5.3 Model Setup在线视频

好

我们来看怎么样来去做模型

的 set up

所以再回顾一下

RD的模型

它其实是有两个非常重要的

变量

第一个是一个连续的forcing

variable

比如说像刚才说的年级的

学生规模

或者是刚才说的高考成绩

它是一个连续的 forcing

variable

那么我们的政策规则

利用 forcing

variable

在这个上面截取了一个断点

那么

并且根据它是在断点左边还是

右边来决定了每一个人它是

分到了 treatment

还是 nontreated

group

这个就是RD的

两个非常重要的

变量特点

那么 Rd的假设

刚才我们讲了它利用了什么

那么 RD的一个最重要假设是什么

当然首先x必须是连续的

forcing variable

必须是连续的

而且我们的 potential

outcome Yi

这个Yi关于xi的条件期望

它在

这个断点x0的附近

它也要是连续的

这个是非常重要的一个假设

而且连续

可能还不够

还得是光滑可导的

我们就不多讲

那么

这个是最重要的一个假设

而且

其实其它的一些隐含的就是我们没有观测

到的一些 covariance

这些协变量

那么它

应该跟x的关系也是连续的关系

其它都是连续唯一的跳跃

是政策规定使得一部分人被分到了treatment

一部分人

被分到了 control 我们叫

所以说其它必须都是连续的

就是RD的最重要的假设 nature is

continuous

好

这个就是刚才我们说的假设下面这张图

你看

x横轴

横轴它是一个连续的分布

我们可以通过画这个

概率密度函数来去看

这里面没有画 后面我们可以讨论

那么

这两条曲线刚才我们解释了

这两条曲线就是y关于x的函数

是不是

它也是连续的

我们有什么样的高考成绩

未来会有什么样的工资

这是

连续的函数

尤其在断点附近 它是连续的

看这个叫连续，光滑可导连续

那么这个也是

那么唯一的跳跃

概率的跳跃

那么这个跳跃导致了我们从一个

函数跳到另外一个函数了

那么这个跳跃

不是函数本身的跳跃

是规则带来的跳跃

我们就是利用跳跃来去估算

treatment

effect

这个就是假设

同学们对 RD的假设

如果有问题的话可以现在提出来

好 如果没有的话

我们来看怎么样来去

把这个模型写出来

首先刚才

我们定义了 forcing

variable xi它就是刚才

我们说过的

年级总人数

或者是类似于高考成绩这样的变量

Treatment status

就是这个人它是否接受干预

是完全由xi来决定的

而且它是关于xi的一个

不连续的函数

也就是Di

Di是individual i

是否接受treatment

接受treatment那么Di就等于1

没有接受treatment Di等于0

Di是由谁决定的

是由xi

如果xi大于等于x0

x0是我们的断点政策规定的断点

比如说分数线或者刚才

说的迈蒙尼德法则

就是40的倍数

那么xi大于等于x0

Di就等于1

xi小于x0

Di就等于0

那么

刚才都解释过了

所以只要我们知道xi的取值

我们就知道Di的取值对不对

Di是完全由xi决定的

而且是一个不连续的函数

是个分段函数

大家可以看到这个地方就是不等号

一个是

大于等于，一个是小于

它没有任何重叠在这个范围上

所以这个地方再强调一遍

就是在xi这样的一个

forcing variable

上

我们永远无法看到 xi

等于x0的时候

Di 取两个值 这是看不到的

好

我们来定义potential

outcome Yi

Yi是我的potential

outcome

它当然也会取两个值

如果接受了treatment

它就等于Y1i

如果它没有接受treatment

就等于Y0i

那么

大家注意这个地方Y1i跟Y0i

它是x的一个函数

它并不只是一个点

不是只是一个值一个常数

好 我们讲完这一页

下课

所以说我Yi是关于x的函数

当然我们非常常见的一种形式了

我们把一个不连续的分段函数

我们可以把它写成

假装它是一个连续函数

这样的一个形式等于Y0i

加上什么

加上Y1i减去Y0i然后乘以Di

这样大家可以

把Di等于1和0分别代进去

会发现正好就是前面的分段函数

我们这节课会经常用到这个分段函数

所以这次再强调一遍

后面我就不再细说了

因为后面当我们把Yi

的方程形式展开的时候

看上去会很复杂

但是你要脑子里很清楚

它其实就是这个东西

我们加一项减一项

保持等号不变

把这个搞清楚就可以了

因此大家可以看到显然

Y1i减去Y0i

差值就是接受treatment

跟不接受treatment

它的 outcome的

差值就是我们想估算的

treatment effect

当然它因为戴着角标i它是对

individual i来说的

对于第二个人

它自己的treatment大概是什么

这个不是个平均处理效应

这个是individual的

处理效应

好

我们先讲到咱们休息5分钟

好

咱们今天的讨论是不是长得

非常像RCT里面的模型

我们其实就是按照 RCT

的模型来去构造咱们的

RD的实验条件

那么

好

我们现在开始把 Yi展开讨论

刚才Yi只是一个字母符号

那么Yi它是一个函数形式

我们来看

展开成不同的函数形式

分别是什么样子的

最简单的一种情况

就是说

outcome它是一个线性函数

是 y关于x的

条件期望是一个线性函数

我们先写Y0

Y0i应该大家想象

那就是在断点左边的方程形式

对不对

因为它取Y0

它是Di等于0的情况的函数形式

Y0i关于xi的条件希望

写成α加上βxi

这个是最简单的一个线性函数

那么这个时候我们再给一个特别简单的

条件

假设就是说Y1i

Y1i就是在断点右边的

这个函数形式

它跟Y0i非常像

它跟Y0i的唯一的区别

就是多了一个常数ρ

也就是说 jump

我们把它刻画出来

其它都一样

其它参数完全一样

这个就是一种最简化的一个模型

所以我们把Y1i和Y0i带入上一页

咱们刚才写的这样的一个

函数形式里面

我们就可以得到这样的一个方程形式

Yi

等于

α加βxi加上ρD加上η

这样的一个残差项

那么这个就是我们断点回归里面

最经典的这样的一个形式

那么显然在这里ρ就是我们要估算的

treatment effect

对不对 它是D的系数

它肉就是Y1i跟Y0i的差值

对不对 上一页我们有了

就这里不再列了

那么

我们直接用这个式子来去在一个

局部来做回线性回归就可以了

那么在这个地方大家要注意

这个方程虽然我们前面的模型的setup

长得跟RCT的模型非常像

但是最后一步出来回归方程

跟RCT是

不一样的

最大的不一样是什么

最大不一样就是我们这个地方

首先多了一个xi

看上去它只是一个控制变量

我们要的是Di的系数

ρ

但是xi它在这里非常重要

Di

不仅仅跟xi相关

而且Di是完全由xi决定的

在断点回归的这个方程跟RCT

的方程的一个最大的区别

而且还有刚才我们讲的跳跃的问题

我们

其实这里面它也是有极限的概念的

那么这个模型最简单的情况

下就写成这个样子