.05

从奇异吸引子的形状及几何性质

我们看到了混沌和分形关联的一个方面

那就是分形其实是混沌的几何表述

奇异吸引子不同于正常吸引子的

另一个很重要特征是它对初始值的敏感性

那么上一次课中我们所说的

三种经典吸引子对初始值都是稳定的

也就是说

初始状态接近的轨迹始终接近

偏离不远

而奇异吸引子中

初始状态接近的轨迹之间的距离

却随着时间的增大而指数的增加

这就是为什么使得在数学上

造诣颇深的洛伦茨迷惑的原因

因为他发现

用他的数学模型进行计算的结果

大大地违背了经典吸引子应有的结论

因为给定初始值的微小差别

而使得结果完全不同

计算结果随着被计算的天气预报的时间

成指数地放大

在他所计算的两个月的预报之中

每隔四天的预报计算

差别就被放大一倍

因此

最后得到了显然不同的结果

由此

洛伦茨意识到

长时期的气象现象

是不可能被准确无误地预报的

因为

计算结果证明

初始条件的极微小变化

可能导致预报结果的巨大差别

而气象预报的初始条件

则由极不稳定的环球的大气流所决定

这个结论被他形象地称为蝴蝶效应

用来形容结果对初值的极其敏感

意思是说

只是因为巴西的一只蝴蝶抖动了一下翅膀

而改变了气象站所掌握的初始资料

三个月之后

就有可能引发美国德克萨斯州

出乎意料之外地刮起一阵未曾预报到的龙卷风

用我们中国人的术语来说

就叫做

差之毫厘

失之千里也

那么我们这里举一个例子

来说明蝴蝶效应在现实中的应用

你们能想像得出一个美国人抽烟

和我们中国的通货膨胀有什么关系吗

好

我们现在假设美国有一个人抽烟

不小心把没熄灭的烟头扔在了床边

然后出门上班了

大约20分钟后

烟头慢慢引燃床单

火越来越大

逐渐蔓延到左邻右舍

引起煤气罐的连环爆炸

这时的美国人已经对恐怖袭击胆战心惊

而这个肇事者

也就是这个扔烟头的人

却忘了自己曾扔过烟头

于是在一时无法查明原因的情况下

暂时被定为恐怖袭击

这样

惊恐万状的人们纷纷抛售股票

引起股市大跌

人们下降的消费信心影响了整个美国经济

最后造成美元贬值

由于美元的持续贬值

使得以美元标价的基础性原材料价格上扬

那么盯住美元的人民币价格也相应上扬

从而导致以原材料为基础的商品价格上涨

引发中国的成本拉动型通货膨胀

好

那么现在我们对蝴蝶效应做了解释

那么有同学可能还会问

老师你说的奇异吸引子是否罕见呢

其实

像洛伦茨发现的这类具有奇异吸引子的系统

并非什么凤毛麟角的例外

而是自然界随处可见的极为普遍的现象

是经典力学所描述的事物的常规

然而

经典力学已建立三百多年

为什么经典系统的混沌现象

却直到四十多年前才被发现呢

这其中的原因不外乎如下两点

第一点是因为人们的观念上

总是容易被成熟的

权威的理论所束缚

而第二点

则又是与近三四十年来计算机技术的

飞速进展分不开的

洛伦茨吸引子被发现之后

许多类似的研究结果也相继问世

那么有趣的是

各个领域的科学家还纷纷抱怨说

他们其实早就观测到诸如此类的现象了

可是当时

或者是得不到上司的认可

或许是文章难以发表

又或者是自己以为测量不够精确

或者是认为由于噪声的影响等等等等

总而言之

各种原因

使他们失去了千载难逢的

第一个发现奇异吸引子

发现混沌现象的机会

奇异吸引子的行为广泛地

存在于经典力学所描述的现象中

存在于各类非线性系统中

由于奇异吸引子和混沌行为

是非线性系统的特点

这些发现

又将非线性数学的研究推至高潮

上个世纪的八十年代

九十年代

各门传统学科都在谱写自己的非线性篇章

即使在人文

社会学的研究系统中

也发现了一批奇异吸引子

和混沌运动的实例

因此

混沌理论的创立与牛顿的经典理论发生冲突

给了决定论致命的一击

拉普拉斯妖也无能为力了

那么作为本节课的结尾

我想将著名的心理学家

哲学家威廉·詹姆士

曾经说过的一句话送给大家

那就是

播下一个行动

你将收获一种习惯

播下一种习惯

你将收获一种性格

播下一种性格

你将收获一种命运

好

本节课就讲到这里