Video 3-10（2）计算练习题在线视频

我们再来看计算练习题

两种气体初始的温度

跟环境的温度是一样的

一个容器中间有一个活塞

活塞是完全导热的

这个题是怎样的呢

把活塞的销钉拔掉

那这活塞就要上下地移动

但是到足够长的时间之后 肯定要

停在某一个位置

这个时候温度跟初始的温度

以及环境的温度又一样

然后 请你来求活塞移动的距离

A腔中的气体交换的热量和功

以及B腔的气体交换的热量和功

还有第三个 气缸与外界交换的热量

最后 A腔的气体以及B腔的气体

熵的变化以及总的熵的变化

在两种情况下

第一个 活塞没有摩擦

第二个 活塞有摩擦

但是它经历了一个准静态的等温过程

首先我们来看一下

活塞没有摩擦的情况

我们来进行分析

活塞没有摩擦 完全导热

我们知道 在这过程中A腔跟B腔气体的质量是没有变化的

而且温度也没变

这是它给你的条件

我们可以列出来A腔 B腔各自的状态方程

由于质量没变 温度没变

我们可以得出这两个关系式

同时在终态的时候

满足一个什么条件呢

A腔与B腔气体的压力应该是相等的

这样一来 我们可以得出

这样的一个关系式

我们假设 容积的变化用x来表示

B腔气体的容积增加

A腔气体的容积减小

两者应该数值是相等的

我们可以利用这等式

把容积的变化量就可以算出来

然后再利用面积

就可以把活塞移动的距离算出来

我们再来算 交换的热量和交换的功

利用热力学第一定律

Q等于内能的变化量加上容积变化功

因为温度没有变 所以内能的变化量是等于0的

而对于这种没有摩擦的情况

销钉一拔掉 活塞的运动

就是上下跳

最后稳定在某一个位置 平衡

这个过程就是 非准静态过程

这个时候的容积变化功就不等于pdv

热量等于容积变化功

而容积变化功没有办法来确定

所以我们这Q和W 就是没有办法确定的

类似的 对于B腔的气体 也是完全类似的

也是没有办法确定的

QB等于WB 但是它具体等于多少

我们没有办法来确定

然后我们再来看 气缸与外界交换的热量

这个时候

针对的对象就是整个气缸

温度没有变 所以依然等于0

而这个时候容积变化功

也是等于0的

因为针对的是整个的气缸

所以W也是等于0

所以作为气缸来说

它与外界交换的热量

我们算下来 Q是等于0的

我们再来看 熵的变化量

熵的变化量 利用初终态的参数就可以确定

我们利用温度和比容

温度是不变的 所以这一项是等于0

而比容因为质量没有变

也可以用容积来算

我们最后可以算出来

我们用T0表示在这

后面我们会分析一些现象

这是我们A腔气体熵变的结果

类似的 B腔气体熵变的结果

我们也可以算出来

总的熵的变化量 就是两者加起来

这是活塞没有摩擦的时候

我们所有的问题都解决了

我们做一个讨论

我们来看一下 整体来看我们前面算了

交换的热量等于0

但是它的熵变是不等于0的 是大于0的

所以在这 我们再一次提醒大家注意

我们最初的ds等于δq 除以温度 那个q

一定是可逆条件下与外界交换的热量

而我们这个过程是一个不可逆的过程

所以尽管Q等于0

但是dS是不等于0的

第二个 无论是A腔气体还是B腔气体

它与外界交换的热量和功 是没有办法求的

但是熵变是可以求的

因为熵是状态参数

只要知道初终态就可以计算

我们再来看第二种情况

活塞有摩擦导热

经过一个准静态的等温过程

第一个问题还是计算活塞移动的距离

在这种情况下

活塞移动的距离

跟刚才没有摩擦情况下活塞移动的距离 是完全一样的

因为A B腔气体的质量没有变

温度没有变 利用的还是这个条件

所以这个结果跟刚才的是完全一样的

处理方法一样 条件一样

结果必然是一样的

第二个问题

A腔气体与外界交换的热量和容积变化功

B腔气体与外界交换的热量和容积变化功

告诉你的是一个准静态的等温过程

那么这个容积变化功 就可以用准静态等温过程容积变化功的计算式来计算

我们可以给它算出来 具体的数值

对于B腔的气体也是一样的

代进去具体的数值

可以算出来

我们发现 WA的绝对值大于WB

也就是说 A腔气体膨胀做的功

比B腔气体被压缩的那个功要大

那么它俩的差值跑哪去了呢

它实际上是摩擦消耗了功

恰好就是它俩的差值

第三个问题

气缸整体与外界交换的热量

跟刚才是一样的 它还是等于0

最后一个问题 各自的熵变

那三个熵变 那么熵变的计算跟刚才是完全一样的

而且终态是一样 所以数值也是一样的

我们再来进行一个讨论

我们来看 摩擦消耗的功等于11.02 J

这个数值 恰好就等于环境温度乘以整个系统的熵变

这从数值上来看

我们得出来这个结果

实际上它是反映了

摩擦导致做功能力损失 就等于环境温度乘以系统的熵变

这是我们第四章要讲的

也就是说 这两者相等 并非巧合

我们第四章要讲这个内容

我们再来看第二个计算练习题

这个是我们教材上的一道题 第三章的第13题

告诉你一个氧气瓶 它的容积告诉你了

初始的压力告诉你了

初始的温度与环境温度相等 也告诉你了

然后这氧气瓶快速地放气

放气终了的压力也告诉你了

请你来求 这个时候 瓶里气体的温度

以及放出去的气体的质量

我们先理一下解这个题的思路

由理想气体的状态方程

我们知道初始的压力 初始的容积 初始的温度

所以 我们可以把初始状态气体的质量算出来

我们知道终态的压力 终态的容积也知道

如果说我能够把终态的温度

求出来的话 那么利用状态方程

我们把终态的质量就可以算出来

两者的差值呢

就是放出去的质量

这是我们解题的一个大概的一个路子

我们现在来看 取氧气瓶为开口系

利用开口系能量方程

来求一求T2

开口系能量方程交换的热量 等于内能的变化量 然后加上出去的焓 减去进去的焓 加上净功

对于具体的问题

快速地放气 所以Q是等于0

还没有进去的

也没有做功

最后就剩这两项

这是一个放气过程

所以我们对它进行积分

具体地来看

右侧的这个焓

一个放气过程

所以焓应该是变化的

它随温度变化

气瓶里的气体的状态发生变化

那么焓就发生变化

所以它是一个变量

这个过程是怎样的一个过程

是等温 是等压 是等容 是等熵

也都没有办法来确定

那么我们分析到这儿

下面没有过程方程就没法分析 对吧

所以我们回到初始的那个表达式

这个内能Ucv是气瓶中气体的总内能

所以我们可以用气瓶内气体的质量m与比内能u的乘积来表示

然后这个比焓hout， 就是气瓶中气体的比焓h

而这个δmout呢 它是以气瓶为参照物时气瓶内气体质量的微小变化

那么它与气体自身质量的变化dm 应该数字相等符号相反

也就是说δmout 就等于 -dm

这样一来 上面那个表达式

就可以变成这样

我们再把左侧的微分给它展开

然后焓减去内能等于推进功

对于理想气体 比热容是常数的时候

我们进一步地推导

可以得出来 dm比上m

等于Cv除以R 然后 乘以dT比上T

是这样的一个表达式

对于具体的问题

质量乘以比容等于气瓶的容积

而在这过程中

V是不变化的 容积是不变的

所以我们可以推出来

dm比上m等于dv比上v

当然中间有一个负号

然后 我们把这个表达式代到左上角的那个公式中去

然后对它再进一步地进行整理

最后我们推出来

温度乘以比容的k-1次方等于一个常数

对它再进一步地进行变换

推出来什么呢

压力乘以比容的k次方等于一个常数

也就是说绝热钢瓶放气

瓶子里的气体遵循这样的一个规律

也就是 压力乘以比容的k次方等于一个常数

在后面大家处理问题的时候

可以直接来用这个结论

对于这个问题我们知道了过程方程

我们就可以把终态的温度给它算出来

只不过我们不再去算了而已

这个结论可以直接来用

我们推导的目的就是告诉大家

以后当你遇到绝热钢瓶放气的时候

瓶里的气体遵循这样的一个规律

这个结论大家可以直接去用

我们再来看 第三个计算练习题

右下角是示意图

这是一个小瓶 里面装有氦气

它初始的温度用TA来表示

小瓶是绝热的

保温箱一开始是真空

但是由于小瓶漏气 在某一时刻

小瓶子里面的氦气的温度 用TA′来表示

而保温箱里的氦气温度 用TB来表示

氦气是理想气体

请你来分析这三个温度的相对大小

也就是小瓶里气体初态的温度 终态的温度以及保温箱的温度

这三个温度之间的相对大小关系

为了把这三个温度联系起来

我们取所有的氦气为系统

这个时候是闭口系

所以用热力学第一定律

Q等于ΔU加上容积变化功

因为是绝热的 所以Q等于0

没有做功部件

所以最终得出来一个结果

内能的变化量是等于0

内能的变化量等于0 写出来

然后对这个表达式

再进行整理

这三个温度包含在这个表达式中

我们再进一步地分析

这是一个绝热刚性的小瓶

它在放气

它瓶里的气体遵循我们刚才推导的那个结论

也就是说 压力乘以比容的k次方应该等于常数

这样一来 对于瓶内的气体

终态的温度与初态温度的比值

应该等于终态的压力

与初态的压力的比值

乘以一个k分之k-1次方

就是我们这个公式所表示的

然后接着我们来看 小瓶放气

所以它终态的压力

一定比初态的压力要小

由这个公式我们可以看出来

TA′一定是小于TA的

这样一来 再代到上面这个公式中

我们就发现怎么样

TA-TB要小于0

也就是说

TA是小于TB的

所有的都写出来就是

小瓶终态的温度比小瓶初态的温度要低

哪个温度最高呢

保温箱里面气体的温度是最高的

这怎么来解释呢

出来的气体的温度怎么变高了呢

实际上它出来的是什么 出来的是焓

是在内能的基础上 还加了推进功

所以遗漏到保温箱里面气体的温度是最高的

终态小瓶里气体的温度是最低的

好 到此我们结束第三章所有的内容

第三章理想气体的性质与过程 非常重要

是我们后续内容的一个基础

所以希望大家能够非常熟练地掌握