数学素养与人文素养（二）在线视频

这节课我们接着上节课的内容

继续来讲数学发展史的第三个时期

变量数学时期

从公元17世纪到公元19世纪

变量数学时期也称为近代数学时期

大体上经历了两个决定性的重大步骤

第一步是解析几何的产生

第二步是微积分的创立

解析几何的发明是变量数学时期的第一个里程碑

变量的引入

变量与函数

迪卡儿直角坐标系

数与形的结合

其标志是坐标系的建立

法国数学家笛卡尔功不可没

法国现在有所著名的大学就叫笛卡尔大学

笛卡尔对数学最重要的贡献是创立了解析几何

被称为解析几何之父

解析几何的基本思想

是通过引进“直角坐标”把平面上的点

与一对实数（xy）建立一一对应的关系

平面上的一条曲线对应一个代数方程

而一个代数方程又对应一条曲线

于是几何问题可以归结为代数问题

反过来代数问题又可以通过曲线的几何性质加以研究

“数”与“形”通过坐标系完美相互结合

恩格斯曾说过

数学中的转折点是笛卡尔的变数

有了变数

运动进入了数学

有了变数

辩证法进入了数学

有了变数

微分和积分也就立刻成为必要的了……

变量数学时期的第二个里程碑是微积分的发明

通过极限和无穷小的分析

微积分可以把无限的问题化为有限

实现了人的认识从有限到无限的飞跃

所以

微积分也被认为是人类精神的最高胜利

牛顿最早是在《自然哲学的数学原理》

1687年首次表述了微积分的学说

然后在《分析学》（1711年）

与《流数术》（1736年）中完善了自己的微积分学说

莱布尼兹的论文

《一种求极大与求极小值和求切线的新方法》

（1684年）首次发表了微分学的文献

1686年

他发表了第一篇积分学论文

《深奥的几何与不可分量及无限的分析》

微积分的发现最终归功于牛顿和莱布尼兹

但牛顿和莱布尼兹

分别独自研究和完成了微积分的创立工作

所以后人把微积分的创始人

命名为牛顿和莱布尼兹

变量数学的产生是数学从具体走向抽象的开始

它是把原来代表实物的“数”单独抽取出来

拿到一个运算和推理的空间

通过对“数”本身进行一系列研究

这时对“数”的运算和推演过程

已经很难代表任何实际物体了

仅仅是“数”本身所代表的的一些内在规律

这就进入了抽象的领域

当然经过抽象领域的一系列运算后

得出最后结论又可以表示实际实物的状态

其过程可以表现为

实际——抽象——实际

而且这个抽象过程还从有限延展到了无限

标志着人类的认知进入了新的境界

这阶段的数学解决了很多实际问题

同时也为其他学科提供了理论基础

使得其他学科

能够有力有据地对很多自然现象做出解释

比如牛顿的经典力学

几乎能解答那个时代几乎所有的物理问题

这时的数学素养就体现在从实际到抽象的切换

而且这种切换是带有量化特征的

也就是说人们从实际中

发现的很多自然规律是可以用“数”来衡量的

这就大大提升了科学性

4 现代数学时期

从1820年到现在

集合论是现代数学的起点

康托尔1872年发表了

《关于三角级数中一个定理的推广》

定义一系列点集的概念

这一时期是数学走向高度统一和抽象化的时期

主要研究是最一般的数量关系和空间形式

现代数学以集合论为标志

把数学所有的基础

代数

几何

分析

统一在集合的框架中加以研究

通过集合论的抽象描述

数学实现了高度的统一

抽象代数

拓扑学

泛函分析构成整个现代数学的基础

现代数学的高歌猛进也孕育了新的危机

现代数学的基础集合论中出现了悖论

1879年

意大利学者布拉利˙福尔蒂

提出了集合论中的第一个悖论

两年后

康托发现了很相似的悖论

1901年

英国数学家罗素又发现了一个悖论

其中最著名的是“理发师悖论”

罗素悖论动摇了整个数学大厦的基础

数学史上爆发了第三次数学危机

当然现代数学远比这个例子复杂

如果把以前阶段的称为“数学”的话

现代数学就是这个“数学”的数学

它把本身已经抽象的“数学”当成一个研究对象

去研究“数学”这个学科的内在元素

这是因为随着人们认知的提高

对自然的研究已经从“身边看见事物”

发展到对“看不见 摸不着”事物的研究

比如电磁学

空气动力学

宇宙的起源等等

这时发现从实际中抽象出来的数学

已经无法为这些研究提供方法了

数学家们开始对数学方法进行研究

开辟了各种各样的数学空间去进行方法的研究

如代数空间

函数空间

微分空间等等

当然不包括异次元空间

这个空间是网络灵异小说杜撰的

不是数学研究空间

这就使得数学产生很多的分支

20世纪初

德国数学家希尔伯特提出了16个猜想

引领了整个数学界的发展方向

希尔伯特称

没有任何人

能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来

尤其是排中律的使用

但有人预言

希尔伯特会是最后一个贯通数学领域的大家

今后再也不会出现贯通整个数学领域的大家了

因为数学已经发展到了高度分叉的时代

甚至有人玩笑说

今后一个数学家

可能连另一个数学家论文的题目都看不懂

实际上

现代数学成果

真正应用于其他科学的仅仅是很少的部分

还有大量可以开发的金矿

如果有谁实现数学某方面的成果转化

毫无疑问他就是大师

应该说这个领域也是大有可为的

当然

对我们大多数人而言

不会去接触到这么高深的数学内容

但其中的数学思想却是非常有用的

还是以数学空间为例

我们知道人类生活在三维空间

一维是线

二位是面

我们都可以想象

但四维呢

有人说是三维空间加时间就是四维

你可以想象吗

那么5维 6维甚至更多的n维空间呢

这已经无法想象了

因此数学空间只能靠设定的一些规则去定义

在这个空间的运算和推演

只能在定义的规则之下实施

整个过程完全是抽象的

这就是人类的想象力

所以这个时代的数学素养

就不仅仅是数学能力了

而是借鉴这种数学方式

培养起来的抽象思维能力

逻辑分析能力和行事缜密的能力

这些能力对人的现实生活是极具价值的

王梓坤曾说过

数学的贡献在于科学技术的推进与提高

对科技人才的培养和滋润

对经济建设的繁荣

对全体人民科学思维和文化素质的哺育

这几方面的作用是巨大的

也是其它学科所不能比拟的

这节课我们就讲到这里

下节课继续