当前课程知识点：传热学 > 第二章 > 2.3导热微分方程 > Video
同学们 大家好
今天我们讲的内容是
导热微分方程
前面知识点我们讲到了
处理导热问题的基本定律
为傅里叶定律
在热导率已知的情况下
确定热流密度的大小
应该首先知道物体内的温度场
因此确定导热体内的温度分布
是导热理论的首要任务
这一知识点我们就来共同学习
利用导热微分方程
确定物体内部的温度分布
进而求解通过物体的热流量
或热流密度
推导导热微分方程的理论基础
是傅里叶定律和热力学第一定律
推导之前呢
需要做如下假设
第一 所研究物体
是各向同性的连续介质
即热导率λ为常数
第二 热导率、比热容
和密度均为已知
第三 物体内内热源均匀分布
强度为qv
qv表示单位体积的导热体
在单位时间内放出的热量
在导热体中取一微元体
直角坐标系下
微元体的长、宽、高分别为
dx、dy和dz
根据热力学第一定律
即能量守恒定律
在dτ的时间内微元体中
导入与导出的净热量
与内热源发热量之和
等于微元体热力学能的增加
其中导入与导出微元体的净热量
等于分别沿x轴、y轴、z轴
导入与导出的净热量之和
其中dτ时间内沿x轴方向
经x表面导入的热量
dФ等于沿x轴方向
热流密度乘以导热面积dy×dz
再乘以时间dτ
同理dτ时间内沿x轴方向
经x+dx表面的导出的热流量
dФx+dx等于沿x轴方向
表面的热流密度乘以导热面积
dy×dz再乘以时间dτ
根据高等数学微元体导数的概念
qx+dx应该等于qx＋热流量的增量
所以dτ时间内沿x轴方向
导入与导出微元体的净流量
可以表示为导入热流
减去导出热流
等于x轴方向热流量增量
乘以面积dydz乘以时间dτ
这样就可以得到了沿x方向
导入与导出微元体的净流量
同理dτ时间内沿y轴方向
导入与导出微元体的净热量
可以表示为沿y轴方向热流密度
乘以dxdy乘以dz乘以d τ
dτ时间内沿z轴方向
导入与导出微元体的净热量
可以表示为沿z轴方向的
热流密度乘以dxdydzdτ
因此导入与导出微元体的净热量
等于沿三个坐标轴方向
净热量之和
根据傅里叶定律
qx等于-λ×∂t/∂x
qy等于-λ×∂t/∂y
qz等于-λ×∂t/∂z
代入上式可以得到
导入与导出微元体的净热量
用如下表达式进行表示
dτ时间内微元体中
内热源的发热量应该等于
qv乘以微元体的体积dxdydz
再乘以时间dτ
dτ时间内微元体中
热力学能的增量可以用
cm△t加以计算
其中微元体的质量
等于密度乘以体积（04：20）
由式[1]加[2]等于[3]
可以得到直角坐标系下的
导热微分方程
其中导热微分方程的左侧项为
微元体热力学能的增加
右侧项中前三项为沿x轴方向
y轴方向和z轴方向的
导热的净流量
qv为内热源的发热量
若导热微分方程中
物性参数λ c和ρ均为常数
导热微分方程
可以表示为如下形式
其中ɑ称为热扩散率
▽的平方称为拉普拉斯算子
热扩散率反映了导热过程中
材料导热能力与沿途物质
储热能力之间的关系
热扩散率越大
即热导率越大或者是ρc值越小
说明物体的的某一部分
一旦获得热量
该热量能够在整个物体中
很快得以扩散
所以热扩散率表征物体
被加热或冷却时
物体内各部分温度
趋于均匀一致的能力
同样依据热力学第一定律
和傅里叶定律
可以对圆柱坐标系下
以及球坐标系下的导热微分方程
进行推导
也可以用坐标转换的方式
进行圆柱坐标系或球坐标系下
导热微分方程的转化
以上呢 就是三个坐标系下
导热微分方程的基本形式
这需要大家进行牢记
好的 这个知识点
我们就讲解到这里
谢谢大家
-1.1传热学的研究内容及其应用
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-1.2热量传递的三种基本方式
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-第一章--1.2热量传递的三种基本方式
-1.3传热过程与传热热阻
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-第一章--1.3传热过程与传热热阻
-2.1导热基本定律
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-2.2热导率的概念
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-第二章--2.2热导率的概念
-2.3导热微分方程
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-第二章--2.3导热微分方程
-2.4导热微分方程单值条件
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-第二章--2.4导热微分方程单值条件
-2.5平板稳态导热问题
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-第二章--2.5平板稳态导热问题
-2.6圆筒壁的稳态导热问题
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-第二章--2.6圆筒壁的稳态导热问题
-2.7球壳稳态导热
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-第二章--2.7球壳稳态导热
-3.1集总参数法-I
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-3.2集总参数法-II
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-第三章--3.2集总参数法-II
-4.1稳态导热解-I
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-4.2稳态导热解-II
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-4.3非稳态导热解
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-第四章--4.3非稳态导热解
-5.1对流传热概说
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-第五章--5.1对流传热概说
-5.2对流传热问题的数学描写
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-第五章--5.2对流传热问题的数学描写
-5.3.1流动边界层与热边界层
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-第五章--5.3.1流动边界层与热边界层
-5.3.2二维稳态边界层型对流传热问题的数学描述
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-第五章--5.3.2二维稳态边界层型对流传热问题的数学描述
-6.1相似原理
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-6.2量纲分析及相似原理的应用
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-第六章--6.2量纲分析及相似原理的应用
-6.3.1管槽内强制对流流动和换热的特点
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-第六章--6.3.1管槽内强制对流流动和换热的特点
-6.3.2管槽内湍流强制对流换热实验关联式
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-第六章--6.3.2管槽内湍流强制对流换热实验关联式
-6.3.3管槽内层流与过渡流动强制对流换热实验关联式
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-6.4外部流动强制对流换热实验关联式
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-第六章--6.4外部流动强制对流换热实验关联式
-6.5.1大空间与有限空间自然对流传热
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-第六章--6.5.1大空间与有限空间自然对流传热
-6.5.2大空间与有限空间自然对流传热的实验关联式
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-6.6射流冲击传热的实验关联式
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-第六章--6.6射流冲击传热的实验关联式
-7.1凝结换热及影响因素-I
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-第七章--7.1凝结换热及影响因素-I
-7.2沸腾换热及影响因素-II
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-第七章--7.2沸腾换热及影响因素-II
-8.1热辐射基本定律
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-第八章--8.1热辐射基本定律
-8.2实际物体辐射特性
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-第八章--8.2实际物体辐射特性
-9.1-角系数
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-第九章--9.1-角系数
-9.2-多表面间的辐射热量-净热量法
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-第九章--9.2-多表面间的辐射热量-净热量法
-9.3多表面间的辐射热量-网络图法-
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-第九章--9.3多表面间的辐射热量-网络图法-
-10.1换热器的类型
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-第十章--10.1换热器的类型
-10.2换热器对数平均温差的计算
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-第十章--10.2换热器对数平均温差的计算
-10.3换热器的热计算：1平均温差法
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-10.4换热器的热计算：2效能-传热单元数法
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