7.2 Model setup 1在线视频

那么

关于这个系统的来去考察hlm的建模

我们大概要遵循这么几个步骤

首先就是空模型也就是方差分析

为什么我们要拿到这个数据之后

我们有没有必要来去使用多层级分析

那么我们要通过方差分析来去判断

接着我们就会不断的让模型变得复杂

来一步一步的来看

那么这个里面就经历了这么几个

一个是我们叫他

这个random intersept

model

截距是随机的

我们之前也讲过

接着就是 random slope

我们没有讲过

这个斜率也可以是随机的

就是斜率

不同学校的斜率可以不一样

就是这个概念

最后就是full model 就是说斜率跟

截距可以同时都是随机的

并且我们在

第二层来建模来分析他为什么

不一样

就是把它这个variation

把它解释掉

我们

模型set up的一个过程

我们后面的讨论

也是按照这个流程来的

大家有问题你就

随时的问 因为我觉得

对于前面这些知识大家都应该

有一个基本的掌握了

好 我们来看空模型

我们用的y就是故事

就是他的数学成绩

就是math score数学成绩

这是一个两层模型

那么第一层是student

43
00:01:4 0,910 --> 00:01:41,380
level

第二层是school level

那么这是个空模型

也就是说在 student

level

每一个学生student i

in school j

他的成绩

等于什么

等于它的全校的成绩的均值就是β0j

再加上他自己的成绩跟

全校成绩均值的差值

eij离差

但是eij它的方差

我们用

σ^2来去表示

那么在第二层 school

level

我这里写的是 class level

你也可以把它看成school

level都可以

那么

每一个学校有它自己的

均值

那么不同学校的均值

他们可以不一样 对不对

有的学校它的整体均值就高

有的学校整体均值就低 对不对

因此β0j

他在第二层在school level

是可以变化的

它等于什么

它就等于一个grand mean

我们叫grand mean

就是说整个样本的均值

grand mean就是γ00

再加上μ0j也就是说第j个学校

的均值跟整个样本均值的差

叫μ0j

μ0j的方差就记做τ00

这个地方它就这么记的

我们跟教科书保持一致

它就没有平方

那就直接叫τ00

但它是方差

所以我们就可以得到一个reduced

form

Reduced form

就是把β0j

带入到

level one的方程里面

因为β0j它是一个

也是个随机变量

那么我们把它带入到第一个方程里面

就得到

一个general的形式

就是yij它就是 MSIj

它就等于γ00

加上μ0j加上eij这样的一个

形式 它就是一个

整个样本的均值加

两个

随机变量

那么这两个随机变量呢

一个是组内的方差

一个是组间方差

因此

y的

这个方差就是由两部分构成

一个是组内方差σ^2

一个是组间方差τ00

这样的话大家就想起来

我们之前算过

从intra-class

correlation coefficient 这个组内

相关系数

它就等于组间方差除以总方差作为相似

组内相关系数

那么显然这个值越大就说明什么

就说明组内越相似是吧

组间越不相似

因为总方差是固定的

那么

我们的之前的方差结构

的考虑非常有必要的

这个就是方差分析的作用就是个空模型

让我们来判断

拿到这个数据之后

是不是有必要来去使用多层级进行模型

那么如果换成之前的

术语

就是说要不要考虑cluster的问题

一样的

那么假设它是需要的

比如说ρ足够大

ρ足够大

那么我们就要去

考虑

这样的一个多层级模型

那么我们后面的建模

都要考虑这个问题

我们来看

最基础的一个建模叫random

intercept model

也叫ancova

在这里

我们在

level one的方程里面

加入了一个

自变量IQ

那么假设这个是可以观测的

比如说可以去测量的

IQ

它显然可以解释一部分的数学

成绩的variation

我们就加了自变量

那么加入IQ之后

大家可以看到

第一层的待估参数

第一层方程里面待估参数

就不是只有β0j了

它就有两个待估参数

还有一个是β1j

β1j就是IQ的斜率

就是IQ对于数学成绩的影响

有两个待估参数

那么我们就来看

根据刚才的分析

不同学校之间它的均值是有较大的差异的

因此我们还保留什么

在level two

在 school level

我们还是保留β0j

他是一个

随机变量

也就是说它是由γ00加上μ0j

来构成的

γ00是一个参数了

它是一个常数项

样本均值

μ0j是他的组间的变异

这样子

同时

在这个地方我们先不对β1j

做出一个随机性的假设

那么β1j它在第二层

就直接等于一个常数项

γ10就可以了

也就是说我们假设β1j

它是一个固定的

它是一个固定的值

它不是在第二层变化的

那么

这样的话

我们当然就可以把β0j和β1j

都带入到第一层的

方程里面

就变成这样的一个方程

大家可以看到其实带进去之后

我们

仍然是得到了一个

一般的一个线性方程

只不过是它的方差结构被

清晰的表达为两部分

一个组内方差

一个是组间方差

当然这部分方差都是指的是

均值的方差

截距项的方差这一部分

那么我们也其实非常清晰的假定了什么呢

这个各组各个学校

他们的intercept

他们的截距是不一样的

但是

IQ

对于成绩的影响

也就是IQ的斜率

是一样的

也就是说不论他在哪个学校

IQ对成绩的影响的程度

marginal effect

是一样的

那么有同学在预习的时候就

问到说

我怎么知道它应该是 random

还是fixed这个斜率

这个就取决于

几点

第一个还是这个理论

那么

它应不应该变

就是说在理论上它是不是和有一个

强很强的理论的解释和假设

认为他在不同的学校

IQ对这个成绩的影响是不一样的

如果没有这样的假设

我们就认为它应该是一样的平行的

这是一个

第二个

我们其实也可以去对它的斜率

做方差分析

来去做一个data追问的这样的一个

考量来去看

它在

不同组的内部

单独跑回归

那么每一个组的斜率是不是一样的

如果整体上来看它也是一致的话

我们就认为它是一样的

如果不是一一样的话

变化比较大的话

我们也可以建模去model它

所以说这个是两方面看

一个是理论 一个是数据

所以接着就来说 random

slope的问题

如果说

我们觉得它有可能是

变化的 slope

β1j它有可能是变化的

不同的学校

它可能有不同的slope

那么我们也可以把它变成一个随机的变量

也就是说在第二层

我把β1j

这个方程写成γ10加上μ1j这个

地方我给它加上一个随机项就可以了

这样的话它就变成一个随机变量了

当然这个时候最重要的就是说

我们去跑完这个方程估算

我来看

μ1j它的方差到底是不是显着的

区别于0

这个就是一个假设检验

那么如果显著的话

我就认为ok它确实是一个随机的斜率

如果不显著

那么就是不显著的区别于0

那我就还认为它应该是一个固定的斜率

我回过来再把被这个μ1j再去掉就可以

IQ我们不好说

它是不是一个变化的斜率

但是我们常见的比如说

家庭社会经济地位的均值

他对成绩的影响

在不同学校

可能是不一样的

是有研究来做这个事情

就是这样的变量

往往大家就特别希望来去分析

他们的

差异 包括

我们也经常讨论

比如说额外的一小时的努力

对于成绩的影响

大家也都有这样的一个直观的经验

那么就是对于高分学生

再花一个小时他提高的

成绩的量

肯定是要低于低分段学生

他多花一个小时的学习

他对成绩的提升

那么这个时候你就可以假设

在不同类型的学校

以成绩均值为

去刻画

在不同类型的学校确实可能一个

学习时间对于成绩的影响

它这个斜率就可以是变化的

就随便举个例子

所以要有实际的

理论或者是经验的假设

为依据 然后再辅以

这个数据的假设检验来去判断这个斜率

是不是需要把它设成是一个随机的斜率

好

那么假设在这种情况下

我们把它设成随机斜率

大家来看一下

我们把β还是把β0j

和β1j的第二阶段的

方程带入到第一阶段

得到 reduced form

那么

这个时候的方差结构

就比刚才复杂了

方差结构

它除了μ0j和εij之外

多了一个

μ1j乘以IQij

那么这一项的来源

交互项残差跟自变量的交互项

就来源于 random slope

因为我们假设它slope是

随机的

所以就会出现这样的一个交叉项

方差结构就会更加复杂

显然这个方差

它跟前面的自变量怎么样

是相关的对吧

这个是自变量IQ

红色的部分是我们的整个的残差

显然自变量跟我们的残差是相关的

对不对 因为里面有IQ了

那么这个时候我们当然是

不能简单的用ols来估计的

这个是我一般采用的是极大似然估计法

好

那么在这样的一个假设条件下

我们来看

大概就画这么一个示意图

也就是说不同的学校

它有不同的截距项

和不同的斜率

那么

random slope

model的这样的一个假设

一般来讲

如果我们假设它是random

slope

它的

intercept也是random

的

因为我们是从

这个随机截距

作为起点开始的

很少遇到说

我假设它的slope是random

然后它的斜率

它的截距反而是固定的

这种是很少的

截距一般我们都会把它

定义为假设为random

如果截距都不是random

那我们就没有必要做hlm了

好

对于这个问题

同学们还有什么

问题吗

因为听听助教反映了大家

在预习中的一些疑问

我就是在这里重点来说一下