芝诺悖论与无穷大（三）在线视频

同学们好

现在

我们再来思考一个问题

那就是无穷大可以比较大小吗

我们先看一个例子

一袋黄豆和一袋大米

黄豆数目多还是米的数目多

最直接的做法是你拿一颗黄豆

再拿一粒米

黄豆和米粒一一对应

然后再拿一颗黄豆

拿一粒米

再次对应起来

该操作一直进行下去

哪个袋子先拿完

先拿完的数量就少

我们把这个方法推广到无穷大层面

比方说

所有正整数的个数与所有正偶数的个数哪个更多

直觉上应该是整数个数比偶数个数更多

因为整数包括所有的奇数与偶数

但数学上并不是这样的

根据我们刚刚介绍的一一对应的办法

偶数可以写成2N

N是整数

例如当N=1的时候

就会产生一个对应的偶数2

当N=2的时候

就会产生一个对应的偶数4

当N=3的时候

就会产生一个对应的偶数6

这样就出现了一个有趣的结果

那就是所有的偶数和整数一一对应

因此

我们就得出了偶数的个数与整数的个数

一样多的结论

同理

我们也可以把奇数表示为2N+1

同样也是一一对应

因此

我们得出结论

即偶数的个数等于奇数的个数

也等于整数的个数

我们再来讨论一个问题

正有理数与自然数哪个更多

我们可以把所有的正有理数排列出来

排列成一个无穷矩阵的形式

在第一行里

我们让所有有理数的分母都是1

第二行里所有的分母都是2

第三行所有的分母都是3

依此类推

然后

第1列所有有理数的分子都是1

第二列分子都是2

第三列分子都是3

依此类推

把所有的有理数都排列下去

那么我们的问题是

所有的正有理数能和自然数建立一一对应吗

我们可以划一些斜线段

1/1在一条线上

2/1

1/2在一条线上

3/1

2/2

1/3在一条线上

等等

也就是说

在一条线段上的有理数的分子和分母的和

是一个确定的数

这样

我们可以把所有的有理数串在一起

一个一个排列下来

例如

1/1就作为第一个数

2/1作为第二个数

1/2作为第三个数

1/3作为第四个数

依次类推

串成一串

这样

正有理数就可以和自然数建立一一对应

从而

正有理数和自然数也是一样多的

这就是数学家康托令知识界震撼的无穷理论

它说明了无穷大的的一个奇异性质

那就是部分跟整体一样大

康托是德国数学家

23岁获得博士学位

是集合论的创立人

但是

由于他的理论超越直观

所以曾受到当时一些大数学家的反对

其中就包括

被誉为博大精深

富于创举的数学家Pioncare也把集合论

比作有趣的“病理情形”

甚至他的老师也曾说Cantor是“神经质”

走进了超越数的地狱

当然对于这些非难和指责

Cantor仍充满信心

他说

我的理论犹如磐石一般坚固

任何反对它的人都将搬起石头砸自己的脚

他还指出

数学的本质在于它的自由性

不必受传统观念束缚

来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托

使他心力交瘁

患了精神分裂症

被送进精神病医院

可是

真理是不可战胜的

也有许多卓越的数学家

被康托首创的集合论所起的作用而打动

希尔伯特是最支持康托理论的数学家之一

它大声疾呼

没有人能把我们从康托为我们建立的乐园中赶走

那么

一个问题自然就来了

难道所有的无穷多数集都是一样多的

无穷大数能进行比较吗

我们说答案是

不是所有的无穷多数集都是一样多的

只有和自然数集可以建立一一对应的集合

我们才称为可数集

可数集里面的元素都可以用1,2,3,4的方式数出来

数学上

用基数或者势来表示集合包含的元素个数

如果两个集合间能建立一一对应

则称这两个集合等势

但是

不是所有的元素为无穷多的集合都是一样多的

例如

实数集

一条线段上的所有点构成的集合

就都不能用1,2,3,4... 数出来

它们比自然数多得多

康托用对角线法巧妙的证明了它们都不是可数集

好

那么一个新的问题来了

就是势或者基数可以比较吗

根据康托提出的一一对应的办法

如果

两个集合的元素存在着一个一一对应的关系

那也就是如果按照某种规则

一个集合中任何一个元素

都能在另一集合中找到唯一的一个元素

与之相应

反过来也一样

则说这它们的势（或基数）相等

例如

每个公民有张身份证

公民的集合和身份证的集合等势

5个苹果的集合

比红 黄 绿3种颜色的集合势大

在我们网上马甲集合的势比博主集合的势大

好下面我们来看一下无穷大的等级

康托定义了无穷大的头三级

第一级是所有整数和分数的集合

也就是可数集

将这个可数集的元素个数记为阿列夫零

第二级是一切无穷大

它是线 面 体上的所有几何点的集合

这个集合的基数记为阿列夫一

它比阿列夫零大得多

第三级无穷大

是所有几何曲线的数目构成的

基数记为阿列夫二

比阿列夫一要大得多

我们这里在解释一下

第三级无穷大是什么意思呢

假如你随手画一条歪歪扭扭的曲线

随便画

你肯定能够画出无穷多种形状的曲线

这些千奇百怪的曲线的总数

是无穷大的

而且是第三级无穷大

是最高等级的无穷大

直到现在为止

数学家也没有发现比这个无穷大还大的数字

那么

有一个问题一直困扰着康托

直到他去世也没有解决

这个问题就是

是否存在基数严格大于阿列夫0

又严格小于阿列夫1的集合呢

这个集合存不存在

当时康托猜想不存在

那么我们现在知道

这就是著名的连续统假设

好

同学们有兴趣的话

可以自己搜索一些这方面的资料

我们今天的课就讲到这里

谢谢大家