第十八讲 混沌魔鬼与系统稳定性在线视频

同学们好

这节课我们讨论混沌魔鬼与系统稳定性

逻辑斯蒂方程虽然看起来简单

只有1个变量

1个方程

但是

它却能表现出混沌系统的种种特征

麻雀虽小

五脏俱全

混沌魔鬼在这个简单系统中轻巧地跳出来

成为混沌研究者们的最爱

还记得我们曾经讨论过的洛伦茨系统吗

相对于它的原始问题来说

最后的方程也算够简单了

但是

仍然有三个变量

三个微分方程

总的来说

1个变量的确比3个变量简单很多

不过

有时候

3维的图型也挺直观的

比如说

当我们用计算机画奇异吸引子的时候

画出来的洛伦茨吸引子多漂亮

洛伦茨方程的解

是随时间变化而无限绕下去

却又永不重复的轨道

在三维空间中画出来

好像一只翩翩起舞

展翅欲飞的蝴蝶

可是

这个逻辑斯蒂方程的吸引子

用图形表示起来就不好看了

对逻辑斯蒂方程来说

每个不同的k值都有一个吸引子

在平衡区域

吸引子是1个固定点

在双态平衡区域

吸引子是两个固定点

在多态平衡区域

吸引子是多个分离的固定点

而在混沌区域

吸引子是连成一片的点

最后的状态在这些点无规律地蹦来蹦去

到底是如何蹦的呢

在分岔图上

也就是我们上一讲中图7.3的下图

对具体过程显示得并不清楚

不过

我们可以用如图8.1所示的逻辑斯蒂迭代图

清楚地看到在不同k值下

迭代过程中Xn的收敛情形

好

在这个图8.1中

标为红色的是迭代的最后过程

图中的抛物线

对应于逻辑斯蒂方程右边的

非线性迭代函数

那也就是Xn+1= kXn·（1-Xn）

因为这里出现了Xn的平方

所以这是非线性的

好

我们从左向右来看上面的图8.1

其中第一个小图中的Xn

最后收敛于一个红点

第二个小图中的Xn

最后收敛于一个红色矩形

那么它标志着有两个不同的x值

而第三个小图中的Xn

最后它收敛的是红色的区域

是在4个不同的x值中循环

而最右边的混沌情况

大家一看

圈来圈去的红色曲线便明白了

那就是有点类似于洛伦茨的蝴蝶图了

这就是魔鬼现身的表现

逻辑斯蒂系统还有一个

其他系统少有的优点

那就是它所对应的微分方程

可以求得精确的解析解

而大多数非线性系统

是无法得出精确解的

只能用迭代的方法

来研究数值解的定性性质

以及解的稳定性

我们通过上面对逻辑斯蒂方程的学习

那么我们已经很清楚

混沌魔鬼的出现

与参数k的数值有关

k越大

魔鬼出现的几率也就越大

那这其中有何奥秘呢

我们再回到逻辑斯蒂方程描述的生态学

回忆一下参数k的意义是什么

那么我们知道k它是群体数的线性增长率

也就是k=1+(Xn+1-Xn)/Xn

它与出生率有关

那么想到这点

我们恍然大悟

如果k比较大

群体繁殖得太多了

数目增长太快

就会增加社会不稳定的因素

当然这就容易造成混乱

令魔鬼现身啰

由此

我们得出结论

混沌的产生的确与方程的稳定性有关

所以

我们有必要去研究系统状态的稳定性

分析哪一种状态是稳定的

哪种状态是不稳定的

好

我们先来看下面这幅小球图

对于这张图中的小圆球来说

坡顶和坡谷都是重力场中可能的平衡状态

但是

人人都知道

位于顶点的蓝色球它不稳定

而位于谷底的红色球却很稳定

究其根源

那是因为只要蓝色球

开始的时候被放斜了那么一丁点儿

就会因不能平衡而掉下去

而红球呢

则不在乎这点起始小误差

它总能够滚到谷底而平衡

我们用稍微科学一点的语言来说

稳定就是对初值变化不敏感

而不稳定就是对初值变化太敏感

我们将这个意思

发挥扩展到逻辑斯蒂方程上

我们来考虑图8.2中当k=2.9的时候

也即就是吸引子是一个固定点的情况

那么这个时候

逻辑斯蒂方程的解

应该是图中的抛物线和45度直线的交点

图中的这两条线有两个交点

因此

除了固定吸引子X∞=0.66之外

X∞=0它也是一个解

但是

在图中所示的条件下

X∞=0.66它是稳定的解

而X∞=0却是不稳定的解

那这是为什么呢

这是因为只要初始值

从0偏离那么一点点

就像图中所画的情况

迭代的最后结果

就会一步一步地远离0点

沿着绿色箭头

最终收敛到X∞=0.66这个稳定的平衡点

研究三体问题的大数学家庞加莱

它是微分方程定性理论的始创者

有关微分方程解的稳定性问题

则由另外一位数学家窖李雅普洛夫首开先河

那么我们如何来判定系统稳定与否呢

李雅普洛夫想

可以用对重力场中两个小球

是否稳定的类似判定方法

于是

他研究当初值变化一点点的时候

看看系统的最终结果将如何变化

并以此来作为稳定性的判据

更具体地说

我们可以将系统的最终结果

X∞表示成初始值X0的函数

用图形把它画出来

然后

系统的稳定性就取决于这个函数图形的走向

它是更接近于图8.3中的哪一种曲线呢

是向下指数衰减也就是λ小于0情况

还是向上指数的增长

也就是对于λ大于0的情况

或者是平直的一条线

也就是λ等于0的情况

那么第一种情况被认为是稳定的

而第二种情况被认为是不稳定的

那么λ等于0的时候则是临界状态

这儿的λ就是李亚普洛夫指数

好

我们再来看看

逻辑斯蒂系统的李雅普诺夫指数

及对应的分岔图

好 同学们请看这张图

好 我们从上面这张图8.4不难看出

λ的符号变化与倍周期分岔的产生

以及混沌魔鬼出现之间的关系

那么具体来说就是

当k值比较小的时候

λ小于0

系统处于稳定的状态

从k＝3.0开始

λ有时等于0

出现分岔现象

系统变到多态平衡

但仍然是稳定的

而大多数时候

λ是小于0的

从k＞3.57开始

λ就开始大于0

系统就不稳定

而且还过渡到混沌

有趣的是

混沌魔鬼露脸后又经常躲藏起来

那么这里值得一提的是

在λ大于0的区间中

λ的数值还经常返回到小于0的数值

也就是说

混沌有时又变成有序

这对应于分岔图中的空白地带

也就是黄色图像这一部分

好

本节课我们就讲到这里