多类别SOQN模型近似解析解求解思路在线视频

以第一种存货作业行程场景S1为例

其发生的概率为指派的穿梭车

不处于货架第一层的概率

乘以作业任务是存货任务的概率

再乘以目标的存货货位

不处于货架第一层的概率

因为货架共有T层

且是货位是随机存储的

因此指派的穿梭车

不处于货架第一层的概率为(T-1)/T

目标的存货货位

不处于货架第一层的概率也为(T-1)/T

作业任务是存货任务的概率

可由存货作业的到达率

除以总的作业任务的到达率来计算

记为λ_S/(λ_S+λ_R)

所以S1场景对应的第一类顾客的出现概率

Pr(S_1)=(T-1)/T ×λ_S/(λ_S+λ_R) × (T-1)/T

其他场景对应的顾客类别出现的概率

通过相同的方法

也可以计算出来

13种顾客的出现概率见表格中的结果

我们利用根据Whitt's文献中的方法

将多类别顾客的SOQN

转换为单类别顾客的SOQN

聚合后的单类别顾客SOQN中

每个服务站点(节点)的服务时间一阶矩和二阶矩

及有效的访问率(到达率)

可以通过公式获得

为便于介绍公式

额外约定一些符号

n为服务节点的数量

m_j为节点j中服务台的数量

k为顾客类别数量

p_(ij)^r为第r类顾客从节点i到节点j的路由概率

λ_0^r为第r类顾客的外部到达率

λ_j^r为第r类顾客的进入节点j的到达率

λ_j为整合所有类别顾客后进入节点j的到达率

c_(rj)^2为第r类顾客

在节点j服务时间变异系数的平方

c_j^2为整合所有类别顾客后

节点j服务时间变异系数的平方

τ_j^r为第r类顾客在服务节点j的服务时间均值

τ_j为整合所有类别顾客后服务节点j的服务时间均值

整合后的单类别顾客SOQN中

每个节点的外部顾客到达率λ_(0j)

可通过每个类别顾客

在该节点的外部到达率加和获得

如等式(1)计算了节点j的外部顾客到达率

这里只考虑第一个服务节点是j的顾客类别

其他类别的顾客则不考虑

从节点i到节点j的整合流量以及从节点i

流出排队网络的整合流量

通过公式(2)和(3)对各个类别顾客

流量加权求和的方式获得

这里的权重就是对应类别顾客

在相应路径中的路由概率

根据公式(1)和(2)计算出的节点i到节点j的流量λ_(ij)

以及节点i流出系统的流量λ_(i0)

然后将流量λ_(ij)除以从节点i流出流量的总和

即可得到节点i到节点j之间的路由概率

其他两两节点间的路由概率也可以由此获得

整合后各个服务节点服务时间的均值和变异系数平方

可以通过公式(5)和(6)获得

基本的思路也是将各类别顾客对应节点服务时间均值

和变异系数平方进行加权平均求得

接下来来看一个AVS/RS的实例

AVS/RS共有42条巷道

7台提升机

每个巷道的货架共有7层 27列

每小时到达225个货物单元的存货任务

和225个货物单元的取货任务

假设每一个货格中最多可以存放3个货物单元

那么整个AVS/RS的存储容量即为

货架列数×货架层数×每个货格的容量×每个巷道的货架数量×巷道数

即为27×7×3×2×42 = 47628

共计47628个货物单元货位的容量

这里货架布置在巷道的两侧

即每个巷道对应两组货架

要获得每个类别顾客

在各个节点服务时间的均值和变异系数平方

需要知道每个类别顾客的节点服务时间情况

存货类别顾客中节点服务时间的计算

需要考虑所有可能的场景

以VT1节点为例

VT1对应穿梭车从当前位置

到提升机位置的水平运动

因为提升机的位置是固定的

穿梭车从当前位置到提升机位置的水平运动距离

只依赖于穿梭车的当前位置

穿梭车的位置假设是均匀分布的

那可能是6个巷道

27个货架列中的任意一个

这里指的是一个分区

因此计算VT1的服务时间

就需要考虑162 (27×6) 种可能的情况

因为AVS/RS的单个分区中

一个提升机服务于多个巷道

因此行程时间的计算需要考虑x轴和y轴两个方向

x轴指的是巷道间的运动

y轴指的是货架层间的运动

服务时间通过行程距离除以穿梭车速度得到

服务时间的计算也将考虑装卸货物单元的时间

这些都基于实际案例提供的数据

每一个场景下节点VT1 LT和VT2的服务时间

都可通过类似的方法计算获得

每个存货作业场景

即每个存货类别顾客的到达率

可以通过该场景的出现概率

乘以总的存货作业的到达率获得

例如第一种存货作业场景(S1VnSn)

指派的穿梭车不在货架第一层

目标货位也不在货架第一层

该场景出现的概率为

(T-1)/T ×λ_S/(λ_S+λ_R) × (T-1)/T

总的存货作业到达率为225 Uls/h

代入实例中的参数可以计算S1场景

对应类别顾客的到达率为 18/49×225=0.367×225

根据前面介绍的方法和思路

每一个场景下对应路径中

所访问节点的服务时间的均值和变异系数平方

都可以相应地计算出来

如表中最后一列所示

因为不同的场景有不同的作业路径

不是每一个存货作业场景都会访问所有相同的节点

例如S4和S6场景

就不需要访问VT1节点

因为穿梭车本来就已经位于I/O point了

这时候对应节点VT1的服务时间指标就没有取值

以null表示

同样的方法

可以计算出取货各类别顾客的到达率

节点服务时间的均值和变异系数平方的指标

与存货不同

在取货作业场景中

有时候会访问某些节点两次

例如在R1(Vn1Rn2) R4(VnRf)和R7(VfRn)场景中

VT1和LT的节点就访问了两次

值得注意的是

这两次访问对应的服务时间指标是不同的

因为涉及到的行程动作会有所不同

利用前面介绍的公式(1)-(6)

将不同场景的存取货作业的服务时间

路由概率进行聚合

形成单类别顾客的SOQN模型

如图所示

系统中顾客只有两种方式可以离开SOQN

取货作业从LT离开

或者是存货作业从VT2离开

图中的路由概率

可通过表3和表4中的顾客到达率计算得到

以P1, P2, P3为例

根据公式(1)计算 λ_(01), λ_(02), λ_(03)

这里VT1, LT, VT2分别对应第1 2 3个节点

λ_(01)由所有第一个节点

为VT1的作业场景的到达率加和获得

这里包括三个取货作业场景R1,R4和R7

四个存货作业场景S1,S2,S3和S5

同样 λ_(02)由所有第一个节点

为LT的作业场景的到达率加和获得

这里包括两个取货作业场景R2和R6

两个存货作业场景S4和S6

λ_(03)由所有第一个节点

为VT2的作业场景的到达率加和获得

这里只包括两个取货作业场景R3和R5

然后根据公式(4)

可分别计算出P1,P2 和P3的路由概率

其他的路由概率也类似获得

再根据公式(5)和(6)

可以计算得到聚合后每个节点

服务时间的均值和变异系数平方

当聚合后每个节点服务时间的均值和变异系数平方

以及各个路由概率就位后

就可以采用求解单类别顾客SOQN的方法来进行求解

基本的思路有以下四步

1. 将SOQN转换为CQN

作业任务视为顾客

将同步站点视为第一个服务站点

顾客需要在此与穿梭车匹配

2. 将SOQN中的同步站点去掉

转化为一个闭合排队网络

获得依赖于负荷的系统吞吐量

3. 然后将原来SOQN中的同步站点

替换为一个依赖于负荷

服务时间服从指数分布的服务站点

其参数可由第2步获得

4. 单独分析替换后的依赖于负荷的服务站点

通过求解一个生灭过程

来计算该单站点系统的平均客户排队长度

即对应外部订单的平均排队长度

其基本思路与上节课介绍的求解思路类似

算法细节这里不详细介绍

可参见对应文献

以上就是本讲的内容

至此课程的全部内容也就全部介绍完了

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