AS/RS行程时间模型在线视频

为保证模型的通用性

我们先将货架进行归一化抽象处理

约定以下符号

s_h为堆垛机水平方向的运动速度

s_v 为堆垛机垂直方向的运动速度

L H分别为货架的长度和高度

t_h为堆垛机从I/O point沿水平方向

运动到最远货架列的行程时间

即t_h=L/s_h

t_v为堆垛机从I/O point沿垂直方向

运动到最高货架层的行程时间

即t_v=H/s_v

约定 T=Max(t_h, t_v)

b=Min(t_h/T, t_v/T)

可见0≤b≤1

这里的b称为形状因子

是本讲的一个重要概念

在后面的内容中会经常出现它的身影

注意到当货架尺寸和堆垛机速度协调匹配

使得 t_h=t_v 时

b=1

这时货架称为 square in time

简称为SIT

即货架在时间维度上是一个正方形

一般情况下

假设 T=t_h b=t_v/T.

也就是说货架长度方向的行程时间

要大于高度方向上的行程时间

这个假设符合大多数的现实情况

我们按单指令周期作业和双指令周期作业两种情况

来分别开发行程时间模型

单指令周期作业下

货位的坐标按时间维度记为(xy)

其中0≤x≤1 0≤y≤b

堆垛机从 I/O point运动到货位(xy)的时间记为 t_xy

t_xy=Max(xy).

G(z) 为随机变量 t_xy 的概率分布函数

即t_xy小于等于z的概率值

假设 xy 两个维度的变量是相互独立的

可得 G(z)=Pr(x

接下来来分析这两个概率值

由于采用随机存储策略

货位坐标在x轴和y轴方向上都是均匀分布的

根据两个均匀分布的概率分布函数

可以得到 G(z)以及概率密度函数g(z)的表达式

针对归一化的货架

记 E(SC)为单指令周期作业下

堆垛机行程时间的期望值

根据连续型随机变量期望值的计算公式

求积分可得E(SC) =1/3b^2 +1

这一公式具有广泛的适用性

当给定形状因子时

就可以很容易计算出归一化情况下

堆垛机行程时间的期望值

再乘以T即可得到真实的堆垛机行程时间的期望值

利用这一公式就可以解答本讲开始时的第一个问题

堆垛机在进行双指令周期作业时

会涉及两个随机的货位

一个是存货货位

一个是取货货位

分别记为(x_1y_1) (x_2y_2)

其中0≤x_1 x_2≤1 0≤y_1 y_2≤b

t_B为随机的存货货位到随机的取货货位的行程时间

随机变量 t_B 的概率分布函数记为F(z)

可表示为随机变量x_1x_2差值的绝对值

小于等于z的概率

乘以随机变量y_1y_2差值的绝对值小于等于z的概率

接下来来计算这两个概率值

先考虑随机变量y_1y_2差值的绝对值

小于等于z的概率值

总体的概率分布函数和概率密度函数分别为F(y)和f(y)

y_(1)…y_(n)为从该总体中

抽取的样本y_1…y_n的顺序统计量

y_(n)-y_(1)为样本极差

记为R

因为y_(n) y_(1)都为随机变量

所以R也为随机变量

根据概率论的知识

可得到R的概率分布函数和概率密度函数

它们为计算目标概率值提供了有效途径

因为当n=2时

R即相当于两个随机变量差值的绝对值

回到我们的问题场景

y_1y_2来源于概率分布函数和概率密度函数

分别为F(y)和f(y)的总体

F(y)和f(y)可通过均匀分布的性质获得

因为0≤R≤b 所以 0≤y≤b-r

取n=2

计算得到h(r)的表达式

进而可以得到随机变量y_1y_2差值的绝对值

小于等于z的概率值

F_y (z)在0≤z≤b时

等于2z/b-z^2/b^2 b

则等于1

接下来采用相似的方法来计算F_x (z)

即随机变量x_1x_2差值的绝对值

小于等于z的概率值

因为 0≤x_1 x_2≤1

等式(5)中设置b=1

可得F_x (z)

随机变量 t_B的概率分布函数F(z) 等于F_x (z)乘以F_y (z)

基于等式(5)和等式(6)

可得到t_B概率分布函数F(z)的表达式

求导之后得到概率密度函数f(z)的表达式

获得随机变量 t_B 的概率密度函数f(z)后

同样根据连续型随机变量求期望值的公式

可以得到E(TB)的表达式

即1/3+1/6b^2-1/30b^3

E(DC) 为归一化的货架下

堆垛机双指令周期作业行程时间的期望值

显然E(DC)=E(SC)+E(TB)

根据前面介绍的E(SC)和E(TB)的公式

可以获得E(DC)的表达式

利用等式(1)和(8)的模型

就可以计算归一化的货架下

堆垛机的单指令周期作业和双指令周期作业

行程时间的期望值

举个例子来说明上述行程时间模型的应用

假设货架尺寸和堆垛机的速度分别为

L=348 ft H=88 ft s_h=356 fpm s_v=100 fpm

应用前面的方法

t_h=0.9775 min t_v=0.8800 min

得到 T=0.9775 b=0.90.

因此归一化的货架垂直方向上为0.9个时间单位

水平方向上为1个时间单位

应用等式 (1) 和(8)

可以得到E(SC)=1.27 个时间单位

E(DC)=1.7140 个时间单位

再各乘以T 转换为原始货架下的结果

即E(SC)*T=1.2414 min E(DC)*T=1.6754 min.

为了最小化仓储容量受限条件下

单指令周期和双指令周期行程时间

分别建立如下两个数学模型

其中A为给定的仓储空间容量

按时间单位度量

容量约束条件为b*T^2=A

将T=sqrt(A/b)带入目标函数中

目标函数成为关于b的单变量函数

利用一元函数求极值的方法

可以得到当b=1.0时

目标函数可以取得最小值

该结果说明当货架为square-in-time (SIT)时

堆垛机的单指令周期作业和双指令周期作业的

行程时间期望值都能最小化

这一结论也回答了本讲开篇时的第二个问题