第三讲 三次数学危机在线视频

同学们好

欢迎来到本次数学文化的课堂

在数学发展过程中有许多矛盾

例如有穷与无穷 连续与离散 存在与构造等

在数学史上贯穿着矛盾的斗争与解决

当矛盾激化到涉及整个数学的基础时就会产生数学危机

今天我们就来谈谈数学历史上的三次危机

我们先来讲一讲第一次数学危机

在2500年前

毕达哥拉斯学派成员希伯索斯的发现引发了第一次危机

毕达哥拉斯学派是一个致力于数学和哲学研究的宗教组织

促进了理性哲学的发展

对柏拉图等数学家产生了很大的影响

毕达哥拉斯学派发现

任意一个直角三角形

其三边长度

都满足两条直角边的平方和等于斜边的平方

西方将此定理称为“毕达哥拉斯学派定理”

中国称之为“勾股定理”

当时人们对有理数的认识还很有限

对于无理数的概念更是一无所知

毕达哥拉斯学派的“万物皆数”理论

认为宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比

虽然“万物皆数”理论在当时看起来相当完美

但是

希伯索斯根据勾股定理通过逻辑推理发现

边长为l的正方形的对角线长度既不是整数

也不能表示成整数的比

这一发现

使毕达哥拉斯学派的“万物皆数”理论

从根本上受到了冲击

数学史上称之为“第一次数学危机”

后来欧多克斯给出的“两个量的比相等”的新定义

即a比b=c比d

如果取a和c任何相同的倍数

b和d任何其他相同倍数后

c的倍数大于 等于或小于d的倍数

便有a的倍数对b的倍数的相应关系

第一次数学危机得到部分解决

这一危机的彻底解决是在19世纪

数系的扩充和实数理论的建立

数系扩充后不能表示成整数比的无理数

也是实数系中的数

从而“万物皆数”的命题就是正确的

第二次数学危机发生在牛顿创立微积分时期

由贝克莱对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的

大家已经学习了微积分

试着用自己的语言描述一下什么是“无穷小量”

牛顿在自由落体瞬时速度的数学推导过程中

首先将无穷小量作为分母作除法

然后把无穷小量看作零

去掉包含它的项得到最后公式

贝克莱提出质疑

在作除法时是以△t≠0为前提

为什么最后又令△t=0求得瞬时速度呢

在近200年里都没有人能够解答贝克莱的问题

直到19世纪柯西详细 系统地发展了极限理论

把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来

第二次数学危机得到基本解决

此后

魏尔斯特拉斯创立了语言精确地定义了“无穷小量”

消除了像无限趋近于等对极限含糊不清的说法

使分析学从完全依靠运动学直观理解和几何概念当中解放出来

至此第二次数学危机才彻底解决

第二次数学危机以后

数学家们普遍重视了数学理论基础的建立和巩固

随着实数理论

极限理论等数学分支的出现和发展

人们不禁思索数学的基础是什么

就在这个时候集合论出现了

算术以整数分数为研究对象

微积分以变数函数为研究对象

几何以点线面及其组成的图形为研究对象

用集合论的语言

算术的研究对象可以说成是以整数分数组成的集合

微积分的研究对象是以函数组成的集合

几何的研究对象是以点线面组成的集合

这样看来集合论就是数学的基础

因此

只要证明集合论没有矛盾就可以解除“数学基础”的危机

但是还没有证明

第三次数学危机就爆发了

英国数学家罗素提出了罗素悖论

把集合分成两种

第一种集合

集合本身不是它的元素

即 

A不属于A

第二种集合

集合本身是它的一个元素A∈A

例如一切集合所组成的集合

那么对于任何一个集合B

不是第一种集合就是第二种集合

假设第一种集合的全体构成一个集合M

那么M属于第一种集合还是属于第二种集合

如果M属于第一种集合

那么M应该是M的一个元素

即M∈M

但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合

就产生了矛盾

如果M属于第二种集合

那么M应该是满足M∈M的关系

这样M又是属于第一种集合

这也产生了矛盾

罗素悖论通俗地称为理发师悖论

在某个城市中有一位理发师

他给所有不给自己刮胡子的人刮胡子

也只给这些人刮胡子

有一天这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了

那么他能不能给他自己刮胡子呢

如果他不给自己刮胡子

就属于“不给自己刮胡子的人”

他要给自己刮胡子

如果他给自己刮胡子

他又属于“给自己刮胡子的人”

他就不该给自己刮胡子

无论哪一种情况都产生矛盾

罗素等人认为此悖论的本质是“自我指谓”

就是一个待定义的概念

用包含该概念在内的一些概念来定义

造成恶性循环

德国数学家策梅洛建立了一种

不会产生悖论的集合论即Z-系统

后来数学家弗芝克尔加以改进

形成了一个无矛盾的集合论公理系统

即ZF-系统

再后来又加入了选择公理得到ZFC-系统

这场数学危机到此缓和下来

但是新系统的相容性并未证明

在公理化集合论出现不久庞加莱形象地评论到

为了防狼

羊群已经用篱笆圈起来了

但却不知道圈内有没有狼

把悖论比作狼

把公理化集合论中的集合比作羊群

公理化集合论的公理就是篱笆

已经出现的悖论都排除在公理化集合论之外了

但新系统内部是否有其他悖论呢

因此第三次数学危机并没有得到完全解决

好

我们总结一下这三次数学危机

三次数学危机都和无穷以及人们对无穷的认识有关

第一次数学危机的要害是不认识无理数

而无理数是无限不循环小数

第二次数学危机的要害

是极限理论的逻辑基础不完善

而极限正是有穷过渡到无穷的重要手段

第三次数学危机的要害

是人们犯了“自我指谓” 恶性循环的错误

这里所有集合涉及无穷集合

虽然三次数学危机已经过去了

但三次数学危机的解决

给我们带来许多新的思想和新的方法

极大地推动了数学的发展

数学在矛盾中产生

在矛盾中发展

无穷无尽的数学世界还需要被探索 被证明

大家通过对三次数学危机的学习

课下思考自己有哪些收获