芝诺悖论与无穷大（二）在线视频

同学们好

这节课我们来介绍一个无穷大的旅馆

希尔伯特旅馆

在二十世纪初

德国的哥廷根大学

是全世界最负盛名的数学研究中心之一

数学家希尔伯特

是哥廷根大学的一位声名显赫的教授

在1924-1925年的那个冬季学期

他进行了一系列关于无限的讲座

涉及数学 物理学和天文学等领域

在其中一次演讲中

他用了一个例子

来解释有限集和无限集之间的关键区别

他的这个例子是这样的

彼特是芝加哥大学的学生

圣诞节快到了

他从芝加哥开车回家到波士顿

原来计划一天开到的

傍晚8点左右

彼特感觉太累了

还得开4小时左右才能到达呢

于是

彼特来到纽约州一个小镇

决定找个旅馆住一晚再说

可是不知道为什么

今天这个小镇上好像特别热闹

镇上大大小小的旅馆都给住满了

彼特正要发动汽车

上高速公路去下一个地点找住处

却被一条醒目的广告吸引住了

这条广告是这样叙述的

已经客满

但永远接受新客人

因为我们是希尔伯特无限旅馆

彼特看不懂这句话是什么意思

但既然这个旅馆还可以接受新客人

就去试试吧

旅馆经理很高兴地为彼特办理了入住手续

将他安排在1号房间

彼特很好奇地问经理

不是客满了吗

为什么1号又是空的呢

于是

经理兴致勃勃地

向彼特解释他的这个“希尔伯特无限旅馆”

希尔伯特旅馆与别的旅馆不同的地方是

它的房间数目是无穷大

其他的旅馆如果客满了

那就再也不能接受新客人了

可房间数目无限多的旅馆不一样

“客满”不等于“不能接受新客人”

原来所有的房间都住满了人

为什么客人从一个房间搬到了另一个房间

就有空房间了呢

经理的办法是

把1号房间的客人挪到2号房间

2号房间的客人挪到3号房间……

这样一直下去

也就是把n号房间的客人挪到(n+1) 号房间

从而空出1号房间给新来的客人

原来的客人也不会落得无房间可住

彼特对此产生了兴趣

思考了几分钟

他好像突然若有所悟

你的办法的确有趣……不过

既然如此

何必兴师动众地移来移去多此一举呢

把我安排到最后那个房间不就好了吗

经理笑了

他说

看来你还没有真明白啊

你能说出最后那个房间是多少号吗

这就是无穷大与一般有限数目的区别啊

经理又继续向彼特介绍他的无限旅馆

经理说这种旅馆不仅仅可以继续接受

像彼特这样一个一个来报到的新客人

即使是一次来了“无限多”个（可数）的客人

他也有办法让他们住进来

对无限多个新客人

经理将原来1号房间的客人移到2号房间

2号房间的客人移到4号房间

3号房间的客人移到6号房间

也就是说

将原来第n号房间的客人移到第2n号房间去……

这样移动的结果将会空出所有的奇数号码的房间

也就是无限多个房间

这样便能住下无限多新来的客人了

还可以继续下去

即使是同时来了无限多辆汽车

每辆都载了无限多个客人

我也有办法解决他们的住房问题

我让……经理又滔滔不绝地说了一大堆

这时

经理的电话铃响了

原来是他的老板提醒他

说他刚才最后一段对顾客的解释不够严谨

“无限多”辆车

每辆车还有“无限多”个人的这种情况

不是那么好办的

要加上一些条件

那就是

这些人要是可数的

预先按座位进行编号

于是

经理眨眨眼睛

继续向彼特解释

这无穷大的学问很大

无穷大可以进行分类

是用‘势’来比较大小

给你解释一天也解释不完啊

彼特彻底服了

心想

这个旅馆的经理和老板原来都是数学家啊

想到数学

彼特才记起历史上有个名字叫做希尔伯特的大数学家

好像有个什么旅馆悖论以他命名

彼特说

这是不是叫做希尔伯特悖论啊

经理说

是有这么个说法

但这并不是什么悖论

数学逻辑上并无矛盾之处

只是充分说明了无限集合的性质

与有限集合的性质完全不相同

这个时候彼特想起了著名的芝诺悖论

认为数学家都喜欢狡辩

不过彼特也喜欢狡辩

他对经理说

你这个"无限"

不过是个数学上的概念

它与事实是不符合的

你看

你这个旅馆占地面积有限

怎么可能容纳下无限多个房间呢

就算不是逻辑上的悖论

也可算是一个与实际情况不相符合的"佯谬"吧

经理哈哈大笑

你又错了吧

占地面积虽然有限

往空中可是能无限发展啊……不管怎么样

赶快去你的1号房间休息吧

彼特好像有所感悟

无限大集合加上一些元素

还是无限大集合

彼特躺到床上

迷迷糊糊进入梦乡

脑袋中还在转悠着“有限” “无限”……

希尔伯特旅馆说明

无穷大的性质

与我们在普通算术中所遇到的一般数字大不一样

希尔伯特说

无穷大

任何一个其他问题

都不曾如此深刻地影响人类的精神

任何一个其他观点

都不曾如此有效地激励人类的智力

然而

没有任何概念比无穷大更需要澄清....

好

本节课我们就讲到这里

我们下节课再继续