数学素养与人文素养（三）在线视频

接下来

我从文学作品和诗歌来谈谈数学思想和人文素养

面向未来的教育

培养引领社会发展的

而不是简单跟踪社会需求的人才

那就要注重基础

能力和素质的培养

人文素养是现在比较热门的话题

尤其是在通识教育模式下

人文素养的培养是一个主要目标

前面已提及

人文素养是一种为人处世的基本的“德性”

“价值观”和“人生哲学”

指的是人文科学类的要素集合

包括政治

经济

历史

哲学

文学

法学等等或者是时髦的“国学”积淀

但毫无例外都将数学排除在外

甚至 “文学大师”可以将其数学空白作为名人轶事

仿佛文人不懂数学是一件可以炫耀的事

与此同时

“理工男”也可以只生活在代码的空间

不知有汉

无论魏晋

理科与文科

在我们现行的教育体制下是那么的泾渭分明

尤其是数学

可以说是理科中的理科

上一讲我们讲到了数学素养的问题

其实数学素养并不是像数学解题一样枯燥乏味

它是一种人的能力

人文素养也是一种人的能力

这两种能力都可以在人的身上体现

也都属于现代人的能力范畴

其实这两种能力是有很多相像之处的

比如优美的诗歌

意境悠远

被很多人推崇

但大家想过没有

诗歌描述的意境都是虚拟的

是超现实的

是诗人想象出来的

这不就是一种抽象吗

而数学就是以抽象思维著称的

如果要说不同的话

那只能说诗歌的抽象是发散的

诗人的想象可以天马行空

无拘无束

天高任鸟飞的状态

而数学的抽象是凝聚的

数学家的抽象是逻辑严密

环环相扣

水流千遭归大海的状态

下面

我们进入名著来尝试分析数学与文学的“联姻”情况

1 《红楼梦》中的数学问题

曹雪芹的《红楼梦》作为中国历史上伟大的一部文学作品

无论是艺术上还是思想上都达到了前所未有的高度

也为后人提供了丰富的研究题材

一部红楼梦有多少人在研究啊

曹公也万万没有想到

一部小说除了为读者提供精神食粮外

也为多少人提供了饭碗

今天我们也凑热闹去研究一下

红楼梦中的数学问题

红楼梦里面涉及的数学问题并不多

但很有代表性

也很有趣

现在我们来看一个例子

群芳掷骰子

晴雯拿了一个竹雕的签筒来

摇了一摇

揭开一 看

里面是五点

数至宝钗

宝钗又掷了一个十六点

数到探春

湘云拿着她的手

强掷了个十九点出来

黛玉一掷

是个十八点

便该湘云掷

湘云便绰起骰子来

一掷得个九点

数去该麝月

麝月一掷得个十九点

该香菱

香菱便又掷了个六点

该黛玉掷

黛玉便掷了个二十点

《红楼梦》第六十三回

在掷骰子游戏中

晴雯

宝钗

探春

黛玉

湘云

麝月

香菱

分别掷 5 16 19 18 9 19 6 点

最后黛玉又掷一次为 20 点

文学描述如此

我们现在用数学方法来算一算

这个掷骰子游戏中

使用 4 枚骰子

每枚骰子点数为 1-6 点

4 枚骰子最小可掷出 4 点

最大可掷出 24 点

掷出所有可能点数和对应概率

如表 1 所示

表 1 掷四枚骰子出现的点数

及概率分布表

4点5点 6点 7点 8点 9点 10点 1点1 12点 13点 14点

概率最大是14点

概率最小是4点

从表 1 可以看出

点数的范围从 4 到 24 点

并且不同点数出现的概率也不尽相同

4 点和 24 点出现的概率最低为 1/1296

点数 14 出现的概率最高为 146/1296

表 1 中概率的计算方法

以14点数为例

四个骰子点数之和为 14

共有 12 种情况

四个骰子可能出现的点数所有情况为

6×6×6×6=1296 （按排列）

因此点数为 14 的概率为

P= 146/1296 ≈0.11265=11.265%

其他各种点数的概率情况

都可以仿照上面的方法计算得到

依据以上列表给出的数据

可以统计出群芳所掷点数的概率

如表 3 所示

表 3

群芳掷骰子所得点数及概率统计

从计算结果可以看出

小概率事件出现了两次

显然是不合常理

至于书中为什么这样写

不得而知

也许曹雪芹也是偏科的

在写作这段时没有仔细思考过

骰子出现各种点数所对应的可能性

当然红学家们可以去研究这个问题

但前提是红学家也要有数学基础

事实上

概率论的起源就源于赌博问题

但现在已经广泛用于各种自然科学乃至人文科学中

例如在对红楼梦作者的判断中

就用上了概率统计的方法

按照红学家们的说法

这部巨著的前80回的作者是曹雪芹

后40回的作者则是高鄂

这种意见对不对

数学家们用自己的方法对此作出了判断

我们知道

每个人写作的风格都有所不同

古人也不例外

有的也许喜欢用“之”“乎”

有的或许更喜欢用“者”“也”

根据常用字在文中出现的次数多少

称为频率

就可以看出风格上的差别

这样一来

谁是作者便不言自明了

根据这样的道理

有学者用47个虚字在《红楼梦》的每一回中出现的频率

通过计算距离等各种统计方法

探索了这部书各回写作风格的接近程度

结果发现

红学家们的说法是正确的

红学家们的说法第一次用数学方法

到了证明和补充

这种方式也是密码学的基础

早期的密码破译

特别是英文字母类的破译

就是通过某个字母出现的频率统计来破译

大家有兴趣可以去看看福尔摩斯探案集

其中就专门有个这样的故事

这种思想在现代密码学仍然具有重要价值

数学思想 方法 工具为文学研究提供新途径

接下来

我们来探讨诗歌中的数学问题

前面说过

诗歌与数学都有抽象性

事实上

诗歌和数学还有奇妙的一致性

诗词一向被认为是文学艺术上的明珠

是感性灵动的

但实际上

诗词的美感很大一部分要归功于数学之美

冯.罗伊曼称

数学家无论是选择题材

判断成功的标准

主要都是美学

诗歌外在形式之美

诗词外在形式的最大特点是两句一组

两组字数相同

形成强烈的数学对称之美

诗歌格律中的美

以律诗为例

讲究平仄对应

这些对应关系可以用数学方法表示

例如将诗中的“平”用0表示

“仄”用1表示

列出一个矩阵

经过一系列的矩阵运算

就可以推导出律诗中的对应关系

具体运算过程在这里就不介绍了

这说明

朗朗上口的诗词格律是有着数学对应关系的

换言之

这种“美”是可以用数学推导出来的

诗歌中数字的 数学之美

数字本身就很利于对仗美的形成

比如

一去二三里

烟村四五家

亭台六七座

八九十枝花

所以数字用于古诗词的频率是很高的

而在这些使用的数字中

有着奇妙的规律

在十以内的数字中

出现频率较高的是一 二 三 五 九

这不很像是斐波那契数吗

有人进一步研究发现

对仗诗句中的数字

也和斐波那契数列有着密切关系

斐波那契数列又被称为“黄金分割”的一种形式

范馨月老师给大家介绍过

而“黄金分割”比例在世界著名艺术品身上比比皆是

可以说数学的美和文艺的美是一致的

诗歌意境的数学之美

诗中意境中抽象出来的美

活脱脱令人联想到简明的几何美感

大漠孤烟直

长河落日圆

描绘了一幅雄阔壮美的大漠黄昏图

“大漠”可作为一个平面

“孤烟”是一条直线

上半句不就是一条垂直于平面的直线图吗

远处横卧的“长河”就是一条直线

渐渐下降的“落日”就是一个圆

下半句不就是一个相切于一条直线的圆吗

几何学永恒的抽象之美

帮助诗歌拥有了千古的艺术魅力

当然

诗人青睐数字还因为数字可以具有高度的概括

鲜明的形象等特点

数学与诗歌相互交融 相得益彰

上面这些是利用数学衬托诗歌

还有很多是利用诗歌衬托数学

也是有趣的

来看看下面的例子

明代数学家程大位在

《算 法 统 宗 》里记载了许多精品数学诗

如“宝塔装灯”

远望巍巍塔七层

红光点点倍加增

共灯三百八十一

请问顶层几盏灯

诗的大意是

有一座高大雄伟的宝塔

共有七层

每层都挂着红红的大灯笼

各层的盏数虽然不知道是多少

但知道从上到下第二层开始

每层盏数都是上一层盏数的 2倍

并知道总共有灯381盏

问

这个宝塔顶层有多少盏灯

显然

这是一个简单的数学问题

由题设知七层塔中

各层塔上的灯成倍增加

设顶层有x盏灯

则第2层有灯2x盏

第3层有灯2*2x=4x

第4层 有灯 2×4x=8x盏

第7层有灯2*16x=2的6次方倍x=64x

7层共有灯

全部加起来x+2x+4x+...+64x

算出的结果等于127x

已知共有 381盏灯

于是

解得x=3

故顶层有3盏灯

这是一个等比数列的问题

最后

数学素养是培养人文素养的一个重要途径

数学素养有着丰富而巨大的价值

融合数学与人文

实施人文数学教育

以实现人的全面发展

北大陈平原教授说

一辈子的道路取决于语文

得学会在规定的时间内向听众阐述自己的想法

有时候一辈子的道路就因为这十分钟

卄分钟的发言或面试决定

这其中包含了数学素养与人文素养的哲学关系

一切可以从零开始

数学素养和人文素养就讲到这

感谢大家的聆听