第十七讲 生态繁衍和混沌在线视频

同学们好

我们继续上课

这节课我将为大家介绍的内容是

生态繁衍和混沌

我们知道

生命的诞生和消亡

生儿育女

生老病死

是人人都关心的问题

但是你们可能没想到吧

这些也和混沌沾上了边

我们对马尔萨斯的名字应该并不陌生

对他的人口论更有切身的体会

1798年

托马斯·马尔萨斯发表他著名的

《人口学原理》

对人类作出一个悲观的预言

他认为人口将以几何级数增长

超越食物的算术级数增长

因此

最后将必然导致战争

瘟疫

饥荒等等人类的各种灾难

马尔萨斯的人口论

其实基于一个很简单的公式

那就是

Xn+1=（1+r）Xn

然后再把（1+r）继续推

那就等于kXn

那么这个公式中的

Xn+1代表第（n+1）代的人口数

Xn代表第（n）代的人口数

r=（Xn+1 - Xn）/ Xn

表示人口增长率

k=1+r

通常是一个大于1的数

因而

人口数便以k的幂级数增长

我们假设迭代次数以年计算

有了这个公式

从某年一个初始的人口数出发

便可以推算出下一年

再下一年

再再下一年的人口数来

这里

马尔萨斯其实他犯了一个错误

他把各种灾难

作为人口增长之后的结果来处理

而实际上

战争

瘟疫和饥荒

是伴随着人口繁衍而同时发生的

必须在方程中就将这些因素考虑进去

因此

后来的学者们对这个模型进行了修正

在方程（1）的右边

加上了一个负的平方修正项

把它变为Xn+1=kXn-(k/N)(Xn)²

那么这个非线性修正项

则是反映了诸如食物来源

疾病

战争等等生存环境因素对人口的影响

负号表明这种制约

导致下一代人口Xn+1的减少

这就是生态学中著名的逻辑斯蒂方程

它不仅仅可用于人口的研究

也可用于对其它生物繁衍

种群数量

诸如马口

鸟口

虫口等等的研究

上面的这个方程（2）式也可改写成

Xn+1=kXn-k(Xn)²

那么我们把kXn提出来

也就可以把它写成kXn(1-Xn)

好

在这个方程（3）当中

我们将大写的X变换成了小写的x

用来表示相对人口数

那也就是x=X/N

那么这里的N是最大人口数

好

从这个方程（3）我们可以看出

下一代的xn+1

是上一代的xn和（1-xn）的乘积

那么当xn增大的时候

（1-xn）就相应的减小

因此

逻辑斯蒂方程

同时考虑了鼓励和抑制两种因素

此外

由于方程（2）中的第二项是个非线性项

那么听到非线性这个词

大家就要小心啊

因为非线性的效应

使得方程中暗藏了混沌这个魔鬼

不过没关系

魔高一尺

道高一丈

大家是否记得

我们有计算机

那是能让混沌魔鬼现出原形的照妖镜

计算机技术寻找混沌魔鬼

的确功不可没

20世纪70年代

继洛伦茨之后

各个领域的人们

都开始注意用计算机研究混沌现象

寻找各种非线性方程的奇异吸引子

那么时候

英国有个罗伯特·梅

他来到美国普林斯顿大学

然后他看上了生态学中这个

既简单而又非线性的逻辑斯蒂方程

罗伯特·梅1938年生于澳大利亚悉尼

他是一个在各个领域涉猎甚广的科学家

他最开始学的其实是化学工程

后来又转向理论物理

作为一个理论物理博士和教授

工作多年之后

罗伯特·梅对理论生态学

人口动态研究

生物系统的复杂性

以及稳定性等问题发生了浓厚的兴趣

罗伯特·梅将逻辑斯蒂方程用来研究

昆虫群体的繁殖规律

不过

他并不是简单地

跟随气象学家洛伦茨的脚步

画出逻辑斯蒂方程的奇异吸引子而已

他的研究有他的独到之处

他感兴趣的是方程（3）中的这个参数k

罗伯特·梅发现

参数k的数值大小

决定了混沌魔鬼出现或者不出现

当k值比较小的时候

混沌魔鬼销声匿迹无踪影

只有当k大到一定数值的时候

混沌魔鬼才现身

现在

我们仔细研究下面这幅图

来判断方程（3）是否具有混沌的行为

请注意

我们这里所说的行为是指长期行为

也就是说

我们需要研究的是

用方程(3)作迭代

当迭代次数趋于无穷的时候

群体数的最后归宿

是经典的还是混沌的

好那么

在上面这张图中

绿色的曲线

就是罗伯特·梅的研究结果

他用绿色曲线画出了最后的相对群体数

也就是X无穷随着k的增大而变化的情形

X无穷是当n趋于无穷的时候Xn的极限

而这张大图下面的4个小图

则是在一定的k值下作迭代的过程

需要注意的是

在方程（3）以及图中的Xi是相对群体数

可以把它规定为是相对于一个

最大的群体数N而言

比如

我们可以取N = 10000

群体数的初值X0取为1000

也就是说

某种生物最开始时有1000个

那么

我们不难算出

相对群体数的初值X0=1000/10000=0.1

这个看上去有点奇怪的绿色曲线

可以按照k的大小

曲线的不同形态分成好几段

图中分别记为

灭绝

平衡

双态平衡

混沌

因此

罗伯特·梅发现

对逻辑斯蒂方程的混沌魔鬼来说

参数k的数值太重要了

增大k的数值可以让混沌魔鬼诞生出来

但是

混沌魔鬼是怎样生成的呢

为何k变大就能形成魔鬼呢

于是

罗伯特·梅便详细地研究了

混沌魔鬼诞生的过程

从罗伯特·梅的这个图中

我们发现

可以将系统的长期行为

归类于以下几种情况

或者说

可以将图中的曲线

分成特征不同的几个部分

那么第一种情形

就是当k小于1的时候

Xn的最后极限是0

那这就表明出生率太低

出生的数目补偿不了死亡数,

种族最终将走向灭绝

例如

当k=0.8

因为X0=0.1

那么我们不难算出X1=0.072

然后X2=0.051

那么一直这样算下去

对应的群体数就分别是1000

720

510等等等等

绝对群体数将逐年减少

最后趋于0

这种情况

连种族都灭亡了

显然也就不存在什么混沌魔鬼

第二种情况

我们更感兴趣的是k大于1的情形

这时

方程(3)中的第一项

使得群体数逐年增长

而第二项使得群体数

不能增长到无限大

我们将k值从1到3的那段绿线称为平衡期

因为在这种情形下

生死速率旗鼓相当

最后的群体数将平衡于一个固定值

比如

当k=1.2的时候

这个时候的线性增长率为120%

那么

许多年之后

这种生物会有多少呢

好那我们从从X0开始

可以算出X1=0.108

X2=0.1157

那么一直算下去

因此

相应的绝对群体数是1000

1080

1157等等

我们可以证明

若干年之后

这种生物的群体数将趋向于一个固定值

那就是1666

所以

k值从1到3的情况下

种族数收敛到固定值

完全是经典情况

我们也没有看见混沌魔鬼

好那么第三种情形

就是当k=3.8的时候

从迭代可以得到相应的绝对群体数

分别是1000

3420等等

然后到6547

9120

3100

8120

然后再继续下去

这时的最后结果很奇怪

因为它不会收敛到任何稳定的状态

而是在无穷多个不同的数值中

无规则地跳来跳去

那也就是说

魔鬼跳出来了

系统走向了混沌

上面的第一

第二种情况

属于经典有序

而第三种

那就是混沌

因而

我们最感兴趣的是

中间从k=3到k=3.8的这一段

那么我们再将这段放大来研究

那就可以得到

下面这个图7.3中上图所示的曲线

好

那么逻辑斯蒂系统

又是如何从有序过渡到混沌的呢

我们从图7.3的上图中可以看到

即使我们让k的数值平滑地增长

系统的长期行为却不平滑

当k的数值在3附近的时候

系统来了一个突变

原来的一条曲线分成了两支

形成一个三岔路口

然后

k的数值继续平滑增长

到了3.45附近的时候

又走到了三岔路口

两条曲线分成了四支

再后来

又分成了八支

十六支

一直下去

分支越来越多

相邻的三岔路口间的距离却越来越短

最后

以至于我们的眼睛

根本无法清楚地分辨

那些三岔路口及分支为止

现在

可能很多同学已经有了直觉

那就是混沌魔鬼

是由这些越来越多的分岔现象产生出来的

完全没错

这也就是当时罗伯特·梅的结论

人们将这种分岔现象

叫做倍周期分岔现象（Bifurcation）

周期这个词是哪儿冒出来的呢

想想我们所研究的逻辑斯蒂方程（3）

这是个一代一代

或者说一年一年的迭代方程

那么一年就是一个周期

我们观察k=3到k=3.4之间的曲线

也就是在图7.3中标示为

双态平衡的那一段

所谓双态平衡意味着

迭代到最后

每一年的群体数

将在两个数值之间循环

那也可以说

系统回到原来状态的周期

从一年变成了两年

周期加倍了

后来

从k=3.4到k=3.57

状态数越来越多

最终的群体数将在更多的数值之间循环

系统回到某一平衡状态的周期

因加倍又加倍而变得越来越长

这就是图中标示为多态平衡的一段

当k增加到3.57之后

由于分支之间的交互缠绕

已经无法区分单独的分支

倍周期分岔现象呈崩溃之势

平衡点已无法区分

连接成一片连续区域

这意味着最终的群体数失去了周期性

进入图中标示为混沌的范围

那么上面所描述的系统状态

随着参数的变化从平衡走向混沌的过程

不仅仅出现在生态学中

而是一个普遍现象

倍周期分岔现象是系统出现混沌的先兆

最终会导致有序到无序

稳态向混沌的转变

科学家们更为深入地研究倍周期分岔图

总结出倍周期分岔现象具有

自相似性及普适性等等

重要而有趣的特征

自相似性是显而易见的

如果将图7.3中的倍周期分岔曲线

在不同的标度下进行放大

仔细观察

我们就会发现它实际上是一种分形

一种具有无穷嵌套的自相似结构

或所谓标度不变性

也就是用放大镜

将细节部分放大若干倍后

它仍与整体具有相似的结构

这个与内在随机性密切相关的几何性质

揭示了倍周期分岔现象与分形

混沌

奇异吸引子等之间的内在联系

好

本节课就讲到这里