第十五讲 洛伦茨与吸引子在线视频

同学们好

我们继续来学习分形与混沌

这节课的主要内容是介绍洛伦茨与吸引子

当我们翻开任何一本关于混沌数学的书

差不多都能看到与下面这个

图5.1类似的图案

那是混沌理论的著名标签

洛伦茨吸引子

那有同学肯定会问什么是吸引子啊

这个问题提得很好

大家应该还记得

我在前面的课程中

介绍蝴蝶效应的时候

简单的介绍过洛伦茨的工作

那么

为了给大家讲清楚

什么是吸引子这个概念

我们先来讲讲图5.1的来由

讲讲洛伦茨的工作吧

洛伦茨

从1917出生到2008去世

他是一位在美国麻省理工学院

做气象研究的科学家

那么在一次模拟大气流的实验中

它无意中把两组差别很小的数据

比方说就差0.000127

分别输入计算机程序中

却得到了千差万别的结果

对此

他疑惑不解

难道如此细小的差别

真的能导致最后结果有如此大的不同吗

下面的示意图显示的是

与洛伦茨气象预报研究有关的两组结果

其中实线和虚线分别是洛伦茨的两次计算过程

这个图中

横坐标表示时间

纵坐标表示洛伦茨所模拟

也就是想要预报的气候中的某个参数值

比如说

大气气流在空间某点的速度

方向

或者是温度

湿度

压力之类的变量等等

根据初始值以及描述物理规律的微分方程

洛伦茨对这些物理量的时间演化过程

进行数字模拟

以达到预报的目的

但是

洛伦茨发现

初始值的微小变化

会随着时间增加而被指数放大

如果初始值稍稍变化

就使得结果大相径庭的话

那这样的预报还有实际意义吗

难怪我们的气象台播的气象预报

经常都不准

招来骂声一片

看来他们也有他们的苦衷啊

这两次计算结果千差万别

使洛伦茨觉得自己在气象预报工作中

似乎显得山穷水尽

无能为力

为了走出困境

他继续深究下去

洛伦茨以他非凡的抽象思维能力

将气象预报模型里的上百个参数和方程

简化到如下一个仅由三个变量

以及时间系数完全决定的微分方程组

那么也就是下面这3个方程

所对照的一个方程组

第一个方程是dx/dt=10(y-x)

第二个方程是dy/dt=Rx-y-xz

第三个方程是dz/dt=(-8/3)z+xy

呢么这个方程组中的x y z

并非任何运动粒子在三维空间的坐标

而是三个变量

这三个变量由气象预报中的诸多物理量

比如流速

温度

压力等简化而来

这个方程(2)当中的R

在流体力学中叫做瑞利数

它与流体的浮力及黏滞度等性质有关

瑞利数的大小对洛伦茨系统中

混沌现象的产生至关重要

这是一个不能用解析方法求解的非线性方程组

洛伦茨设瑞利数R＝28

然后利用计算机进行反复迭代

也即就是

首先从初始时刻x y z的一组数值

Xo Yo Zo

计算出下一个时刻它们的数值X₁ Y₁ Z₁

再算出下一个时刻的X₂ Y₂ Z₂

那么如此不断地继续下去

将逐次得到的x y z的瞬时值

画在三维坐标空间中

这就描绘出了奇妙而复杂的洛伦茨吸引子图

那么就是下面这张图

好

那么问题来了

啥是吸引子呢

或者说什么叫动力系统的吸引子

我们要弄清楚吸引子是啥的问题

那么就得先明白系统这个概念

那什么又是系统呢

简单地说

系统是一种数学模型

是一种用以描述自然界及社会中各类事件的

由一些变量及数个方程构成的一种数学模型

世界上的事物尽管千变万化

繁杂纷纭

但是在数学家们的眼中

在一定的条件下

都不外乎是由几个变量

和这些变量之间的关系组成的系统

在这些系统模型中

变量的数目或多或少

服从的规律可简可繁

变量的性质也许是确定的

也许是随机的

每个系统又可能包含另外的子系统

由系统性质之不同

又有了诸如确定性系统

随机系统

封闭系统

开放系统

线性系统

非线性系统

稳定系统

简单系统

复杂系统等等一类的名词

例如

地球环绕太阳的运动

可近似为一个简单的二体系统

密闭罐中的化学反应

可以当成趋于稳定状态的封闭系统

每一个生物体

都是一个自适应的开放系统

人类社会

股票市场

则可以作为复杂的

随机性系统的例子

无论是何种系统

大多数的情形下

我们感兴趣的是系统对时间的变化

那么我们称其为动力系统研究

这是理所当然的

谁会去管那种固定不变的系统呢

研究系统对时间变化的一个有效而直观的方法

是利用系统的相空间

一个系统中的所有独立变量

构成的空间叫做系统的相空间

相空间中的一个点

确定了系统的一个状态

对应于一组给定的独立变量值

研究状态点随着时间在空间中的运动情形

则可以看出系统对时间的变化趋势

以观察混沌理论中最感兴趣的

动力系统的长期行为

状态点在相空间中运动

最后趋向的极限图形

就叫做该系统的吸引子

我们换句通俗的话说

吸引子就是一个系统的最后归属

那么这里我们举两个简单例子

更易于说明问题

例如

一个被掷出的铅球

在空中飞了一会就掉到地上

然后又在地上滚了一会

最后静止在地上

如果没有其他的意外发生

静止不动就是他最后的归属

因此

这段铅球运动的吸引子

是它的相空间中的一个固定的点

又如

两种颜色的墨水被混合在一起

它们经过一段时间的扩散

互相渗透

最后趋于一种均匀混合的动态平衡状态

如果不考虑分子的布朗运动

这个系统的最后归属

也就是吸引子

那也应该是相空间的一个固定点

在发现混沌现象之前

也可以粗略地说

在洛伦茨研究他的系统的最后归属之前

吸引子的形状

可以归纳为如下面这张图所示的

3种经典吸引子

也称正常吸引子

那么其中第一种是稳定点吸引子

这种系统最后收敛于一个固定不变的状态

而第二种叫极限环吸引子

这种系统的状态趋于稳定的振动

比如天体的轨道运动

而第三种是极限环面吸引子

这是一种似稳状态

一般来说

对应于系统的方程的解的经典吸引子

是相空间中一个整数维的子空间

例如

固定点是一个零维空间

极限环是一个一维空间

而面包圈形状的极限环面吸引子

则是一个二维空间

钟摆其实就是个简单直观的例子

任何一个摆

如果不给它不断地补充能量的话

最终都会由于摩擦和阻尼

而停止下来

也就是说

系统的最后状态是相空间中的一个点

因此

这种情况下的吸引子是第一种

固定点

如果摆有能量来源

那么像挂钟

有发条或者电源

不停下来的话

系统的最后状态是一种周期性运动

这种情况下的吸引子就是第二种

极限环

刚才我说的摆

都只是在一个方向摆动

那么我们设想有一个摆

如果除了左右摆动之外

上面还加了一个弹簧

于是就又多了一个上下的振动

这就形成了摆的耦合振荡行为

具有两个振动频率

那么总而言之

用上述三种吸引子描述的

自然现象还是相当规则的

这些是属于经典理论的吸引子

根据经典理论

初始值偏离一点点

结果也只会偏离一点点

因此

科学家甚至可以提前相当长的时间

预测极复杂的系统的行为

这一点

是拉普拉斯妖决定论的理论基础

也是洛仑兹梦想进行长期天气预报的根据

但是

当洛伦茨将方程(1)(2)(3)中x y z

对时间变化的曲线画在三维空间中时

也就是下面的图5.3所示

他发现他画出的洛伦茨吸引子图

不能被归类到任何一种经典吸引子

洛仑兹觉得这个系统的长期行为十分有趣

似稳非稳

似乱非乱

乱中有序

稳中有乱

这是一个三维空间里的双重绕图

轨线看起来是在绕着两个中心点转圈

但是又不是真正在转圈

因为它们虽然被限制在两翼的边界之内

但又绝不与自身相交

这意味着系统的状态永不重复

是非周期性的

也就是说

这个具有确定系数

确定方程

确定初始值的系统的解

是一个外表和整体上

呈貌似规则而有序的两翼蝴蝶形态

而内在却包含了无序

而随机的混沌过程的复杂结构

当时

眼光不凡的洛伦茨

准确的将这个现象表述为确定性非周期流

好

我们本节课就讲到这里