3.4 平面的投影在线视频

今天我们来学习平面的投影

首先了解一下平面的表示方法

在投影面上表示平面有两种方法

一几何元素表示方法

二迹线法

一一组几何元素的

投影来表示平面

如图所示

首先可以用不在同一直线上的三点

第二种方法是一条直线

和直线外的一点

第三种方法是相交两直线

第四种方法是两平行直线

第五种方法是用任意的

平面图形表示一个平面

如三角形四边形圆形等等

平面图形是最常用的

表达平面的方法

第二种是用迹线表示平面

有时也用平面与投影面的交线

即平面的迹线来表示平面

如图所示平面P与H面的

交线称为水平迹线

用PH表示

平面P与V面的交线称为正面迹线

用PV表示

平面P与W面的交线称为侧面迹线

用PW表示

PHPVPW两两相交的交点PxPYPZ称为

迹线的集合点

它们分别位于OX轴OY轴和OZ轴上

由于迹线既是平面内的直线

又是投影面的直线

所以迹线的一个投影与其本身重合

另两个投影与相应的投影轴重合

在用迹线表示平面时

为了简明起见

只画出并标注与迹线本身重合的

投影PHPVPW

而省略与投影轴重合的迹线投影

平面对一个投影面的投影特性

我们首先来看平面对一个

投影面的投影特性

如图所示根据正投影方法的原理

当平面平行于投影面时

其投影反映实形

当平面垂直于投影面时

其投影积聚为一直线

当平面倾斜于投影面时

其投影具有相似性

我们来看各种位置平面的

投影特性

也就是说空间平面相对于三投影面的

投射情况

他们所具有的投影特性

根据平面在三投影面体系中的位置

可分为投影面垂直面投影面平行面

投影面倾斜面三类情况

前两类平面称为特殊位置的平面

后一类平面称为一般位置的平面

它们怎样定义的呢

把垂直于一个投影面且同时倾斜于

另外两个投影面的平面称为投影面的

垂直面

垂直于V面称为正垂面

垂直于H面的称为铅垂面

垂直于W面的称为侧垂面

把平行于一个投影面而同时垂直于

另外两个投影面的平面称为投影面的

平行面

平行于V面的称为正平面

平行于H面的称为水平面

平行于W面的称为侧平面

与三个投影面都处于倾斜位置的

平面称为一般位置的平面

平面与投影面所夹的角度称为

平面对投影面的倾角

我们用αβγ分别表示

平面对H面V面和W面的倾角

不同位置的平面

它们具有不同的投影特性

下面我们来分别看它们的投影特性

一投影面的垂直面

如图所示

平面△ABC垂直于H面

在H面上的投影

积聚成直线abc积聚性的投影

与投影轴的夹角

分别反映了平面与另外两个投影面

V面和W面的倾角β和γ

在另外两投影面上的投影

仍为三角形△a‘b’c’

△a‘’b‘’c‘’

但面积缩小

同样如图所示

正垂面和侧垂面也具有相同的

投影特性

正垂面正平面投影为直线

侧垂面侧平面投影为直线

而其他两个面的投影具有类似性

所以

投影面的垂直面投影特征可以归纳为

1平面垂直于哪个投影面

它在该投影面上的投影就

积聚为一直线

并且这个投影和投影轴所夹的角度

就等于空间线段对相应投影面的倾角

2其他两个投影都具有类似性

而且面积较实形缩小

3只须一个投影就可确定平面的位置

哪一个投影为直线

平面就为该投影面的垂直面

我们再来看第二种情形投影面的

平行面

如图所示平面△ABC平行于V面

为正平面

在V面上的投影△a’b’c’

反映实形

而水平面投影△abc

侧平面投影△a‘’b‘’c‘’均积聚为一直线

而且分别与X轴Z轴平行

同理

如图所示

水平面和侧平面也具有相同的

投影特性

水平面△ABC的水平投影△abc为实形

侧平面△ABC的侧面投影△abc为实形

而它们其他两面投影具有

积聚性为一直线

而且分别平行于X轴Y轴Y轴Z轴

所以

投影面的平行面的投影特征

可以归纳为

1平面平行于哪个投影面

它在该投影面上的投影

反映空间平面的实形

2其他两个投影都积聚为直线

而且与相应的投影轴平行

对于投影面平行面的辨认

当平面的投影有两个分别积聚为

平行于不同投影轴的直线

而另一个投影为平面图形

则此平面平行于该投影所在的

那个平面

我们来看最后一个情形

一般位置平面

如图所示例如平面△ABC

与HVW面都处于倾斜位置

倾角分别为αβγ

其投影如图所示

一般位置平面的投影特征

可以归纳为

一般位置平面的三面投影

既不反映实形

也无积聚性

而都为类似形

对于一般位置平面的辨认

如果平面的三面投影都是类似的

几何图形的投影

则可判定该平面一定是

一般位置的平面

下面我们来讨论平面上的直线和点

首先看平面上的点

点在平面上的几何条件是

若点在平面内的一直线上

则此点在该平面内

因此在平面上取点

必须先在平面上取一直线

然后再在该直线上取点

这是在平面的投影图上确定点

所在位置的依据

如图所示相交两直线ABAC确定一平面P

点K取自直线AB

所以点K必在平面P上

从右边的投影图上

我们可以看到点K的投影分别在

直线AB的同面投影上

就可判断点K在平面P上

我们来看实际例子

已知K点在平面ABC上

求K点的水平投影

如图1所示利用平面的积聚性求解

K点在平面ABC上

而且知道K点的V面投影k′

所以K点的水平投影一定在

平面ABC具有积聚性的H面的投影上

如图1所示

通过在面内作辅助线求解

过点K在平面内作一条直线AD

所以过k′作直线a′ k′

交直线b′ c′于 d′

D点的水平投影d在bc上

连接adk在ad上

即可作出K点的水平投影

我们来看平面上的直线

判断直线在平面内的方法有两种

1若一直线通过平面上的两个点

则此直线必定在该平面上

如图所示相交两直线AB

AC确定一平面P

分别在直线ABAC上取点E F

连接EF

则直线EF为平面P上的直线

其投影图见右图所示

第二种方式

若一直线通过平面上的

一点并平行于平面上的另一直线

则此直线必定在该平面上

如图所示已知平面由

直线ABAC所确定

试在平面内任作一条直线

根据定理二

在V面过c′作a′ b′的平行线c′ d′

在H面过c作ab的平行线cd

其直线CD即为所求上述两个条件之一

是为我们在平面的投影图上选取直线的

作图依据

第三来看一下平面上投影面的平行线

属于平面且又平行于一个投影面的直线

称为平面上投影面的平行线

平面上的投影面平行线一方面要

符合平行线的投影特性

另一方面又要符合直线在平面上的条件

如图所示

已知AC为正平线

补全四边形ABCD的水平投影

先作出正平线AC的水平投影

可过a 作a c ∥OX轴

作出C点的水平投影c

再求四边形ABCD的顶点B的水平投影

连接a′ c′ b′ d′

其交点为k在H面上求出它的水平投影k

连接dk

可过b作OX轴垂线交dk于b

依次连接abbccd即四边形abcd为

它的水平投影

这一章节的要点我们总结一下

一平面的表示方法

常用的是:两平行线两相交直线

和平面图形

二平面的投影特性

何时投影积聚为直线反映实形

何时为类似形

投影面平行面垂直面

一般位置平面的投影特性

第三

属于平面的直线和点的投影关系

这一节知识点我们就学习到这