第九讲 概率与统计在线视频

各位同学

大家好

今天我们讲解数学文化中的概率统计方面

将从学科起源 学科发展 学科应用三个方面进行讲解

首先

来看这样一个赌金分配问题

若两个赌徒相约赌若干局

谁先赢s局

谁就算赢

当赌徒A赢了a局(a

而赌徒B赢了b局(b

但赌博被迫终止

则应该怎样分配堵注才合理

大家可以思考一下

以上问题直到1654年左右

法国数学家费马与帕斯卡才用组合方法给出了解答

惠更斯后来关注这个问题

并发表了《论赌博中的计算》

此著作被称为最早的概率论著作

其中出现了如期望等概念

也标志着概率论的诞生

前述均是以代数方法计算概率

1712年

雅各布∙伯努利才在《猜测术》中提出了以下的极限定理

此定理刻画了频率与概率间的关系

作为大数定律的最早形式

在概率论发展史上具有重要的意义

因此

概率论作为一门独立的数学分支

雅各布∙伯努利被称为真正的奠基人

伯努利之后

也有许多数学家做了许多奠基工作

如棣莫弗 高斯独立引进了正态分布等

统计学是收集 处理 分析 解释数据

并从数据中得出结论的科学

也是以达到推断所测对象的本质

甚至预测对象未来的一门综合性科学

主要分为描述性统计和推断性统计两个方面

描述性统计起源较早

推断统计在18 19世纪有了萌芽

到20世纪才发展成熟

统计学以概率论为基础

1763年贝叶斯给出了贝叶斯定理

有了后验概率

是最早出现的一种统计推断程序

拉普拉斯和高斯等利用贝叶斯公式进行参数估计

高斯建立了最小二乘法为基础的误差分析

让统计学由描述向推断阶段过渡

高尔顿首先提出了相关 回归的概念

皮尔逊发展了相关的理论

并提出总体的概念

明确指出统计学是根据样本对总体的推断

并提出了

拟合优度检验

发展了卡方分布等

戈赛特在1908年发表了t分布

开创了小样本统计理论

现代统计学奠基人费希尔提出了许多统计学方法

开辟了一系列统计学分支

如将相关 回归理论建造为相关分析与回归分析

还引进了

显著性检验

多元统计等领域

说到统计学

不得不说女士品茶的经典案例

一位女士称她能分辨出是先倒茶还是先倒牛奶

大家都不信

而费希尔思考并给出了试验

由此假设检验理论应运而生

接下来我们讲解学科发展部分

19世纪末

概率论在诸如统计物理领域的应用

使得迫切发展相关理论

但此时也出现了古典概率论中的一些矛盾与模糊

其中较著名的是

贝特朗悖论

在以半径为r的圆内随机选择弦

弦长超过内接正三角形边长的概率

考虑与某确定方向平行的弦

则所求概率为1/2

如图(i)

考虑从圆上某固定点P引出的弦

则所求概率为1/3

如图(ii)

将随机的意义理解为

弦的中点落在圆的某个部分的概率与该部分的面积成正比

则所求概率为1/4

如图(iii)

后来一些数学家也对概率论严格化进行了尝试

但大多不完善

1905年时

法国数学家博雷尔提出用测度论来表达概率理论

并解决了强大数定律的条件问题

在20世纪20年代

苏联数学家柯尔莫哥洛夫出版了《概率论基础》

开创了概率的公理化定义

使概率论开创了新纪元

随后他提出了马尔可夫链

列维开创了随机过程新方法

维尔引进了鞅

克拉默发表了《统计学的数学方法》

用测度论总结了数理统计

标志着现代统计学的成熟

后来也出现了时间序列

高等数理统计等著作

统计学有较著名的三大学派与三大分布

三大学派即经典学派 贝叶斯学派 信念学派

他们主要的差别是对概率的解释和理解

对统计问题的看法和处理不同

经典学派认为

概率就是长期试验中频率稳定性所反映的值

坚持用频率的现象去解释概率所陈述的命题

贝叶斯学派认为

概率不能只用频率的稳定性来解解和理解

有先验性与后验性

信念学派坚持概率是频率稳定性的观点

和经典学派一致

他们对统计学的观点也不尽相同

经典学派认为

统计问题的提法与概率的认识息息相关

贝叶斯学派认为

须有先验知识与后验知识两个部分

信念学派的观点介于这两个学派之间

认为

借助样本的信息对总体的状况做出的推断

接下来我们说说统计学中的三大分布

第一个是卡方分布

1863年由阿贝提出

由皮尔逊推导出来

称标准正态分布的平方和服从卡方分布

接下来是t分布

1908年由戈赛特提出

称标准正态分布除以卡方分布

除以其自由度的算术平方根服从t分布

F分布呢是费希尔1924年提出来的

称两个卡方分布与其自由度的比的比服从F分布

这三个分布在统计学中的应用非常广泛

以上是概率与统计的起源与发展部分

接下来我们讲解

学科应用部分

首先是概率论案例

用贝叶斯公式解读狼来了的故事

假设事件A为小孩说谎

事件B为小孩的话可信

并记P(B)=0.8

通过贝叶斯公式我们可以算出

第一次小孩说谎

山民对他的信任度为0.444

第二次说谎后信任度为0.138

第三次为0.03

所以

最后山民没有下山

接下来是统计学的案例案例

我们来讲第一个案例

红楼梦的作者一直备受争议

但一直没有较为科学的依据

据此1985年复旦大学教授李贤平带领他的学生

运用统计学的方法对其中的虚词进行了统计

并运用聚类方法

得出了前80回确为同一个人的手法

后40回又为另一个人的手法

给出了科学依据

第二个案例

运用统计中回归分析等方法

Pew Research以动画的形式

显示了美国人口按年龄组划分百分比

统计数据随时间的变化

统计学在我们的日常生活中运用非常广泛

而大多是描述性统计

我们也可以运用概率统计模型的思想来解决实际问题

在2016年的围棋大赛中

alphago打败了李世石

关键的技术是把棋盘上

当前的状态变成一个获胜概率的（训练好）数学模型

并运用启发式搜索算法

蒙特卡洛树搜索算法（Monte Carlo Tree Search）进行模型运算

这是一个利用深度卷积神经网络来看图说话的例子

用RNN算法学习了汪峰的全部作品后

可以用汪峰的手法进行歌词创造

通过今天的讲解

相信大家对概率与统计也有了相应的认识

今天的讲解到此结束

谢谢大家