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欢迎各位继续回到电磁暂态分析的课堂

我们接着讲第二讲波过程理论

在这一讲的话我们要解决几个问题

电磁暂态是什么 用什么来表征

电磁暂态或者说过电压如何产生的

导线上面施加一个电流 那电压是不是唯一

如果是唯一的话 什么是决定因素

波过程理论 它是传导电磁暂态的基础

它的载体就是传输线

传输线 它的内涵很广

包括了单导体传输线 多导体传输线

同轴电缆 微带传输线 波导管 光纤等等

所以说传输线是在电磁暂态中

起到一个非常重要的作用

下面我们介绍波过程的物理概念

我们在电源上从左向右向一个电容充电

在导线周围就会建立起电场

靠近电源的电容立即充电

并向相邻的电容放电

其次由于电感的作用较远处的电容

要隔一段时间才能充上一定的电荷

这样的话像一个电压波

以某种速度在沿线路在传播

其次电容充电过程中将有电流流过电感

在导线周围的磁场 这样的话

电流波以同样的速度沿着x方向的流动

所以电压波和电流波沿导线的流动

实际上就是电磁波沿着线路的传播过程

那电流波和电压波的关系是什么呢

我们假设合闸后t=△t时刻

电压波u到达x=△x这样一个位置

电容的充电量为 Q=i△t或者是C₀△xu

电荷是哪儿来的呢 电荷由电流输送产生

所以说导线上的电流在导线周围

建立起磁链L₀△xi

导线上的感应电势为u= L₀△xi/△t

这样的话由这两个关系我们就可以得到

u与i 等于根号L₀ △C₀ 也就是等于Z

就是导线的波阻抗

所以导线的波阻抗是由单位长度的电感

除以电容根号得到的

所以说这个波阻抗就决定了

它们的电压和电流的关系

也就是说你 在导线上施加一个电流

那它对应的电压是唯一的

我们就可以得到波速度

它是等于根号L₀C₀分之一

对于架空线来说它的波速度就是光速

对于电缆来说它的波速度只有光速的一半

也就说电流在电缆里的流动速度

要比架空线上慢

下面我们介绍波动方程

对于单个无损线来说

我们可以列出它的四个参数的等效电路就是

单位长度L₀单位长度的R₀

单位长度的C₀和单位长度G₀

这样的话我们可以得到它的一阶偏微方程

进而推导得到它的二阶偏微方程

对于这样一个二阶偏微方程

也是我们常说的波动方程

我们可以采用预算为一分

也就是拉斯变换进行求解

得到它的波过程的方程的解

根据拉斯变换的延迟定理

可以得到它对应的时域解

然后我们再通过变量置换

可以得到如下两个公式

也就是电流是等于if加上一个ib

电压呢等于uf加ub

那我们看看这个uf有什么性质

假设我们电压波的分量uf(x-vt)

以速度v向x方向流动

假设我们从x₁运作到x

它对应的时刻是t₁和t

我们可以推导发现是x-vt

等于x₁-vt₁的

也就是说它的电压波的分量

uf(x-vt) 这样的话

它的括号内x-vt是一个不变的

也就是说这样一个uf是

一个速度v沿着x方向运动

它是移动而没有发生形变

同样的话我可以发现ub(x-vt)

它也是沿着x反方向的运动的

也就是说我们把它称为反行波

前面的uf它是沿着正方向流动

我们称它为前行波

这样的话我们就可以得到

电压是等于前行波加反行波

电流也是前行波加反行波

那么来看看电压波和电流波有什么关系

电压波与电流波它是通过波阻抗Z来相互联系

电压波的符号只与对地电容的电荷的符号相关

而电流波的符号由电荷符号和运动方向来决定

这样我们就可以发现对于

电压的前行波和电流的前行波

如果两个都是正的话那uf/if等于波阻抗

如果是一个负的电压的前行波

那它对应的电流也是一个负的电流的前行波

二者相除仍然是等于波阻抗Z

那再来看一个反行波的电压

那它会产生一个负的反行波的电流

那这样的话 ub 除以ib是等于-Z

另外如果是个负的反行波负ub

那这样的话它会产生一个正的ib

也是电流的一个正的反行波

在这种情况下ub除以ib仍然是等于-Z

这样的话我们就可以发现

波阻抗对于前行波来说它

是它的全部电流是等于正波阻抗的

而对于反行波来说

反行波的电压除以反行波的电流等于负波阻抗的

我们发现波阻抗是约束的前行波的电压和

前行波的电流之间的关系

另外也是约束了反行波的电压

和反行波的电流之间的关系

但是前面有个负号

因此对于单个无损线来说

它的波阻抗表示的是同一方向传播的

电压波与电流波之间的比例大小

不同方向的行波Z前面它是有正负号

因此Z只与单位长度的电感和电容有关

与线路长度是无关的

所以对于一个波过程来说

它是既有前行波又有反行波的

对于一个输电上的电压和电流

我们再来看看u比i之间

的这种情况下它是等于uf+ub

除以if+ib我们发现它是不等于Z的

也就是不等于波阻抗的

所以我们最开始推导的电压除电流

等于波阻抗实际上它有个前提条件

是一个无穷长线 对它是没有反行波的

所以对于无穷长线来说的

它上面的电压除以电流是等于它的波阻抗

但是对于一个比较短的线路

在一个网络中的一个线段来说

它上面的总电压除以总电流是不等于波阻抗

所以说这是我们要注意的一点 另外

我们假设有两根线相交在A点相交

它的左边的波阻抗是等于Z₁

右边的波阻抗等于Z₂

这样的话我们知道

在A点 它只能有一个电压和一个电流

然后我们就可以推导得到

对于在第二根导线上的前行波

它是等于什么呢

它等于两倍的Z₂除以Z₁加Z₂乘上

这样一个电压 E

也就是说我们把这个2倍Z₂

除以Z₁加Z₂我们叫折射系数

等于阿尔法 另外

我们也可以得到第一根导线

的反行波是等于Z₂减Z₁除以

Z₂加Z ₁乘以我们施加的电压E

这样的话我们将Z₂减Z₁除以

这Z₂加Z₁是等于β反射系数 也就是说

两个输电线的上面波传过来的话

会产生折射和反射

所以这是波过程的另外一个重要的性质

阿尔法它是等于1+β的

它们之间的一个关系

假设我们线路末端是开路的

那也就说它折射系数等于2

反射系数是等于1

那么从能量的角度来解释P₂ 等于0的

也就是说它的全部能量都反射回去

使线路上的反射波到达的范围

单位长度总容量等于入射波能量的两倍

反射波到达后线路的电流为0

磁场能量也为零

所以全部的能量都储存在电场

这样的话它的电压也对应的要翻倍

如果线路的末端短路

那它的折射系数等于0 反射系数等于-1

我们从能量的角度解释的话

因为线路的末端接地短路

入射波到达末端后全部能量

反射回去成为磁场能量

也就是它的电流要增加一倍

另外一种情况

如果我们线路末端接有一个

负载电阻R等于一个传输线波阻抗Z₁

在这种情况下我们发现

它的折射系数等于1 反射系数等于零

就相当于我们的线路末端接

了一个另外的波阻抗相同的线路

到达末端后也是无反射

这种情况与这个Z₁波阻抗末

端接了一个相同的波阻抗的

导线它的波过程来说是完全一样的但是

这两种情况下的物理意义是相同的吗

显然是不同的

因为末端接电阻

它的电阻消耗能量以热能的形式要消耗掉

而末端接相同波阻抗的导线

它是没有发热这个情况的

所以两个的波过程相同

但它的物理意义是完全不相同 另外

我们可以利用这样一个原理在高压测量中

在信号电缆的末端来以匹配电阻

可以消除被测信号在电缆末端

的折反射引起的误差

对于波过程的另外一个关键的定理

就是彼德逊法则

我们根据前面的波过程的这样一个理论

当一根无穷长线它的波阻抗Z₁

接了一个Z₂波阻抗的导线

或者接了一个电阻式等于

Z₂的这样电阻上面的话

我看看有什么情况

我们可以推导得到2u₁(f)

也就是第一根导线的前行波两倍

是等于什么呢 是等于A点的

电压u₂+Z₁i₂

那这样的话我们就可以把它化

成了一个戴维南等效电路

如这样一个图所示，也就是说

当一个波沿一个无穷长的导线传过来的话

我们可以把这一个无穷长线

等效为这样一个等值电路

就相当于前行波过来的两倍

作为它的一个电压源

然后串联它的导线的波阻抗Z₁

然后末端接上被连接的电路

那它的范围刚才来说就是必须

是一个无穷长线是没有反射波的

这个彼德逊法则一个最关键的作用就

是模拟雷击现象也相当于是雷电从天上

沿着一个无穷长的线 雷电的通道

达到一个被击物体上面

但是我们要注意一点对于

在一个雷电的通道来说

我们在防雷分析中千万要注意

它的电流源i 不是2倍的i

而是如果模拟50kA的雷电流雷击的话

我们不能把50乘2说成100

我还必须用50 为什么呢

就因为这是雷电的定义

雷电的定义 我们的所谓定义的雷电流

实际上就是通道的雷电值的两倍

这是我们一定要注意的一点

我们现在看波经过电容和电感的情况

如果波经过电容的话

我们可以来显示它的彼德逊法则的

等效电路是采用微积分来进行推导

得到它的A点的电压

同样对于波经过电感的话

也可以采用彼德逊法则来进行推导

得到它的第2点的电压

这样的话我们可以得到它的时域解

如这个方程所示

然后我们可以发现它的

最大的陡度发生在t等于0时刻

我们就可以用前面的公式

可以推导得到du₂除以

dt它的一个图示

对于它的电容来说它等于2E除以Z₁C

对于电感来说它是等于2EZ₂除以L

也就是说我们这样一个波

经过电容或波经过电感它的陡度发生了变化

也就是说它的一个直角波

如果加在了输电线上面这里

有一个电容和电感之后它的波头陡度就会削弱

好 我们可以看一个例子

幅值E等于100kV直角波

发电机的绕组Z₂等于800Ω

绕组每匝长度是3m

匝间绝缘耐压为600V绕组中波速度

是6x10⁷m/s

我们要用一个什么样的并联电容器

来保护它的匝间绝缘

我们都知道对发电机来说由于它的槽绝缘是很弱

我们需要在端口采用电容

或者电感来保护来削弱它的波过程

一个波的陡度

我们通过分析就可以发现我们

如果采用一个0.33uF

的这样一个电容

就可以起到很好的削弱它的

在一个波的陡度的要求

另外对于波过程来说

还有一个关键的定理

我们看看根据前面的

前行波 反行波以及它们之间的关系

我们可以推导得到一个什么样的东西呢

通过推导我们可以得到

u加Zi是等于两倍的前行波的

另外u减Zi等于两倍的反行波

那这样的话我对一个网络上来说

对于中间的某一个输电线路一段

那它的在这个导线上的

前行波和反行波是固定的也就是说

u加Zi等于两倍的前行波

那它的右边两个前行波是一个常数

我们在U跟I的坐标器上做上一个图

那这样的话它就是这样一个直线

也就说U加iZ是等于常数

那它的边界条件什么决定

也是由两段的边界来决定的

然而这个线是可以滑动的

我们把它叫前行波的特征线

另外U减Z(i)等于两倍的反行波

在一个导线上的反行波的值也是固定的

所以它也是等于常数

我们把它叫反行波的特征线

它也是可以沿这个线来滑动

由边界条件来决定它的位置

好那我们来看看一个应用的案例

对案例一

有一个波阻抗Z₁接上一个Z₂ 的导线

我们可以列出它的方程

很容易找到这两个方程的焦点

那也就是A点的电压和电流

同样的话对于另外一个情况

一个Z₁的波阻抗的导线接到一个非线性

电阻避雷器上面

它的u是等于f(i)的

这样的话我们也很容易得到它的方程

左边的话 它是u+iZ是等于两倍的前行波的

右边的话 u是等于F(i)

这样的话它这个直线和

这个非线性曲线的交点

那就是A点的电压和电流

对另外一个复杂的情况

一个电压源E串上一个电阻RA

然后接到一根长度为l的输电线路上面

然后末端接上一个非线性电阻RB

前面这个RA也是个非线性电阻

这样的话我们这个得出A对于A点来说

若A等于E-RA 乘iA它是等于f(iA)

对于UB来说它是RB乘iB等于g(iB)

都是一个非线性关系

这样的话如果这两非线性曲线是已知的

然后我们可以从0时刻

从B点产生一个反行波 这样的话

它在A点这个曲线就会有一个交点

那这一个得到的值那就是A点的值

那么我们从A点也有一个

前行波朝着B点的方向发展

它与这个uB这个曲线的交点

那就是B点的电压值

然后再从E点有一个反行波

这样的话不停地作图

我们可以得到A点和B点的最终的电压

它们都是最终是无限的靠近趋于同一个值

这章我们布置个作业

电缆波阻抗Z比架空线小很多

但是线路输电的自然功率

P=u2/Z（U为线路额定电压）

则其输送的自然功率要比架空线路大很多

为什么不用地下电缆来进行远距离输电？

第二个问题是线路板的材料特性对信号

的传输速度有什么影响

这一讲到此为止谢谢大家