芝诺悖论与无穷大（一）在线视频

同学们好

今天我将为大家介绍科学的基础语言

无穷大

你有没有想过

无穷大到底有多大

我们知道

无穷大的数字

在数学上经常能碰到

但是没人能真正想象出

无穷大的数字到底有多大

我们先从计数的开始讲起

几百万年前

原始人就有了数的概念

人类最初的计数方式是掰手指

但是在原始人时期

人们数数最多数到3

因为对他们来说

3之后就是很大很大的数字

也就是说

假如原始人玩数最大的游戏

谁先从1开始数

谁就能获胜

后来

人们可以从1数到10

有理由相信

这就是十进制的来源

直到解放前

我国还有些文化发展比较迟缓的民族

最多只能数到3或10

再往后数就数不清了

只将其统称为“多”

这就好比

在没有有意识统计的情况下

当有一两个人说你长得好看

你会记得有那么一两个人说你好看

而当有第三 第四个人这么说时

你的印象里一定是

好多人都说我长得好看

四大文明古国之一的古巴比伦人很聪明

他们能用一双手数到60

怎么数的呢

我们可以举起一只手

除了大拇指以外

每个手指有3个关节

4个手指就是12个关节

这样

在关节数12的后面是高一级的单位

十二进位制计数法便由此产生

这个过程的进一步发展

另外一只手上的每个手指也可作为高一级的单位

即12*5=60

这大概就是建立六十进位制的原因

古巴比伦人广泛使用六十进位制

并把它传到了其他许多民族

今天

我们仍然可以看到十二进位制

和六十进位制计数法的痕迹

比如一昼夜钟点的计算

1小时等于60分钟

1分钟等于60秒

圆周角度的测量等等

这样

随着人类社会的发展

人们逐渐创造出了各种的计数方法

比如

石子记数 结绳记数 刻痕记数等等

我们中文有一个伟大的汉字

可以用来很方便的计数

就是这个“正”字

过了很长时间

人们学会了记录很大的数字

那就是科学计数法

比如

目前已知的宇宙中

所有原子的数目是3乘以10的74次方

后来

一直到了古希腊时期

一位哲学家

亚里士多德首先提出了“无穷”这一想法

他认为

无穷大具有必然性

但是又无法达到

他从世间万物中找到了一些他认为属于无穷的例子

例如

他认为整数和时间就是无穷的

此外

他还认为有的东西是无限可分的

但是

与此同时

他又提出了几个含混不清的观点

想证明无穷大不可能存在于现实世界中

例如

他说任何物体都有边界

如果某个物体是无穷大的

它就不可能有边界

也就不可能存在

直到19世纪

绝大多数数学家都认为亚里士多德的观点是正确的

例如

享有盛名的19世纪德国数学家高斯明确地说

我反对将无穷量视为一个实体

这在数学中从来都是不允许的

所谓无穷

只是一种说话的方式

其真正的意义是指某些比值无限接近于某个极限

而另一些比值则可以无限增大

大家知道

我们是用一个旋转90度的数字8来表示无穷大

但是

我提一个问题

有没有同学知道无穷大这个符号来自哪里

有的同学会说来自莫比乌斯带

因为如果某个人

站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上

沿着他能看到的“路”一直走下去

他就永远不会停下来

但是这是一个不真实的传闻

实际上

“∞”的发明比莫比乌斯带还要早200年

一位英国数学家沃利斯在他1655年

出版的《算术的无穷大》一书中

就首次提出

将8水平置放成"∞"来表示"无穷大"这个符号

那么

无穷大最初的概念是什么呢

印度数学家婆什迦罗

在他的《算法本原》里是这样写的

一个数除以零便成为一个分母是符号0的分数

这个分母是符号0的分数

称为无穷大量

那么现在我们说 1/0 之类的式子是没有意义的

为什么没有意义呢

0为什么不能作为分母呢

假设1/0是一个确定的数

不妨设为a

那么就有1/0=a

我们知道

除法是乘法的逆运算

于是就可以得到1= 0•a =0

这显然是不可能的

所以我们说1/0之类的式子是没有意义的

但是

婆什迦罗认为

当除数越来越小的时候

商确实越来越大

现在我们可以用一个极限式子来表示这种想法

即就是当X趋近于0的时候

1/X的极限是无穷大

在实分析里面

"∞"是一个概念

代表一个无界的极限

X趋近于无穷大是指X的绝对值

最终会比任何一个确定的数都大

无穷大是一个概念

不是实数系统中的一个具体的数

不能和一个具体的数一样进行运算

因此

无穷除以无穷

无穷减无穷都是不定形式

可能等于任何数

例如

我们来看两个简单的极限

一个是

x-1分之3x+1

当x趋向于无穷的时候

3x+1和x-1都趋向于无穷

但是

无穷除以无穷的极限却等于3

当然

我们也可以把这个3改成任何一个数

另外一个例子是

x平方分之1减去x平方分之cosx

当x趋向于0的时候

我们知道

x平方分之1和x平方分之cosx

都趋向于无穷

但是无穷减无穷却等于1/2

数学上对于无穷的大量研究

使我们不禁要问

无穷在客观世界真的存在吗

曾经人们认为宇宙的尺寸是无穷大的

但是现代的科学家普遍认为

宇宙也是有界的

那么凭我们的直觉

宇宙中的物质也很有可能是有限的

没有直接证据可以证明无穷大和无穷多的存在性

无穷还可能有第三存在的状态

无穷小

那么无穷小是否客观存在

我们的空间是否无限可分

著名的芝诺悖论表明

这是最值得怀疑的

如果我们的时空无限可分

那么会有下面的芝诺悖论出现

芝诺悖论

简单的说

就是善跑英雄阿基里斯追不上乌龟

阿基里斯是古希腊神话中的善跑英雄

他和乌龟进行比赛

他的速度是乌龟的十倍

假设他的速度是 10米/秒

乌龟的速度是 1米/秒

阿基里斯的起跑线设在乌龟身后100米处

他们同时同向开跑

芝诺认为

阿基里斯不可能追上乌龟

芝诺的理由是

阿基里斯首先必须到达乌龟的起点

当阿基里斯追到100米时

乌龟已经又向前爬了10米

于是

一个新的起点产生了

乌龟会制造出无穷个起点

它总能在起点与自己之间制造出一个距离

不管这个距离有多小

但只要乌龟不停地奋力向前爬

阿基里斯就永远也追不上乌龟

但实际上

用小学数学知识

我们就可以计算阿基里斯追上乌龟的时间

假设这个时间为t

那么10t就是阿基里斯走过的路程

t+100就是乌龟走过的路程

我们可以列一个方程 10t=t+100

解这个方程就可以得到t=100/9秒

也就是说经过100/9秒

阿基里斯就能追上乌龟了

那么

芝诺存在的问题是什么呢

我们用数学的语言来说就是

芝诺不会算极限

那么为什么说芝诺不会算极限就会出现问题呢

因为芝诺认为

无穷多个正数之和总为无穷

他认为这无穷多个正的时间段

加起来还是一个无穷的时间

但实际上

它却是一个确定的数

好

我们来看

芝诺追到乌龟的第一个起点所用的时间为10秒钟

追到第二个起点所用的时间为1秒钟

依次类推

追到第n个起点所花的时间为1/10的n-2次方

我们把这些时间加起来

t1加到t1无穷

我们知道这其实是一个等比级数的求和

得到的是一个确定的时间

正好就是100/9秒

还有一个式子也体现了这个问题

就是0.9的9循环等于1吗

也许你会认为0.9的9循环肯定小于1啊

它永远也达不到1

但实际上

我们说0.9的9循环却是等于1的

因为我们知道0.9=1-0.1

0.99=1-0.01

那么0.9的9循环可以用一个极限来表示

就是1减去1/10的n次方

当n趋向于无穷大时的极限正好是1

其实

还有两个简单的方法可以证明这一点

比如

分数法

我们知道1/3等于0.3的3循环

在这个式子的两边同时乘以3

左边就等于1

右边就是0.9的9循环

也就证明了0.9的9循环就等于1

当然

我们还可以用进位法来证明

例如

0.9的9循环乘以10

就得到9.9的9循环

也就是9加上0.9的9循环

从而就得到一个方程

把0.9的9循环当成未知数

解这个方程就得到0.9的9循环就等于1

好

本节课我们就讲到这里

下节课我们再继续介绍无穷大的相关知识