第十三讲 英国的海岸线有多长在线视频

同学们好

下面我们继续学习分形与混沌

我们先来看一张照片

那么这是一张英国的海岸线的照片

1967年美国数学家

Mandelbrot在《科学》杂志上

发表了一篇文章

这篇文章的题目是

英国的海岸线有多长

那么英国的海岸线到底有多长呢

人们可能会不假思索地回答

只要测量得足够精确

总是能得到一个数值吧

答案当然取决于测量的方法

以及用这些方法测量的结果

但问题在于

如果用不同大小的度量标准来测量

每次会得出完全不同的结果

度量标准的尺度越小

测量出来的海岸线的长度会越长

那也就是说

用来测量海岸线的尺越小

测量出的长度就会越大

而并不会趋向收敛于一个有限固定的结果

事实上

海岸线和我们前面介绍的科赫曲线很相似

科学家们应用我们叙述过的

估算分形维数的方法

其实也就是豪斯多夫维数

以及逐次测量英国的海岸线所得的结果

居然算出了英国海岸线的分形维数

大约等于1.25

这个数字与科赫曲线的分形维数很接近

因此

英国海岸线是一个分形

任何一段的长度都是无穷

这真是一个令人吃惊的答案

除了由简单的线性迭代法生成的分形之外

其实

还有另外两种重要的生成分形的方法

第一种与随机过程有关

也即就是线性迭代与随机过程相结合

自然界中常见的分形

诸如海岸线

山峰

云彩等等

更接近于由随机过程生成的分形

那么第二种呢

是用非线性的迭代法

一般而言

最美丽

最令艺术家们着迷的分形

大多数都是用非线性迭代法产生的

例如

以数学家曼德布罗命名的曼德布罗图

便是由非线性迭代方法产生的分形

曼德布罗他生于1924年

卒于2010年

他算的上是一位美国数学家

虽然他是出生于波兰的立陶宛犹太家庭的后裔

但是在他12岁的时候

就随全家移居巴黎

而他之后的大半生都是在美国度过

他的研究范围非常广泛

他研究过棉花价格

股票的涨落

语言中的词汇分布等等

从物理

天文

地理到经济学

生理学等等都有所涉及

曼德布罗经常自称是个学术界的游牧民族

因为他长期躲在一个不时髦的数学角落里

游荡跋涉在各个貌似不相干的

正统学科之间狭隘的巷道中

试图从破碎里找到规律

空集中发现真理

曼德勃罗用从支离破碎中发现的

分形之美改变了我们的世界观

他致力于向大众介绍分形理论

使分形的研究成果广为人知

由此

他被誉为是20世纪后半叶少有的

影响深远广泛的科学伟人之一

好 我们来看下面这幅图

图中用黑点表示的点就是曼德布罗集

曼德勃罗集可以称是人类有史以来

做出的最奇异

最瑰丽的几何图形

被称为上帝的指纹

魔鬼的聚合物

事实上

这个美丽的图形只出自于一个简单的

非线性迭代公式

那就是Zn+1=Z²n+C

这个公式(1)当中的Z和C都是复数

我们知道

每个复数都可以用平面上的一个点来表示

比如

x坐标表示实数部分

y坐标表示虚数部分

开始的时候

平面上有两个固定点

C和Zo

Zo是Z的初始值

为l 简单起见

我们取Zo＝0

于是有就Z₁＝C

我们将每次Z的位置用亮点来表示

也就是说

开始的时候平面上原点是亮点

一次迭代后亮点就移动到了C

再后来

根据公式(1)

我们可以计算Z₂

它应该等于C×C＋C

亮点也就移移动到Z₂

然后我们再计算Z₃ Z₄等等

一直算下去

这个时候

我们感兴趣的是

如此这样迭代下去

亮点的位置会趋于两种情形中的哪一个呢

是在有限的范围内转悠呢

还是将会跳到无限远处不见踪影

因为Z的初始值固定在原点

显然

无限迭代的时候Z的行为

就应该取决于复数C的数值

这样

我们就可以得出曼德布罗集的定义

那就是所有使得无限迭代后的结果

能保持有限数值的复数C的集合

就构成曼德布罗集

我们这里需要注意的是

计算机中的无限

并不是真的无限

实际上

当迭代次数k达到一定的数目的时候

就当作是无限多次了

我们判断Z是否保持有限

也是同样的意思

当Z离原点的距离超过某个很大的数的时候

就算作是无穷远了

那我们现在把曼德布罗集放大

放大 再放大

从放大的曼德布罗集中我们可以看到

黑点和非黑点混杂在一起的

貌似这个曼德布罗集没有一条明确的界限

那实际上我们不用担心

曼德布罗集的边界有着令人吃惊的复杂结构

看不到一条清晰的边界

属于曼德布罗集合的点

和非曼德布罗集合的点

它们以很不一般的方式混合在一起

你中有我 我中有你

黑白一点也不分明

这也正是这种分形的特征

好 现在

我们再看另一个美妙的图形

这个图形是啥呢

这个图形就是对应于曼德布罗集中

某个点的朱利亚集

换句话说

曼德布罗图形上的每一个不同的点

对应一个不同的朱利亚集

朱利亚集和曼德布罗集是有密切关系的

它们互为亲戚

我们知道

曼德布罗图形上的每一个点

代表迭代公式(1)中不同的C值

因此

给定一个C

我们就能产生一个朱利亚集

的确

朱利亚集是用与曼德布罗集同样的

非线性迭代公式(1)所产生的

但是不同的是

产生曼德布罗集的时候

Z的初值我们是固定在原点

用C来标识轨道的发散性

而我们产生朱利亚集的时候

则是将C值固定

用Z的初始值Zo来标识轨道的发散性

我们从朱利亚集的生成过程可以看出

对应于曼德布罗集中的每一个点

都有一个朱利亚集

比如说

点击曼德布罗集上的零点

也就是对应的C值为0

这个时候作我们上述迭代产生的朱利亚集

他就是一个单位圆

下面这张图

就显示了曼德布罗集中不同的点

所对应的朱利亚集

好

我们了解了美妙的曼德布罗集

和朱利亚集图形的产生过程

这种非线性迭代法产生的分形

不仅仅以其神秘复杂

变换多姿受到艺术家们的宠爱

博得数学及计算机爱好者们的青睐

也推动了与此紧密相关的混沌理论

以及非线性动力学的发展

好

那么这节课我们就讲到这里