生活中的数学问题（二）在线视频

上一节

我们从大家耳熟能详的生活实例入手

以初等数学的视角进行了描述

数学是研究数量关系和空间形式的科学

数学与人类生活和社会发展息息相关

没有数学

很难想象当今人类社会进入了一个怎样的时代

随着现代科学技术和计算机科学的迅猛发展

人们获取数据

和处理数据的能力都得到大幅度增强

特别是伴随着大数据时代的到来

人们常常需要对网络

文本

声音

图像等反映的信息进行数字化处理

使数学的研究领域与应用领域得到极大拓展

数学直接为社会创造价值

推动社会生产力发展

数学的发展

让信息技术迅速发展

世界正进入大数据时代

下面我们举几个例子看看

案例一

人群中至少有二人生日同一天的概率问题

概率论是数学中比较古老的分支

可能很多同学都知道概率论的产生和赌博有关

大家小时候也都玩过

石头 剪刀 布

就是一个概率游戏

今天我们通过概率问题去寻找你的另一个他或她

当然这个他或她

不是指你的恋人

而是和你生日同一天的人

这是一个有趣的问题

大家从小学到中学再到大学

你在所处的群体

比如你们班中

有没有发现和你生日相同的人

怎样才能找到和你生日相同的人

若一年按365天计算

现有M个人学习或聚会

M≤365

则至少有二人生日同一天的概率为

实际上我们是先算出

没有两个人的生日在同一天

那就是说

没有两个人生日在同一天

分母就是365的m次方

分子就是365*364

一直乘到365-m+1

用对立事件

1-(P)A对立事件

就可以求出

至少有两个人生日在同一天的概率了

当m=40的时候

至少有两人在同一天的概率是

89.1%

如果m=50

至少有两人生日同一天的概率就达到了97%

当m=64

至少有两人生日同一天的概率就是99.7%

m=100的时候

至少有两人生日同一天的概率就= 99. 99997%

概率为1

就可以肯定会发生的事件

那么概率为0.9999997

这是大概率事件

在生活中也可以认为是一个肯定会发生的事件

这样我们可以认为如果一个班级有64人以上

几乎可以肯定

就会有两个同学生日相同

也即

至少有二人生日同一天

这一事件几乎总会出现

只要有64人以上在一起

就会有两个人生日相同

这正应了那句话

天涯何处无芳草

用数学公式一样可以推导出诗一样意境

当然这是说笑

但即使这个看似趣话的结论

也对社会生活产生影响

例如身份证编号就要考虑重号问题

复杂的比如粒子运动的研究

就要探寻粒子间相互冲撞的可能性

案例二

奇妙的蜂房结构

学自然科学时我们都听说过一个学科

仿生学

就是人类通过自然生物的学习

探寻其中的科学奥秘

从而研究出人类需要的东西

比如大家熟悉的声纳就是从海豚仿生而来的

今天我们从数学角度来仿生一下蜂巢

蜂巢的精巧构造十分符合需要

蜂房的入口是由若干正六边形相嵌而成

而底部是由三个全等的菱形组成的锥体

比较牢固

钝角和锐角分别是和

109°28'和70°32'

经过研究

蜜蜂建造这样的蜂房使用的材料最节省

结构最紧密

令人吃惊的是

世界上所有蜜蜂的蜂窝

都是按照这个统一的角度和模式建造的

蜜蜂的蜂蜜放在水中也呈现正六边形相嵌状

是谁教了蜜蜂智慧

是上帝吗

以至于古希腊哲学家认为蜜蜂们被赋予了

某种几何方面的先见之明

那么这种六边形构成的蜂巢为什么是这样

我们从数学角度来推算一下

将正六边形的中心点o抬高到P点

四棱柱的表面积发生了变化

我们用下面的算法来求这个表面积的最小值

就可以得出钝角是109度28分

锐角是70度32分

这里我就不赘述了

蜜蜂所做的六角六面状窝

因多墙面的排列和一系列连续的蜂窝形的网状结构

可以分散承担来自各方的外力

使得蜂窝结构对挤压力的抵抗

比任何圆形或正方形要高得多

科学家对蜂窝结构的研究发现

即使非常纤薄的材料

只要把它制成蜂窝形状

就能够承受很大的压力

这种蜂巢结构引起了科学家们的极大兴趣

开发出了蜂巢结构的建筑材料

广泛用于各种领域

足球球门球网的编织

也是由若干正六边形相嵌而成

在航空航天上广泛采用蜂巢结构

减轻质量

增加强度

还可以隔音 隔热等

现实生活中很常见的有

利用六边形拼接成各种图案的平面镶嵌

你见到过这样的装修吗

这就是利用数学来美化我们生活经典实例

以上分析的蜂房结构之精妙令世人赞叹不已

案例三

银行贷款的还款方式

随着时代的发展

人们的消费观念有了很大的变化

越来越多的人需要买房 买车

甚至有的还需要投资

不管是买东西还是投资

这是今后大家都将面临的的问题

钱不够了怎么办

向银行贷款就是很普遍的事情

贷款就要还款

不仅要还本金

还要付利息

那么究竟怎么还款合适呢

很多人都觉得算起来很繁琐

索性都交给业务人员去算

算出来多少是多少

这可是钱啊

怎么就这样糊里糊涂地认账了呢

应该做一个明白的消费者

用数学来算一算钱总是值得的

我国银行现行有两种还款方式

等额本金与等额本息两种还款方式

一般来讲

利息是按照利率来计算的

如

向银行贷款120万

也就是欠银行120万

如果月利率为0.4425%

每月要付的利息为12000000.4425%=5310（元）

现假定贷款120万元的期限是10年

共计120个月

如果按等额本金还款方式

如何还款

将120万本金平均分到120个月归还

每月除了还本金1200000120=10000（元）外

还需付利息

第1个月连本带利应该付给银行

10000+5310=15310（元）

第2个月由于已经还了10000元本金

还欠银行本金1200000-10000=1190000（元）

按此计算利息应为11900000.4425%=5265.75（元）

以后

每月归还本金10000元

欠银行本金每月减少10000元

应付利息每月减少100000.4425%=44.25（元）

以此类推

第k个月欠本金=1200000-10000k（元）

第k+1个月应付的利息aк*0.4425%=5310-44.25k（元）

第k+1个月连本带利

应还

10000+（5310-44.25k）=15310-44.25k（元）

以上所用的计算公式为

支付的利息=期初余额乘贷款利率

本期还款额 =支付的利息+偿还的本金

期末余额=期初余额-偿还的本金

下一期期初余额=上一期期末余额

等额本金还款法计算起来比较容易

但对贷款者在一开始的还款压力相当大

更何况贷款者之所以贷款

就是因为缺钱

而且往往在开始的时候更缺钱

这更加重了还款压力

因此银行推出了另一种还款方式

等额本息还款方式

即每月付给银行的本金和利息总额始终保持相等

如果按等额本息还款

计算方法如下

当月利率r=0.4425 %

设每月还款额为x

则

第n个月还款额就应该等于

1+r乘上第n-1个月的还款额

在减去x

n=1，2，、、、，120

10年

yn=0

按递推公式计算如下

最终我们得到x

也就说

每月还款额x等于

y0乘上r乘上1+r的n次方

比上1+r的n次方减去1

当贷款金额为1200000 元

贷款月数为120月

每月利率0.4425%时

每月还款额为12861.81313 （元）

经过计算

两种还款方式比较如下

还款方式是等额本金的时候

优点就是

本金保持相同

利息逐月递减

月还款数递减

缺点

贷款人起初还款压力较大

但是随时间的推移每月还款数也越来越少

适用人群

适合有一定经济基础

能承担前期较大还款压力

且有提前还款计划的借款人

而等额本息

优点是

本金逐月递增

利息逐月递减

月还款数不变

缺点是

支出利息较多

还款初期利息占月供款的大部分

随本金逐渐返还

本金占每月供款的比重增加

适用人群

每月归还相同的款项

方便安排收支

适合经济条件不允许前期还款投入过大

收入处于较稳定状态的借款人

因此

大家就知道两种还款方式各自的的优越性了

总之

生活中的数学问题随处可见

不胜枚举

数学是高大上的

也是接地气的

只要能合理运用

它会成为你一生很好的朋友

生活中的数学就讲到这里

谢谢大家