第十一讲 蝴蝶效应与分形龙在线视频

同学们好

今天我将为大家讲解的内容是

走近分形与混沌—蝴蝶效应

我们先来看一首翻译过来的英文诗

钉子缺 蹄铁卸

蹄铁卸 战马蹶

战马蹶 骑士绝

骑士绝 战事折

战事折 国家灭

好 我们再来看一首

我们国家唐代大诗人苏轼写的诗

斫得龙光竹两竿

持归岭北万人看

竹中一滴曹溪水

涨起西江十八滩

好 那我们大家都应该知道有这样一句成语

失之毫厘 谬以千里

那么我们以上的这些文字

都可以用一个现代著名而热门的科学术语来概括

那就是

蝴蝶效应

什么是蝴蝶效应呢

这个名词最早起始于20世纪60年代

源至研究非线性效应的美国气象学家洛伦茨

洛伦兹研究长期天气预报问题的时候

在计算机上用一组简化模型

模拟天气的演变

为了更细致地考察结果

在一次科学计算的时候

洛伦兹将5.06127输入为5.06

就是这万分之一的省略

却提供了两份截然不同的天气预报

开始他认为是计算机的故障

排除了这种可能后

他发现

他输入的不是完整的数据

经过多次计算表明

初始条件的极微小差异

均会导致计算结果的很大不同

1972年美国科学发展学会会议上

洛伦兹用了一个形象的比喻

来表达他的这个发现

他说

可以预言

一只蝴蝶在巴西煽动翅膀

可能会在美国德克萨斯引起一场龙卷风

这就是混沌学中著名的蝴蝶效应

也是最早发现的混沌现象之一

从此

令人着迷

发人深省的蝴蝶效应

就以其大胆的想象力与迷人的美学色彩

更加之深刻的科学内涵与内在哲学魅力

倾倒了不断在复杂系统中

苦苦求索的芸芸众生

那么混沌是什么呢

要理解混沌的概念

最好先理解分形

分形又是什么呢

要理解分形

最好先从一个例子说起

好

那就让我们从一个不算很复杂

也不算很简单的分形的例子

分形龙说起吧

我们拿着一条细长的纸带

将纸带对折

接着把对折后的纸带再对折

又再对折

重复这样的对折几十次

那么大家可以看到我这个图片

直观的理解一下这个过程

然后

我们松开纸带

从纸带侧面看过去

就像我这张图一样

我们得到是一条弯弯曲曲的折线

请大家别小看这个连小孩子都会做的游戏

从它开始

我们可以探索一连串现代科技名词

分形

混沌

蝴蝶效应

生命产生

系统科学等等

我们把纸带对折一次的动作

用数学的语言来表述

它对应于几何图形的一次迭代

就像我们刚才所描述的纸带对折

那种循环往复的迭代操作

所得到的最终图形叫做中国龙

或者也称为叫分形龙

那么下面这个图(1.2)就描述了

分形龙曲线的几何图形生成过程

那么我们这里需要提醒一点

就是这个图(1.2)的迭代过程

与最开始提到的折纸带游戏

有那么一点不同之处

就是我们在折纸带的时候

纸带的长度是不变的

而在迭代的过程中

我们是保持初始图形中线段的两个端点

也就是A和B的位置固定不变

因此

所有线段加起来的总长度

那也就是对应于这个纸带长度

却是在不断增加的

好 那我们来仔细研究图（1.2）中

这个分形龙的产生过程

我们可以观察到如下三个有趣之处

第一 简单的迭代

进行多次之后

就产生了越来越复杂的图形

第二 越来越复杂的图形

表现出一种自相似性

第三 迭代次数较少的时候

图形看起来是一条折来折去的线

那么随着迭代次数的增加

当迭代次数趋近于无穷大的时候

最后的图形看起来就像是一个面

那第一个特点一目了然

无需多言

而第二条的自相似性是什么意思呢

那这个自相似性它实际上是说

一个图形的自身

可以看成是由许多与自己相似的

大小不一的部分组成的

最通俗的自相似例子

就是我们中国人都喜欢吃的花菜

花菜的每一部分

我们都可以看成是与整棵花菜

结构相似的小花菜

那分形龙曲线也具有这种自相似性

我们从下面的图（1.3）可以看出

分形龙可以看成是由四个更小的

但是形状完全一样的小分形龙组成的

好 请大家注意看这张照片

那我们这个图

是分形龙原来的图形

就图（1.3a）是分形龙原来的图形

我们将（a）图缩小二分之一

得到为原来大小一半的图（b）

然后

图形（c）包含了四个不同方向的小图形

然后我们将这4个小图形

按照红色箭头的方向移动以后

把它们拼成如图（d）的形状

我们可以看出

图（d）实际上

它是和原来的图（a）是一模一样的图形

那么具有这类性质的图形

就叫做分形

需要注意的是

我们用迭代的方法生成分形

但是

生成过程中的那些图都不是分形

只是最后那个无穷迭代下去的最后极限的图形

才叫做分形

好 那我们从日常生活中

已经建立了点 线 面 体的概念

几何学给它们抽象

分别叫它们 零维 一维 二维 三维的几何图形

那么分形龙图形

到底是一维的线还是二维的面呢

这里我们谈到的维数

其实是一个严格的数学问题

那我们需要仔细得研究

当迭代次数趋近于无穷大的时候

分形龙的维数到底是多少呢

好 这个问题我们先暂不讨论留到后面再讨论

我们先来学习一下皮亚诺曲线和科赫曲线

分形它是一种不同于欧氏几何学中元素的

几何图形

简单的分形图形

就像我们刚才所说的分形龙

很容易从迭代法产生

除了分形龙之外

还有许多看起来更简单的分形曲线

早在1890年

意大利数学家皮亚诺

他构造了一种奇怪的曲线

就是下面这个图所展示的

大家看

按照我们这个图（1.4）的方法

一直构造下去

最后所逼近的极限曲线

应该能够通过正方形内的所有的点

充满整个正方形

那不就等于是说

这条曲线最终就是整个正方形

那它就应该有面积

这个结论令当时的数学界大吃一惊

一年后

大数学家希尔伯特

也构造了一种性质相同的曲线

这类曲线的奇特性质令数学界不安

因为

这样一来的话

曲线与平面该如何区分呢

对这种奇怪的几何图形

当时的经典几何似乎显得无能为力

不知道该把它们算作什么

这类奇怪的曲线

包括我们刚才介绍的分形龙

其实它们都是分形的特例

不同的迭代方法

可以形成各种各样不同的分形

自皮亚诺之后

科学家们对分形的研究

形成了一个新的几何分支

叫做分形几何

那么实际上还有许多看起来更简单的分形曲线

比如

我们下面这个图（1.5）

所示的科赫曲线就是一例

好 如上图所示

科赫曲线可以用如下方法来产生

在一段直线的中间

以边长为三分之一的等边三角形的两边

去代替原来直线中间的三分之一

得到图（a）

对图（a）的每条线段重复上述做法

又得到图（b）

对图（b）的每一段又重复

如此无穷地继续下去

得到的极限曲线就是科赫曲线

科赫曲线显然不同于欧氏几何学中的平滑曲线

它是一种处处是尖点

处处无切线

长度无穷的几何图形

科赫曲线具有无穷长度

那么这一点实际上很容易证明

因为在产生科赫曲线的过程中

每一次迭代变换

都使得曲线的总长度

变成原来长度的三分之四倍

也就是说乘以一个大于1的因子

那么这样一来

当迭代变换次数趋向于无穷的时候

曲线的长度也就趋向于无穷

科赫雪花则是以等边三角形的三条边

生成的科赫曲线组成的

好 那我们现在

来作一个边长为a的正三角形

然后在这个正三角形的每条边上

不断重复上述的变换

我们就可以得到科赫雪花的图案

下图给出的就是从一个正三角形开始

依次进行了五次变换后所得到的结果

那如果我们用Cn Sn来分别表示

第n步变换后的科赫雪花的周长和面积

那么周长就应该依次是

下面这些式子大家应该都不难理解

然后面积呢

也就应该依次是So S₁ S₂ 到Sn

这些式子我想同学们也不难理解

于是

我们就有

周长的Cn的极限

当n趋近于无穷大的时候

它是无穷大

而面积Sn的极限它却是一个常数

好 那么这个结果表明

科赫雪花图案的面积是有限的

但是该图形的周长却趋进于无穷大

好

那我们这节课就讲到这里